Solow增长模型内生化解释

Solow增长模型内⽣化解释

在新古典⽣产函数假设下，索洛模型中的长期经济增长率由外⽣的技术进步率决定。因此，对于索洛模型⽽⾔，长期的经济增长是由模型之外的因素决定的。20世纪80年代后期，以Romer(1986, 1990）和Lucas(1988）为⾸的经济学家不满⾜索洛模型的这⼀结论，他们分别在Ramsey模型的框架内，提出了内⽣增长理论。这之后，出现了⼀⼤批内⽣经济增长的研究⽂献，这使得从20世纪60年代之后沉寂了近30年的经济增长理论再次复活。这⼀章将在索洛模型中讨论内⽣经济增长机制。本章将表明，如果对索洛模型的基本假设稍作修改，在索洛模型的框架内也可以讨论内⽣经济增长的机制（Mank1w, Romer andWell,1992；Barro and Sala-I-Martin,1995; Romer, 2000）。1. 特殊形式的⽣产函数和内⽣增长

在Solow模型中，长期内经济增长动⼒消失的主要原因在于资本边际⽣产⼒递减并趋近于0这⼀假设。下⾯的分析将表明，如果当资本趋于⽆穷⼤时，边际⽣产⼒不趋近于0, 那么，在这类⽣产函数假设下，Solow模型会产⽣持续的经济增长。⽂献中常⽤的这类⽣产函数有三种：1.1 AK 增长模型

假设⽣产函数为 AK Y = （1） 其中A 表⽰技术⽔平，由此，⼈均有效产出为k A AL AK AL Y y ?)/()/(?==≡ （1’）其中k ?表⽰⼈均有效资本，y

表⽰⼈均有效产出。同时假设储蓄为产出的⼀个固定⽐例，即储蓄率为s ，同时假设资本折旧为δ。由此，资本积累⽅程为：)()()(t K t sY t K δ-=& (2)技术进步率为A

g ，即)()(t A g t A A =& (3) 同时假设⼈⼝增长率为n ，即)()(t nL t L =& (4)

根据⽅程（1’）(2)、(3)和(4)，得)()(?/)?(?/?A

A g n s g n k k sf k k ++-=++-=δδ& 只要储蓄率s ⼤于A

g n ++δ，则⼈均有效资本会持续增长。由此，⼈均产出⽔平的增长率为：)(/2?/?///n g s A A k k A A k k y y A +-+=+=+=δ&&&&&

所以，只要储蓄s ⼤于n +δ，即使经济中的外⽣技术进步率为0，经济也会存在持续的经济增长。因此，在AK 模型中，Solow模型具有内⽣经济增长的机制。不过在AK ⽣产函数的Solow 模型中，不存在转移状态，经济永远处于稳定均衡状态。

1.2 AK-Cobb-Douglas 组合的⽣产函数现在我们假设⽣产函数为αα-+=1L BK AK Y (7)

其中，A>0，B>0，且1>α>0都表⽰固定参数。显然，这⼀⽣产函数仍然满⾜稻⽥条件的前两个条件，但是稻⽥条件0),(lim=+∞→L K F K K 不再满⾜。耿军⽅程式（7），⼈均产出为

αBk Ak L Y y +=≡/ （7’）

所以 1)('-+=αBk A k f （8） ⽅程（8）表明，在这⼀⽣产函数下，虽然资本的边际⽣产⼒仍然递减。但是，其边际⽣产⼒有⼀个下界A 。另外，假设经济中不存在技术进步，其他⽅⾯的假设同上。由此可得)()()(?/)?(/1n Bk A s n k k

sf k k +-+=+-=-δδα&

这⼀⽅程式说明，只要储蓄率sA ⼤于n +δ，即使⼈均资本的增长率会不断减少，但仅仅中仍然会存在持续性的经济增长。长期⼈均资本增长率为)(lim n sA g k k +-=∞

→δ 因此，在这⼀⽣产函数情况下，Solow 模型也具有内⽣经济增长的机制。

1.3不变替代弹性（CES ）⽣产函数

现在我们假设⽣产函数是⼀个不变替代弹性⽣产函数（Arrow et al.，1961），即

{}φφφ/1])1)[(1()(L b a bK a A Y --+= （11） 其中A>0,1>b>0,1>a>0,1>φ>0表⽰固定参数。另外，假设经济中不存在技术进步，其他条件的假设同上。 对于这⼀不变替代弹性的⽣产函数，资本和劳动之间

的替代弹性为1/(1-φ)。并且，当φ趋于⽆穷⼤时，这⼀⽣产函数趋近于固定⽐例的⽣产函数（⾥昂惕夫⽣产函数），其替代弹性为0；当φ趋向于0，这⼀⽣产函数趋近于C-D 函数。其替代弹性为1；当φ=1，这⼀⽣产函数为线性⽣产函数，其K 和L 可以完全替代（详见蒋中⼀，1999，批判57-560；或者范⾥安（1997，pp21-22））。根据⽅程（11），⼈均产出为φφφ/1})1)(1()({)(b a bk a A k f y --+== （11’） 所以有φφφφφφ/)1(})1)(1({)('----+=k b a ab Aab k f （12） 可得

φ/1/)(lim )('lim Aba k k f k f k k ==∞→∞→；∞==∞→→k k f k f k k /)(lim )('lim 0（13）

这表明，在这⼀⽣产函数下，虽然资本的边际⽣产⼒仍然递减，但是，其边际⽣产⼒有下界φ/1Aba 。因此，这⼀⽣产函数下也存在持续的经济增长。同理，根据⽣产函数求得

)(})1)(1({//)1(n k b a ab sAab k k +---+=--δφφφφφφ& 所以，只要储蓄率φ/

1sAba ⼤于n +δ，虽然⼈均资本增长率会不断减少，但经济中仍然会存在持续性的经济增长。长期⼈均资本增长率为)(lim /1n sAba g k k +-=∞

→δφ 因此，在这⼀CES ⽣产函数情况下，Solow 模型也具有内⽣经济增长的机制。2 简单评述

根据这⼀⼩节的叙述，在Solow 模型的框架下，只要改变新古典⽣产函数中的稻⽥条件，假设当资本趋近于⽆穷⼤时，资本的边际⽣产率最终不会趋近于0（0),(lim >∞→L K F K K ）,那么经济中才存在内⽣经济增长。当然，只有当经济中外⽣的储蓄率⾜够⾼时，经济中才存在正的经济增长率。因此，原始的Solow 模型之所以不存在内⽣经济增长，关键在于新古典⽣产函数的稻⽥条件。

另⼀⽅⾯，尽管我们论述的模型也可能产⽣内⽣经济增长，但是，这⼀模型本⾝并不能解释内⽣经济增长的机制，或者说它并不能告诉我们，内⽣经济增长的源泉在哪⾥？本⽂的模型显⽰，导致经济增长的唯⼀原因是物质资本积累。但是，如果物质资本积累是经济增长的唯⼀原因，那么，为何⼈类长期发展中，只有近200年，尤其是近100年，才有真正意义上的经济增长。因此，如果物质资本积累是经济增长的唯⼀

原因，显然不能解释⼈类历史上经济长期增长的事实。另外，它也没有办法解释不同国家之间的⼈均收⼊⽔平和经济增长的差异。注：