201312月复习题

2012-2013学年第一学期《高等数学》试卷（A卷）

一、填空题（每小题4分，20分）

1．写出数列xn以常数a为极限的N定义： 对所有0，存在N0，当nN时有xna

f21xf212．设f1f12，则lim 8

x0xeydx 3．方程y1xe确定了隐函数yyx，则dyy1xey4．设fx，且

2x310ftdtx，则f71 125.

0112xdx 42xn存在，并求出此。证明：limn二、计算下列各题（每小题5分，共15分）

6、设数列xn满足：0x1，且xn1sinxnn1,2,极限

7、求极限lim11 2x0x2sinx 2nnnnn8、求极限lim22nn1n2x2x232三、解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、已知y3xsinx，求

dy dx201310、设fxxsinxcosx，求y

0

2dyxln1x11、设yyx由参数方程确定，求

dxytarctant12、写出fxxe带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式

x

《高等数学》试卷第 1 页 共 18 页

四、 计算下列各题（每小题5分，共10分） 13、计算14、

11cosxdx

xarctanx1x2dx

五、解答下列各题（每小题5分，共15分）

15、设fx在,连续，且fxfx,x,0。证明

ln2fxdx0

16、计算

0ex1dx

e17、判别广义积分

1elnx1x1dx的敛散性

六、解答下列各题（每小题5分，共10分）

x18、求由ye1,xln3和y0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积

a219、求双扭线racos2在圆xy内部的图形的面积。

22222七、证明题（每小题5分，共10分）

20、设fx在0,1上可微，且f12xfxdx。试证：存在0,1，使f120f0

证 由积分中值定理，2xfxdx2f120110f,0, 22从而 1f1f1f,,1也形成了一个区间。

令Fxxfx，由已知Fx，在区间,1上连续，在,1内可导，又FF1， 由罗尔定理，得存在存在,10,1，使F0，即ff0

21、设fx函数在闭区间a,b上连续，证明：fx在闭区间a,b上存在原函数 证 由于fx函数在闭区间a,b上连续，可设xfxdx,xa,b

ax《高等数学》试卷第 2 页 共 18 页

由于xxxxxfxdxfxdxfxdx,xxa,b

aaxxxxxxxxx11从而xlimlimfxdxlimfx,位于xxx0x0xx0xxx与x之间，再由连续性，从而xlimflimffx，由原函数的定义知xx0x是fx在闭区间a,b上的一个原函数，因此fx在闭区间a,b上存在原函数

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2011-2012学年第一学期《高等数学》试卷（A卷）

一. 填空题 (共6小题,每小题3分,共18分)

1．设f(x)连续,则df(x)dx_________;f(x)dx________; 2． sinx带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为: _____________________________________________;

13．曲线yxlne,x0的渐近线方程为______________;

x4．设y2x2x,在x1处,当x0.01时,则应有dy_______;

dx25． 01t2dt_____________: dx6. 设a1,2,2,b2,1,2,则ab_____________. 二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分) 1．求极限limn124n244n1xtanx2．求极限lim． x0x2sinx1． 224nn13 ．求极限limn120xn1x2dx

1xarctan2,x04．设函数f(x) ，讨论f(x)在点x0处的连续性 xx00,三.解答下列各题 (共3小题,每小题5分,共15分) 1．已知0etdt0cos2tdt0,求y2sinxdy. dx2．设g(x)sin2xf(x),其中f(x)在x0处连续问,g(x)在x0处是否可导?如果可导,求出g(0).

《高等数学》试卷第 4 页 共 18 页

d2yxatsint3．设函数yy(x)由参数方程所确定,求2.

dxya1cost四. 解答下列各题(共2小题,每小题5分,共10分) 1．计算dxx2132，

2．计算sinxlntanxdx．

五. 解答下列各题(共4小题,每小题5分,共20分) 1．

在下列两个积分

0excos2xdx,22excos2xdx

2中确定哪个积分值大,并说明理由． 2．计算11x21sinx11x2dx

3. 计算1lnxdx

ee4. 设a0,求0eaxsinxdx

六. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)

1. 求由yx2,x2和y0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

2. 求心形线ra1cos的全长. 七. 证明题(5分)

设函数f(x)在闭区间a,b上连续, g(x)在闭区间a,b上不变号,证明:至少存在一点a,b,使得af(x)g(x)dxf()ag(x)dx

bb

《高等数学》试卷第 5 页 共 18 页

2010-2011学年第一学期《高等数学》试卷（A卷）

一. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分) 1．当xa时,f(x)x1是无穷小,则实数a_0 ； lnx2．设yln(sinx1)3，则dy3．设f(x)在x0可导，则limh03cosxdx；

2sinx1f(x02h)f(x03h)=5f'(x0)

h4．曲线ylnx的拐点为 （1，0） ；

5．设f(x)xex，则f(n)(x)在点x(n1)处取极小值en1．

二. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分) 1．求极限lim(n1n12x21n221nn2)．

12．求极限limex1．

xx3 ．求极限limx0(arctant)2dtx12x

x,x014．设函数f(x)1ex ，讨论f(x)在点x0处的连续性与可导性．

x00,

三.解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)

1．由方程ytan(xy)确定了隐函数yy(x)，求y(x)的二阶导数． 2．设xf(t),yf(e3t1)，其中f(t)二阶可导，且f'(0)0，求

dydxt0和

《高等数学》试卷第 6 页 共 18 页

d2ydx2t0．

3．指出数列nn中最大的数，并说明理由． 解：设f(x)x，f'(x)x(1lnx)/x，

21x1x 故 f'(e)0。…………….2’

当0xe,f'(x)0,f(x)单调递增，当xe,f'(x)0,f(x)单调递

减…………2’

又2e3，因此2,33中最大的数就是nn中最大的数，233 所以nn中最大的数是33………………….2’

四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分)

lnx,1．设f(x)11,21x2x1x1，求f(x)dx

2．计算13dxx21x2．

3．设s0，求In0esxxndx(n1,2,)．

4．设a2ijk,bijk,试在a,b所决定的平面内，求一个与a垂直的

单位向量．

五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 1、 求心形线ra(1cos)围成的图形面积．

2．求摆线xa(tsint),ya(1cost)(a0)的一拱0t2与x轴所围成的平

《高等数学》试卷第 7 页 共 18 页



面图形绕y2a旋转所得旋转体的体积． 六. 证明下列各题(共2小题)

1．(本题6分)写出拉格朗日中值定理，并给出证明.

写出拉格朗日中值定理……………2’ 证明………………………………….4’

2．(本题5分)设函数f(x)在(,)上三阶可导，且f(x)和f'''(x)在(,)有界.试证：f'(x)和f''(x)在(,)有界.

证明：存在正数M1,M2，使得f(x)M1，f'''(x)M2；….………….…..1’ 由泰勒中值定理

f(x1)f(x)f'(x)11f''(x)f'''()，介于x,x1之间； 2!3!11f(x1)f(x)f'(x)f''(x)f'''()，介于x,x1之间；…………3’

2!3!

相减，相加，即得界…………………………..….1’

《高等数学》试卷第 8 页 共 18 页

f'(x)和

f''(x)在

(,)有

2009-2010学年度第一学期高等数学（上）期末考试试卷

三. 填空题 (共5小题,每小题3分,共15分)

1．(09)设x0时,etanxex与xn是同阶无穷小,则n_________3______； 2．(09)设y1，则y(6)6!12x(x)(2)6(12x)7； 3．(09)若曲线yax3bx2的拐点为（1, 3），则常数a32，b92；

14．(09)曲线y(2x1)ex的渐近线方程为x0,y2x1；

5. (09)f(x)lnx在x01处带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式为(x1)1(x1)21(x1)3(1)n11(x1)n23no((x1)n)．

四. 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分)

．(09)已知f(x)x21x|x|(x21)，指出函数的间断点及其类型． x10,x21,x31为间断点……….2分

limx2xx2f(00)xx0x(x21)1,f(00)limx0x(x21)1,

f(10)xlimx2x10x(x21)12,f(10)xlimx2x10x(x21)12, f(10)xlimx(x1)10x(x1)x1,f(10)xlimx2x10x(x21),………3分

从而x10为第一类跳跃间断点，x21为第一类可去间断点，x31为第二类无穷型间断点

………………………………………………………………………………..1分

《高等数学》试卷第 9 页 共 18 页

_ ___ _ ____ _____________________ _

22lnxa,x12．(09)设函数f(x)在点x1处可导，求a,b的值．

b(x1)1,x1ef1f10f10

从而f(1)0limlnxalimex10x1022b(x1)1,ln1a20,a0…………3分

f(1)limx10fxf1ln1x1lim1 x10x1x1bx1fxf1e1f(1)limlimb

x10x10x1x1由可导知f(1)f(1)f(1),b1……………………………………………………..2分

2arctanxln3．(09)已知limx0xn用罗比达法则…….2分

n3,C2……….3分

1x1xC0，试确定常数n和C的值．

4．(09)lim(n114n1214n4214nn22)．

14x20dx…………3分

6……………………..2分

五. 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分)

1．(09)由方程xy2xy0确定了隐函数yy(x)，求微分dy．

deylnx2xyeylnxlnxdyydlnx2dxdy0……………5分

即xylnxdyxyy2xydx2dxdy0,dydx……………1分 yxx1xlnxxtln(1t)d2y2．(09)求由参数方程所确定函数的二阶导数2． 32dxytt《高等数学》试卷第 10 页 共 18 页

dy(3t2)(t1)……………3分 dxd2y(6t5)(t1)…………….3分

tdx2

3．(09)已知函数f(x)连续，g(x)t2f(tx)dt，求g'(x)．

0xg(x)(ux)2f(u)du………….3分

-x0

g'(x)2uf(u)du2x0xx0f(u)du………3分

四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分) 1sinxdxsec2xtanxsecxdxtanxsecxc…….6 1．(09)2cosx

2．(09)arctan116x1dx．

令x1u，则x1u22，当x1时u0，当x16时u3，……2分

22原式=

30arctanud1u33221u3arctanu0301udu……………3分

216u16u23……………………….1分 33301dx． 3．(09)1exe2x=limbb1exdx11x1b1 limarctanelimarctanebe2xe2bee44e1b4．(09)已知三点M(1,2,1),A(2,3,1)和B(1,3,0),计算：(1)以MA,MB为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA,MB的单位向量n0．

SMAMB{1,1,1}3…………3分

《高等数学》试卷第 11 页 共 18 页

n03{1,1,1}……………………….3分 3

五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分)

2．(09)求r2sin和r2cos2围成图形的公共部分的面积．

16142S(2sin)dcos2d………..4分

2026 =

613………………………………………2分 22．(09)求由曲线yex,x1,x2及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所成立体的体积．

2V2xf(x)dx=2xexdx…………4分

1212e2……………………………………2分

六. 证明下列各题(共2小题)

1．(09) (本题6分)设函数f(x)在(,)上连续，利用定义证明函数F(x)f(t)dt0x在(,)上可导，且F'(x)f(x)．

F(xx)F(x)lim=limxx0xn0xxxf(t)dtx，……………..2分

因为f(x)在(,)上连续，由积分中值定理得

F(xx)F(x)f()xf()，其中xx，01………..2分

x0xxlim再利用f(x)的连续性得

x0limf()f(x).故F'(x)f(x)………………………………….2分

《高等数学》试卷第 12 页 共 18 页

2．(09) (本题5分)设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)dx0，xf(x)dx1，试证：

0011（1）存在 [0,1]，使得f()4；

（2）若f(x)在[0,1]上可导，则存在(0,1)，使得f'()4．

1（1）1(x)f(x)dx02110x12f(x)dx，由积分第一中值定理的，存在

[0,1]，使得10x12111f(x)dxf()xdxf()，故存在 [0,1]，使

024得f()4……….3分

（2）由积分中值定理，存在c[0,1]，使得f(x)dxf(c)0.由拉格朗日中值定理，

01则存在(0,1)，使得f()f(c)f'()(c)f'()，由（1）知f'()4. …………………..2分

《高等数学》试卷

（2008-2009学年期末理工类统考 时间120分钟，总分100） 成绩报告表序号： 专业班 姓 名： 学院（系）

一、填空题（共18分） 1．(08) [3分] 设fxlimnn1x，则

nx21fx的间断点为x0，它是第 二 类间断点

2．(08) [3分]若fxxx1x2x33．(08) [3分]设fu可微，且yf2x2008，则f02008!

sin3x，则dy6fsin3xfsin3xcos3xdx

4．(08) [3分]

2x124x2dx2

1 x5、(08) [3分] 已知fx的一个原函数为xlnx，则fx《高等数学》试卷第 13 页 共 18 页

6、(08) [3分] 设a{1,2,2},b{2,1,2}，则abab{12,12,6} 二、计算下列各题（4520） 1、(08) [5分] 设annsin解：limanlimnsinnnn22n，求liman

n2n22nlimn2nn22nlimn2

1221nx11cosx2、(08) [5分]求极限lim1 x0x212x1解：原式limcose1limx0xx0x2xxxlncos221limx0xlncos2xx22ln10

3、(08) [5分] 已知fx有一阶连续导数，且f0f01，求极限limx0fsinx1

lnfx1

x0解：原式=limx0fsinxf0sinx11f01sinx0xlnfxlnf0lnfxx04、(08) [5分]求极限lim11nn1n21 nn11解：原式=lim2n111nn11111dxln1xln2 n01nn1x0三、(08)解答下列各题[每小题5分，共20分] 1． (08)已知两曲线yfx与yarctanxarctanx0etdt在点0,0处的切线相同，求此切线方程

2解：对y0edt,yearctant22x1,y01 21x从而在点0,0处的切线为yx

3xt9t2． (08)设函数yyx由参数方程确定，求曲线yyx向下凸的x的取值范围 2yt2t《高等数学》试卷第 14 页 共 18 页

2t22dy2t2d2y3t29232tt解： 2,2223dx3t9dx3t99(t3)曲线下凸要求yx0，即32tt23t1t0,t1,3

因此对于xt39t,x10,，由于在端点连续，可取x的取值范围为10,

x,x03． (08)设x具有二阶连续导数，且00，若fxx

a,x0（1）确定a，使fx在,内连续； （2）求fx

解：（1）连续则必有af0limfxlimx0x0x0x00

(2)当x0时fxxxx 2xfxf0lim而f0limx0x0x0xx0x0limx0xx0x2

limx0x02x10 2xxx,x02x所以fx 10,x024、(08)设函数yyx由方程xy解：对方程两边求导书

yxx0,y0确定，求

dy dxlnylnx,ylnyxlnx xylnx1

lny1两边求导书，得(lny1)ylnx1,y《高等数学》试卷第 15 页 共 18 页

四、解答下列各题[每小题5分，共20分]

31、(08)计算secxdx

解：

23原式secxdtanxsecxtanxtanxsecxdxsecxtanxsecxdxsecxdx

1111secxtanxsecxdxsecxtanxlnsecxtanxc 22222、(08)计算x1x01432dx

2解：令xsint，则2xdxcostdt。当x0时取t0，当x1时取t， 2211131324原式1sintcostdtcostdt

22242232002323、(08)计算

11x21x1x22dx

b12x1dxlimarctanx 222b21x1x1x1解：原式=

112xx222dx1111limarctanbarctan1 22b1b11424、(08)设fx1xlntdt,x0，求fx1t1x1f x解：对flnt1111t1u1dtdtdutt，作换元，则。当时，当时ux， 2x1tuux1x1xx1lnulnt1u从而fdududt 21xuuu1tt11111ulnlntlntlnt111dtdtdtln2tln2x 因此fxftt1t22x11t111xxxx《高等数学》试卷第 16 页 共 18 页

1lnx1lnx1另解：令gxfxf,gxx2,g10

11x1xxxxln从而fxf121gxlnx x2五、(08) [本小题10分] 设直线yax0a1与曲线yx2所围成的图形面积为S1，它们与

直线所围成的面积为S2

（1）试确定常数a的值，使达到最小，并求出最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 解：令faS1S2axxdxx20aa1211aaxdxa3

332则faa212 0a222时达到最小，最小值为2由问题的实际意义及定义域内驻点的唯一性可知，当a212f236 2V22202222xxdx2212222dxxx 230212六、证明下列各题[每小题6分，共12分] (08)1、当0xy2时，证明：yxcosytanytanxcosycosxyxcosx

2222证：在区间x,y上函数fttant满足lagerange定理的条件，从而存在x,y使得

tanytanxyxsec22yxyxyx, 222coscosxcosy222从而yxcosytanytanxcosycosxyxcosx 另证：当0xy2时，由积分种植定理与单调性有

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11yx1yx22dt2tanytanx2yx,x,y从而得证

cosxxcostcoscosy2、(08)设fx在a,a上二阶导数连续a0，且f00，证明：在a,a上至少存在一点使得a3f3xyafxdx

0a证：令Fxftdt，则由已知，Fx在a,a上三阶导数连续，在x00处作二阶泰勒

展开，有FxF0F0xF02F3f02f3xxxx 2!3!26!f1f2从而3fxdx3a3f（由介值定理） FaFaa2aa3另证：由已知在x00处作一阶泰勒展开，有fxf0f0xf2x 2!3由最值定理有mfxM，由对称区间积分性质3fxdxfx2dx

2aa2ma32Ma3222由估值公式 mxdxfxdxMxdx33aaa332从而m，由介值定理使a,afxdxMffx2dx 332aa2aaaaaaaaaa因此af33afxdx

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