黄梅县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种 2． 复数Z=
（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（2，4） 3． 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，=0的点M总在椭圆内部，满足则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．（0，1）
B．（0，]
C．（0，
）
D．[
，1）
4． 如图，该程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 B．15 C．31 D．63
5． 数列{an}的首项a1=1，an+1=an+2n，则a5=（ ） A．
B．20
C．21
D．31
x2y26． 已知点P是双曲线C：221(a0,b0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且
abPF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率
是（ ） A.5
B.2 C.3 D.2
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【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
7． 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）
（A） 8
（ B ） 4 （C） （D）
8 34 3+
=1Q两点，（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，若∠F1PQ=60°，
8． 设F1，F2分别是椭圆
|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
9． 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）A．
10．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
B．
C．
D．
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A5 B4 C3 D2
11．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )。
A3 B4 C5 D6
212．已知角的终边经过点(sin15,cos15)，则cos的值为（ ）
13133 B． C. D．0 24244二、填空题
A．
13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是 ．
14．已知sincos，
1sincos，(0,)，则的值为 ．
73sin12= ．
15．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（
）t﹣a（a为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
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17．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． ①若AC=BD，则四边形EFGH是 ；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH是 ．
18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与函数
fx2x2a2x0和gx2x3a2x0均相切（其中a为常数），切点分别为Ax1,y1和
Bx2,y2，则x1x2的值为__________． 三、解答题
19．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）．
（Ⅰ）若x轴是曲线f（x）=lnx﹣kx+1一条切线，求k的值； （Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．
20．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}． （1）求A∪B；
（2）求（∁UA）∩B； （3）求∁U（A∩B）．
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21．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．
22．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．
x＝1＋3cos α
在直角坐标系中，曲线C1：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
y＝2＋3sin α
标系，C2的极坐标方程为ρ＝
2πsin（θ＋）
4
.
（1）求C1，C2的普通方程；
3π
（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C3与C1交于点M，N，P是C2上一点，求△PMN的面
4积．
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23．已知椭圆C： =1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2 （右）的距离的和是6．
（1）求椭圆C的离心率的值；
（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．
24．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有
．
，求证：对任意正整数n≥2，总有x的图象上（n∈N*），
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黄梅县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】
C
排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 组合公式． 2． 【答案】A 【解析】解：复数Z=故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
3． 【答案】C 【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c， ∵
=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆． 又M点总在椭圆内部，
2222
∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c＜b=a﹣c．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、
==（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
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2∴e=
＜，∴0＜e＜
．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
4． 【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（ ） D
【解析】解：因为A=1，s=1
判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2； 判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3； 判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4； 判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5； 判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；
此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m值应是5． 故答案为5．
【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．
5． 【答案】C
【解析】解：由an+1=an+2n，得an+1﹣an=2n，又a1=1， ∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1 =2（4+3+2+1）+1=21． 故选：C．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．
6． 【答案】A. 【
解
析
】
7． 【答案】A
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【解析】
1根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于2232238
38． 【答案】 D
【解析】解：设|PF1|=t， ∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°， ∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|， 由对称性可知，PQ垂直于x轴， F2为PQ的中点，|PF2|=， ∴|F1F2|=
，即2c=
，
=t，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t
∴椭圆的离心率为：e==故选D．
=．
9． 【答案】C
【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1， 故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H， 则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=
，
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AO1=3故选：C．
，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
10．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3. 11．【答案】B
【解析】由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B 12．【答案】B 【解析】
考
点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=令3﹣x=t，t∈（2，3）， ∴S=立；
=
=
，当且仅当t=即t=2
时等号成
=
，（0＜x＜1）
．
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故答案为：
14．【答案】【解析】
．
17(62) 3sin267sinsincoscossin,
41243434317sincos1747326sin12623, 故答案为
17(62).
3考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式. 15．【答案】 ﹣5 ．
2
【解析】解：求导得：f′（x）=3ax+2bx+c，结合图象可得 x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0， 故
，解得
故==﹣5
故答案为：﹣5
16．【答案】0.6 【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1
）0.1﹣a
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由题意可得y≤0.25=， 即（
）t﹣0.1≤，
即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
17．【答案】 菱形 ； 矩形 ．
【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC ∴四边形EFGH是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形．
②由①知四边形EFGH是平行四边形 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形． 故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
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18．【答案】
56 27【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k=0， ∴x=，
由ln﹣1+1=0，可得k=1；
（2）当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0， 则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数， 而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
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∵f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立， 则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
20．【答案】
【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}． （1）A∪B={1，2，3，4，5，7} （2）（∁UA）={1，3，6，7} ∴（∁UA）∩B={1，3，7} （3）∵A∩B={5}
∁U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29． 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．
（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2， 设成绩为x、y
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c， 若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况， 若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况， 若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有 a b c x xa xb xc y ya yb yc 共有6种情况，所以基本事件总数为10种， 事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴
．
，所以有：
【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．
×组距=
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22．【答案】
x＝1＋3cos α
【解析】解：（1）由C1：（α为参数）
y＝2＋3sin α
得（x－1）2＋（y－2）2＝9（cos2α＋sin2α）＝9. 即C1的普通方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9， 由C2：ρ＝
2π
sin（θ＋）
4
得
ρ（sin θ＋cos θ）＝2， 即x＋y－2＝0，
即C2的普通方程为x＋y－2＝0.
（2）由C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9得 x2＋y2－2x－4y－4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0， 3π
将θ＝代入上式得
4ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4，
∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝32. 3
C3：θ＝π（ρ∈R）的直角坐标方程为x＋y＝0，
4
2
∴C2与C3是两平行直线，其距离d＝＝2. 2
11
∴△PMN的面积为S＝|MN|×d＝×32×2＝3.
22即△PMN的面积为3.
23．【答案】
【解析】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3； ∴c=∴
； ；
； ；
即椭圆的离心率是（2）
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∴x=带入椭圆方程
）．
得，y=；
所以Q（0，
24．【答案】
【解析】（I）解：∵点（an，Sn）在y=∴当n≥2时，∴
当n=1时，∴
=，化为
，解得a1=．
=
，
，
，
x的图象上（n∈N*），
．
=2n+1，
（2）证明：对任意正整数n都有
∴cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1 =（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3 =
∴当n≥2时，∴
=，
又∴
=．
．
==
=（n+1）（n﹣1）．
=
+…+
．
=
＜
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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