利用导数单调性构造函数

利用导数单调性构造函数

一、选择题

1.已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)

B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)

C．f(x)≥g(x)

D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)

2.已知函数f(x)定义在R上，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为( )

A． {x|x<－1}

B． {x|x>1}

C． {x|x<－1或x>1}

D． {x|－11

3.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a)

B．bf(a)≤af(b)

C．af(a)≤bf(b)

D．af(b)≤bf(a)

4.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，则f(2 015)与f(2 013)e2的大小关系为( )

A．f(2 015)B．f(2 015)＝f(2 013)e2

C．f(2 015)>f(2 013)e2

D． 不能确定

5.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )

A． (0,1)

2

B． (－1,0)∪(0,1)

C． (1，＋∞)

D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)

6.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )

A． (－∞，－1)∪(0,1)

B． (－1,0)∪(1，＋∞)

C． (－∞，－1)∪(－1,0)

D． (0,1)∪(1，＋∞)

7.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则( )

A．f(2)B．f(2)≤e2f(0)

C．f(2)＝e2f(0)

3

D．f(2)>e2f(0)

8.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有

f′(x)<1(x∈R)，则不等式f(x)A． (1，＋∞)

B． (－∞，－1)

C． (－1,1)

D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)

9.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A． (－1,1)

B． (－1，＋∞)

C． (－∞，－1)

D． (－∞，＋∞)

10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋

4

f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )

A． (－3,0)∪(3，＋∞)

B． (－3,0)∪(0,3)

C． (－∞，－3)∪(3，＋∞)

D． (－∞，－3)∪(0,3)

11.设函数F(x)＝恒成立，则( )

是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)

B．f(2)e2 016f(0)

C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)12.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 017，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式

f(x)>x2＋2 013的解集为( )

A． (－2,2)

5

B． (－2，＋∞)

C． (－∞，－2)

D． (－∞，＋∞)

13.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当

aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)

B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(b)>f(b)g(x)

D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

14.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式

f(x)<2ex的解集为( )

A． (－∞，0)

B． (－∞，2)

C． (0，＋∞)

6

D． (2，＋∞)

15.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)A．c>a>b

B．c>b>a

C．a>b>c

D．a>c>b

16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝－1，且当x>0时，有xf′(x)>f(x)，则不等式

f(x)>x的解集是( )

A． (－1,0)

B． (1，＋∞)

C． (－1,0)∪(1，＋∞)

D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)

7

17.已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＝f(1)，b＝－2f(－2)，c＝(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的是( )

>0，若aA．aB．bC．aD．c18.已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)为其导函数，且f(x)A．f()B．f()>f()

C．f()>f()

D．f(1)<2f()·sin 1

19.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有式f(x)>0的解集是( )

<0恒成立，则不等

8

A． (－1,0)∪(1，＋∞)

B． (－1,0)∪(0,1)

C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)

D． (－∞，－1)∪(0,1)

20.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)A． (－2，＋∞)

B． (0，＋∞)

C． (1，＋∞)

D． (4，＋∞)

21.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 013，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式

f(x)>x2＋2 009的解集为( )

A． (－2,2)

B． (－2，＋∞)

9

C． (－∞，－2)

D． (－∞，＋∞)

22.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)＝，则

等于( )

A．a2

B．

C． 9

D．

23.定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足等式成立的是( )

>－x，则下列不

A． 3f(2)<2f(3)

B． 3f(3)>4f(4)

C． 3f(4)<4f(3)

10

D．f(2)<2f(1)

24.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f()，

b＝－2f(－2)，c＝ln 2f(ln 2)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是( )

A．a>b>c

B．a>c>b

C．c>b>a

D．b>c>a

25.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：

①f(x)＝(a>0，且a≠1)；

②g(x)≠0；

③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)．

若＋＝，则a等于( )

A．

11

B．

C． 2

D． 2或

26.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)＝5，对任意实数x都有f′(x)<3，则不等式

f(x)<3x＋2的解集为( )

A． (－∞，0)

B． (0，＋∞)

C． (－∞，1)

D． (1，＋∞)

二、填空题

27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其中f(1)＝0，且当x>0时，有等式f(x)>0的解集是________．

>0，则不

28.已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0，a＝20.1·f(20.1)，

b＝(ln 2)·f(ln 2)，c＝(log2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是________．

12

29.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≥0，对任意正数m，n，若m≥n，则mf(n)与nf(m)的大小关系是mf(n)________nf(m)(请用≤，≥或＝)

30.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集为________．

31.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lgx)>的解集为________．

32.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)＋xf′(x)>0，则不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0的解集是________．

33.已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式f(x)>f(0)ex的解集是________．

34.设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0f′(x)cosx－sinxf(x)>0，则不等式f(x)cosx<0的解集为________．

35.已知函数y＝f(x)，对于任意的x∈[0，)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，则下列不等式中成立的有________．

①f()三、解答题

13

答案解析

1.【答案】B

【解析】据题意，由f′(x)f(b)≥g(x)－g(b)．

2.【答案】B

【解析】f(x)<＋，

∴f(x)－<，

令g(x)＝f(x)－，g(1)＝，

∴g(x)∴g(x)为减函数，∴x>1.

3.【答案】A

14

【解析】设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，

则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，

∴g(x)在区间x∈(0，＋∞)单调递减或g(x)为常函数，

∵a4.【答案】C

【解析】令F(x)＝e－xf(x)，

F′(x)＝e－xf′(x)－e－xf(x)＝e－x(f′(x)－f(x))，

∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，

∴F(x)在R上为增函数，

∴F(2 015)>F(2 013)，

∴e－2 015f(2 015)>e－2 013f(2 013)，

∴f(2 015)>f(2 013)e2.

5.【答案】C

15

【解析】设g(x)＝f(x)－x，

因为f(1)＝1，f′(x)>1，

所以g(1)＝f(1)－1＝0，g′(x)＝f′(x)－1>0，

所以g(x)在R上是增函数，且g(1)＝0.

所以f(x)>x的解集，即g(x)>0的解集(1，＋∞)．

6.【答案】A

【解析】记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0

时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当00，则

f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－

∞，－1)∪(0,1)．

7.【答案】D

【解析】设F(x)＝，则F′(x)＝>0，

∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，

16

∴>，

即f(2)>e2f(0)．

8.【答案】A

【解析】不等式f(x)由题意g′(x)＝f′(x)－1<0，g(1)＝f(1)－1＝1，

故原不等式⇔g(x)1.

9.【答案】B

【解析】令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，

则g′(x)＝f′(x)－2>0，

故g(x)在R上单调递增．

又g(－1)＝f(－1)－2＝0，故当x>－1时，g(x)>0，即f(x)>2x＋4.

10.【答案】D

【解析】设F(x)＝f(x)g(x)，

17

∵当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，

∴F(x)在x<0时为增函数．

∵F(－x)＝f(－x)g(－x)

＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，

故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．

已知g(－3)＝0，必有F(－3)

＝－F(3)＝0.

构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为

x∈(－∞，－3)∪(0,3)．

11.【答案】C

【解析】∵函数F(x)＝的导数

18

F′(x)＝

∴函数F(x)＝

＝<0，

是定义在R上的减函数，

∴F(2)同理可得f(2 016)12.【答案】C

【解析】令F(x)＝f(x)－x2－2 013，

则F′(x)＝f′(x)－2x<0，

∴F(x)在R上为减函数，

又F(－2)＝f(－2)－4－2 013＝2 017－2 017＝0，

∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，

∴不等式f(x)>x2＋2 013的解集为(－∞，－2)．

13.【答案】C

19

【解析】因为[]′＝，

又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，

所以在R上为减函数．

又因为a>，

又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．

14.【答案】C

【解析】设g(x)＝，

则g′(x)＝，

∵f(x)>f′(x)，

∴g′(x)<0，即函数g(x)单调递减．

∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，

则不等式等价于g(x)20

∵函数g(x)单调递减．

∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)．

15.【答案】A

【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，

∴当x∈(－∞，0)时，xf′(x)构造函数g(x)＝xf(x)，

则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，

∴当x∈(－∞，0)时，函数g(x)单调递减，

且函数g(x)是偶函数，

∴当x∈(0，＋∞)时，函数g(x)单调递增，

则a＝f()＝g()，b＝f(1)＝g(1)，

c＝(log2)f(log2)＝g(log2)＝g(－2)＝g(2)，

∵1<<2，

21

∴g(1)即b16.【答案】C

【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，

令g(x)＝，∴g(x)为偶函数，

又当x>0时，xf′(x)>f(x)，

∴g′(x)＝>0，

∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，

又f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，g(1)＝1，

当x>0时，∵不等式f(x)>x，

∴>1，即g(x)>g(1)，

∴有x>1；

当x<0时，∵不等式f(x)>x，

22

∴<1，即g(x)∴有－1当x＝0时，f(0)＝0，不等式f(x)>x不成立，

综上，不等式f(x)>x的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．

17.【答案】D

【解析】设g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)

＝x[f′(x)＋]，

∵x≠0时，f′(x)＋>0，

∴x>0时，g′(x)>0，

∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∵f(x)为奇函数，

∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，

c＝(ln)f(ln)＝(－ln 2)f(－ln 2)＝(ln 2)f(ln 2)，a＝f(1)＝1f(1)，

23

∵ln 2<1<2，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴g(ln 2)即(ln 2)f(ln 2)<1f(1)<2f(2)，

∴c18.【答案】A

【解析】因为x∈(0，)，所以sinx>0，cosx>0，

由f(x)即f′(x)sinx－f(x)cosx>0.

令g(x)＝，x∈(0，)，

则g′(x)＝>0，

所以函数g(x)在x∈(0，)上为增函数，

则g()24

即<<<.

所以2f()所以f()f()2f()·sin 1，

故A正确，B、C、D错误．

19.【答案】D

【解析】因为当x>0时，有<0恒成立，

即[]′<0恒成立，

所以在(0，＋∞)内单调递减．

因为f(1)＝0，

所以在(0,1)内恒有f(x)>0；在(1，＋∞)内恒有f(x)<0.

又因为f(x)是定义在R上的奇函数，

25

所以在(－∞，－1)内恒有f(x)>0；在(－1,0)内恒有f(x)<0.

不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．

20.【答案】B

【解析】∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于x＝0对称，

∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，

∴f(4)＝f(0)，

又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，

设g(x)＝(x∈R)，

则g′(x)＝＝，

又∵f′(x)∴g′(x)<0，∴y＝g(x)在定义域上单调递减，

∵f(x)26

又∵g(0)＝＝1，

∴g(x)0.

21.【答案】C

【解析】令g(x)＝f(x)－x2－2 009，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，

∴函数g(x)在R上单调递减，而f(－2)＝2 013，

∴g(－2)＝f(－2)－(－2)2－2 009＝0.

∴不等式f(x)>x2＋2 009，可化为g(x)>g(－2)，

∴x<－2，

即不等式f(x)>x2＋2 009的解集为(－∞，－2)．

22.【答案】D

【解析】∵f(x)＝axg(x)，

∴＝ax，

∵f′(x)g(x)27

∴[]′＝<0，

即函数＝ax单调递减，即0又＋＝，

则＋a＝，解得a＝或a＝3(舍去)．

即＝()x，

∴＝()2＝.

23.【答案】B

【解析】设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

因为f(x)为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，

所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，

由>－x得＋x>0，则>0，

则当∈(0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0，

28

所以函数g(x)在(0，＋∞)上递减，

则g(3)>g(4)，即3f(3)>4f(4)．

24.【答案】D

【解析】令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．

∵当x≠0时，f′(x)＋>0，

∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，

即当x>0时，g′(x)>0，

因此当x>0时，函数g(x)单调递增．

∵函数f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，

又c＝ln 2f(ln 2)，

∵2>ln 2>，

∴g(2)>g(ln 2)>g()，

即b>c>a.

29

25.【答案】C

【解析】由①得＝，

∴[]′＝，

由②g(x)≠0，③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)，

得f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)<0，

可知[]′＝<0，

即函数在R上单调递减，

即a>1.

若＋＝，

则＋＝＋a＝，

即2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝，∵a>1，∴a＝2.

30

26.【答案】D

【解析】记g(x)＝f(x)－3x，

∵对任意实数x都有f′(x)<3，

∴g′(x)＝f′(x)－3<0，

∴g(x)是定义在R上的单调递减函数．∵f(1)＝5，

∴g(1)＝f(1)－3＝5－3＝2.

∵f(x)<3x＋2，

∴f(x)－3x<2，

∴g(x)∵g(x)是定义在R上的单调递减函数，∴x>1.

27.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)

31

【解析】[]′＝>0，

即x>0时，是增函数，

当x>1时>f(1)＝0，f(x)>0；

0又f(x)是奇函数，

所以－10；

x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0.

则不等式f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．

28.【答案】c【解析】设函数h(x)＝xf(x)，由函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝x是奇函数，

得h(x)＝xf(x)是R上的奇函数，

由x∈(－∞，0)时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0成立，

32

∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，

∵3>20.1>1,0|log2|＝3>20.1>ln 2，

即h(3)又a＝20.1·f(20.1)，b＝ln(2)·f(ln 2)，

c＝(log2)·f(log2)，

∴c29.【答案】≤

【解析】令F(x)＝，

F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，

∵xf′(x)－f(x)≥0，

∴F′(x)≥0，即F(x)是(0，＋∞)上的增函数，

即当m≥n>0时，F(m)≥F(n)，

33

∴≤，从而mf(n)≤nf(m)．

30.【答案】(－1，＋∞)

【解析】设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，

则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0，

又对任意x∈R，f′(x)>3，∴F′(x)＝f′(x)－3>0，

∴F(x)在R上是增函数，

∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，

即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞)．

31.【答案】(0,10)

【解析】∵f′(x)<，

∴f′(x)－<0，

∴f(x)－在R上为减函数．

设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数，

34

∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0，

由f(lgx)－>0，得F(lgx)>F(1)，

∵F(x)在R上单调递减，

∴lgx<1，∴0∴原不等式的解集为(0,10)．

32.【答案】(－2 018，－2 015)

【解析】根据题意，令g(x)＝x3f(x)，

其导函数为g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，

∵x∈(－∞，0)时，3f(x)＋xf′(x)>0，

∴g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增，

又不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0可化为(x＋2 015)3f(x＋2 015)>(－3)3f(－3)，

即g(x＋2 015)>g(－3)，

35

∴0>x＋2 015>－3，解得－2 015>x>－2 018，

∴该不等式的解集为(－2 018，－2 015)．

33.【答案】(0，＋∞)

【解析】设F(x)＝，

∵f′(x)>f(x)对于x∈R恒成立，

∴F′(x)＝>0，

∴F(x)在R上递增，

则不等式f(x)>f(0)ex，

等价为>f(0)＝，

即F(x)>F(0)，

∵F(x)在R上递增，∴x>0，

即不等式的解集为(0，＋∞)．

34.【答案】(－π，－)∪(0，)

36

【解析】设g(x)＝f(x)cosx，

∵f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，

故g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝－f(x)cosx＝－g(x)，

∴g(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数．

g′(x)＝f′(x)cosx－sinxf(x)>0，

∴g(x)在(0，π)上递增，

于是奇函数g(x)在(－π，0)上递增．

∵g(±)＝0，

∴f(x)cosx<0的解集为(－π，－)∪(0，)．

35.【答案】②③④

【解析】构造函数F(x)＝，x∈[0，)，

则F′(x)＝>0，

∴函数F(x)在x∈[0，)上单调递增，

37

∴F()>F()，即2f()>f()，可得f()>f()，①错误；

同理可得F()可得f()同理F(0)同理F()可得f()38