调研一 直线与圆
■备考工具—————————————— 一、直线方程的相关概念 1．表示直线方向的两个量 (1)直线的倾斜角：
①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．
②范围：0°≤α<180°. (2)直线的斜率：
①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过
y2－y1
P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.
x2－x1
2．直线方程的形式
(1)点斜式：y－y0＝k·(x－x0) (2)斜截式：y＝kx＋b
y－y1x－x1
(3)两点式：＝
y2－y1x2－x1xy(4)截距式：＋＝1
ab(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)
2
2
x＝x0＋tcosα(6)参数式：
y＝y0＋tsinα
(t为参数)
3．两条直线的位置关系
方程 相交 垂直 斜截式 一般式 A1x＋B1y＋C1＝0， y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A2x＋B2y＋C2＝0 k1≠k2 k1k2＝－1 A1B2－A2B1≠0 A1A2＋B1B2＝0 A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 4．距离
距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离 公式 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2|C1－C2| A2＋B2d＝二、圆的方程及相关概念 1．圆的方程
(1)圆的标准方程与一般方程：
名称 方程 圆的标准方程 (x－a)＋(y－b)＝22圆的一般方程 r2(r>0) (a，b) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心 －D，－E 22半径 r 122D＋E－4F 2(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(3)参数方程：
x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ
2
(θ为参数)
圆心(a，b)，半径为r. 2．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)＋(y－b)＝r，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心
2
2
C(a，b)到直线l2
＋y－bx－a的距离为d，由
Ax＋By＋C＝0，
2
＝r，
2
消
去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法 几何法 位置关系 相交 相切 相离 代数法 d 设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 几何特征 代数特征 外离 外切 相交 内切 内含 0 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中， 2 点M(x，y)的坐标满足y＋yy＝.2 1 2 x＝ x1＋x2 2 2 若线段的中点为M(x0，y0)，一个端点坐标为(a，b)，则另一个端点坐标为(2x0－a,2y0－b)． 2．弦心距公式和弦长公式 (1)弦心距公式：直线截圆所得的弦长为2a，圆的半径为r，弦心距为d，则弦心距公式为d＝r－a. (2)弦长公式：l＝2a＝2r－d. 3．切线长公式 圆的方程为f(x，y)＝x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)＋(y－b)－R＝0，圆外有一点P(x0，y0)，由点P向圆引的切线的长为l＝f2 2 2 2 22 2 x0，y0. ■自测自评—————————————— 1．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是 ( ) A．平行 C．垂直 B．重合 D．相交但不垂直 sinA解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，asinAbbx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝sinBasinB－1，所以直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C. 答案：C 2．若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为( ) A．1 1 C．0或－ 2 B．－3 D．1或－3 b解析：由题设可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.当a＝－3时两直线重合，应舍去，故选A. 答案：A 3．[2019·合肥调研]已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)＋(y－1)＝r(r>0)相交所得的弦长为22，则圆C的半径r＝( ) A.2 C．22 B．2 D．4 2 2 2 解析：解法一：依题意，圆C的圆心为(2,1)，圆心到直线的|2＋1－5|22 距离d＝＝2，又弦长为22，所以2r－d＝22， 1＋1所以r＝2，故选B. x＋y－5＝0 解法二：联立得2 x－2＋ 2 y－1 2 ＝r2 ，整理得2x－ 2 12x＋20－r＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，20－r2 所以x1＋x2＝6，x1·x2＝，所以|AB|＝1＋k|x1－x2|＝2 2 2 x1＋x2 2 －4x1x2＝22，解得r＝2. 答案：B 4．[2019·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( ) A．x＋y－2x－3＝0 B．x＋y＋4x＝0 C．x＋y－4x＝0 D．x＋y＋2x－3＝0 解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)＋y＝4(m>0)，则|3m＋4|14 (舍去)，故所求圆的方程为(x22＝2，解得m＝2或m＝－33＋4 －2)＋y＝4，即x＋y－4x＝0.故选C. 答案：C 5．[2019·广州调研]若点P(1,1)为圆C：x＋y－6x＝0的弦 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( ) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0)，又P(1,1)，所0－11 以kPC＝＝－.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2. 3－12根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选D. 答案：D 6．[2019·湖北重点中学]已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－3)＋(y－1)＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为( ) A．(0,3] C．[2,3] B．[1,3] D．[1,2] 2 2 2 2 2 解析：以AB为直径的圆的方程为x＋y＝a，则由题意知圆(x－3)＋(y－1)＝1与圆x＋y＝a有公共点，则|a－1|≤ 3 2 2 2 2 2 2 ＋1≤a＋1，解得1≤a≤3，故选B. 2 答案：B 7．[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x4 ＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是 x________． 解析：通解：设 4 Px，x＋，x>0，则点 x P到直线x＋y＝0的 44 |x＋x＋2x＋2 xx距离d＝＝≥ 22 4 2x· x2 4 ＝4，当且仅当2x＝，即xx＝2时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4. 444 优解：由y＝x＋(x>0)得y′＝1－2，令1－2＝－1，得xxxx＝2，则当点P的坐标为(2，32)时，点P到直线x＋y＝0的|2＋32| 距离最小，最小值为＝4. 2 答案：4 8．[2019·唐山摸底]已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C： x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________． 解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1,2)，由已知可得圆C的标准方程为x＋(y－1)＝8，可知圆心C(0,1)，半径r＝22，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝2 22 2 2 2 1－0－ 2 2 ＋2－1 2 ＝2，故|AB|min＝ 2 ＝26. 答案：26 9．[2019·广东六校联考]已知点P(－1,2)及圆(x－3)＋(y－4)＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于 2 2 点T，则|PQ|＋|QT|的值为________． 解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，如图，连接 PP′，P′Q，由对称性可知，P′Q与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT| ＝|P′T|.圆(x－3)＋(y－4)＝4的圆心为A(3,4)，半径r＝2，连接AP′，AT，则|AP′|＝(－1－3)＋(－2－4)＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝|AP′|－|AT|＝43. 答案：43 10．[2019·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是 2 2 2 2 2 2 2 r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝ ________，r＝________. 解析：解法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝ －2－0 2 ＋－1＋2 2 ＝5. 解法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以 0－ m＋1 －2 ×2＝－1，所以m＝－2， r＝－2－0答案：－2 2 ＋5 －1＋2 2 ＝5. 调研二 椭圆、双曲线 ■备考工具—————————————— 一、定义 1．椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数． (3)当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 2．双曲线的定义及理解 (1)定义：平面上到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在． 二、方程和性质 1．椭圆的方程与性质 标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 范围 对称性 顶点 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b)，B2(0，b) 性质 轴 焦距 离心率 b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝∈(0,1) aa2＝b2＋c2 a，b，c的关系 2.双曲线的方程与性质 标准方程 x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) 图形 范围 对称性 顶点 轴 性质 焦距 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≥a或y≤－a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2 |F1F2|＝2c ce＝，e∈(1，＋∞) ac2＝a2＋b2 by＝±x aay＝±x ba，b，c的关系 渐近线 三、离心率e的作用 (1)椭圆：e越大，图形越扁． (2)双曲线：e越大，开口越小． 四、常见结论 1．椭圆 2b(1)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最2 a短的焦点弦． (2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. (3)椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①当P为短轴端点时，θ最大． 1sinθθ22②＝|PF1|·|PF2|·sinθ＝b·＝btan＝c|y0|， 21＋cosθ2当|y0|＝b，即P为短轴端点时，取最大值，最大值为bc. ③焦点三角形的周长为2(a＋c)． x2y2 (4)设F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，AB是过 abF1的弦，则|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a. x2y2 (5)AB为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ab弦中点M(x0，y0)，则 ①弦长l＝1＋k|x1－x2|＝ 2 1＋2|y1－y2|(其中k为直线 1 kAB的斜率)； b2x0 ②直线AB的斜率kAB＝－2. ay0 2．双曲线 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的2b弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 2 a(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别 b2 为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2. θtan 2 x2y2 (5)若P是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点 ab的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. x2y2 (6)设F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点，AB是过F1 ab的弦，则|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a. x2y2 (7)AB为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2， aby2)，弦中点M(x0，y0)．则 ①弦长l＝1＋k|x1－x2|＝ 2 1＋2|y1－y2|(其中k为直线 1 kAB的斜率)； b2x0 ②直线AB的斜率kAB＝2. ay0 五、特殊曲线 1．等轴双曲线 (1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线． (2)性质：①a＝b；②e＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 2．共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1. 六、求椭圆、双曲线离心率的方法 (1)定义法：直接求出a，c的值来解e，通过已知条件列方程，解出a，c的值． (2)解方程法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过特殊值或特殊位置求离心率．此方法多用于选择题和 填空题． (4)求离心率的最值(或范围)，往往借助图形的性质、曲线的范围、正余弦函数的有界性、基本不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的． ■自测自评—————————————— x2y21 1．[2019·北京卷]已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，ab2 则( ) A．a＝2b C．a＝2b 2 2 B．3a＝4b D．3a＝4b 22 c1c21222 解析：由题意得，＝，∴2＝，又a＝b＋c， a2a4a2－b21b2322 ∴2＝，2＝，∴4b＝3a.故选B. a4a4 答案：B 2．[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P42在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( ) 32A. 4C．22 32B. 2D．32 2 x2y2 解析：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c＝6，所以|OF| b262 ＝6.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h＝× a222 31332 ＝，所以S△PFO＝×6×＝. 2224 答案：A 3．[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：－y＝1，O为坐标原点， 3 x2 2 F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( ) 3A. 2C．23 B．3 D．4 3 解析：因为双曲线－y＝1的渐近线方程为y＝±x，所以 33 2 x2 3 ∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△ 3 OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为 y＝－3(x－2)， y＝－3x－2，由3 y＝x，3 3 M2， 得 3y＝2， 3x＝，2 所以 3 ，所以|OM|＝232 ＋232 ＝3，所以|MN|＝3|OM|＝2 3. 答案：B x2y2 4．[2019·洛阳统考]已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、 ab右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为( ) A．x－y＝1 C．x－＝1 3 22 2 B.－＝1 23D.－＝1 164 x2y2x2 y2y2 解析：通解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， ∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵点P位于第一象限， ∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos4c＋2c－a－2c＋a∠PF2F1＝ 4c2c－a2 2 2 c－2a＝，又点P的坐标为2c－a32c－a3 2 c－2a23 ＋(2，3)，∴sin∠PF2F1＝，∴ 2c－a2c－a 2 2 2 2 2 ＝1，化 2 简得(c－2a)＋3＝(2c－a)，c－a＝b＝1，又2－2＝1，∴a＝1， 4 ab∴双曲线的方程为x－y＝1，故选A. 优解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a， 4c＋2c－a－2c＋a∴cos∠PF2F1＝ 4c2c－a2 2 2 22 c－2a＝，又点P2c－ac－2a233的坐标为(2，3)，∴sin∠PF2F1＝，∴＋2c－a2c－a2c－a 2 2 2 2 2 2 ＝1，化简得(c－2a)＋3＝(2c－a)，c－a＝b＝1，此时可以排除选项B，C，D，故选A. 答案：A x2y2 5．[2019·石家庄一模]已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)，点F为 ab左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB1 的中点为M1，，则椭圆的离心率为( 2 ) 1 A. 21C. 4 2B. 23D. 2 bb解析：∵FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设 cc2x2y11a2＋b2＝1， A(x1，y1)，B(x2，y2)，由22 x2y2a2＋b2＝1 2 x2x2y2y2112 得2－2＝－2－2， abba2 1y1－y2b2x1＋x2b2b即＝－2.∵AB的中点为M1，，∴－＝－2， 2x1－x2ay1＋y2ca ∴a＝2bc，∴b＋c＝2bc， 2 ∴b＝c，∴a＝2c，∴椭圆的离心率为，故选B. 2 222 答案：B x2y2 6．[2019·郑州质量预测二]已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞ absin∠PF1F2 0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P使＝sin∠PF2F12a，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) c3－A.2173＋17 ，2 7 3＋ B．(1,2)∪2， 23＋ C.1， 2 7 3＋ D．(1,2)∪2， 2 17 sin∠PF1F22a解析：通解：因为＝，所以点P不可能在双曲线 sin∠PF2F1c的左、右两个顶点处， (1)当点P在双曲线的右支上(不包括双曲线的右顶点)时， 根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a， sin∠PF1F22a因为＝， sin∠PF2F1c|PF2|2a所以由正弦定理得＝， |PF1|c2ac4a解得|PF1|＝，|PF2|＝， c－2ac－2a2 所以c－2a＞0，所以e＞2. 2ac4a在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即＋＞2c， c－2ac－2a3－17 整理得2a＋3ac－c＞0，所以e－3e－2＜0，解得＜e＜ 2 2 2 2 2 3＋173＋17 .综上，2＜e＜. 22 (2)当点P在双曲线的左支上(不包括双曲线的左顶点)时， 根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝－2a， sin∠PF1F22a因为＝， sin∠PF2F1c|PF2|2a所以由正弦定理得＝， |PF1|c2ac4a解得|PF1|＝，|PF2|＝， 2a－c2a－c所以2a－c＞0，所以e＜2. 2ac4a在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即＋＞2c， 2a－c2a－c整理得2a－ac＋c＞0，所以e立，由e＞1，所以1＜e＜2. 综上所述，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2)∪ 3＋2，2 2 2 2 2 2 123 －e＋2＞0，又e－＋＞0 22 恒成 17. sin∠PF1F22a优解：因为＝，所以点P不可能在双曲线的左、 sin∠PF2F1c右两个顶点处， (1)当点P在双曲线的右支上(不包括双曲线的右顶点)时， 2acsin∠PF2F1|PF1|2a＋|PF2| ＋1e＝＝2×＝2×＝2×＝2 asin∠PF1F2|PF2||PF2||PF2| ＞2， 因为|PF2|＞c－a，所以 2a2 ＋1＝2＋1，所以e＜2 c－ae－1 e2 3－173＋173＋17 －3e－2＜0，解得＜e＜，所以2＜e＜. 222 (2)当点P在双曲线的左支上(不包括双曲线的左顶点)时， e＝ csin∠PF2F1|PF1|－2a＋|PF2| ＝2×＝2×＝2×＝asin∠PF1F2|PF2||PF2| 2a ＝e＞21－ a＋c 2a ＜2，因为|PF2|＞a＋c，所以21－ |PF2| 2 ，所以21－1＋e e2 123 －e＋2＞0，又e－＋＞0 22 恒成立，e＞1， 所以1＜e＜2. 综上所述，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2)∪ 3＋ 2，2 17. 答案：D 2y2 7．[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x－2 b＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________． 2y162 解析：因为双曲线x－2＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－2＝ bb1，得b＝2，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±2x. 答案：y＝±2x 8．[2019·全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦 3620点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)， x2y2 36＋20＝1， 则|FM|＝x＋4x＞0，y＞0， 21 x2y2 2 ＋y＝64， 2 x＝3，得y＝15， 所以M的坐标为(3，15)． 答案：(3，15) x2y2 9．[2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0) ab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交→→F→→于A，B两点．若F则C的离心率为__________． 1A＝AB，1B·F2B＝0， →→解析：通解：因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图. 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO， 所以∠BOF2＝2∠BF1O. →→因为F1A＝AB，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条 ab渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2 baa2× bb22222 ∠BF1O)，所以＝，所以b＝3a，所以c－a＝3a，即2aa2a1－ bc＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2. a→→优解：因为F所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|1B·F2B＝0，＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c,0)可得 cB2， b33c，因为点B在直线y＝x上，所以a22 b2 1＋2＝2. abcbc＝·，所以＝3，所以e＝a2a答案：2 10．[2019·浙江卷]已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在 95椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________． 解析：通解：依题意，设点P(m，n)(n>0)，由题意知F(－2,0)， x2y2 所以线段FP的中点 －2＋mn ，在圆M 22 x＋y22 －2＋m2 ＝4上，所以 2 n2x2y2 ＋＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1 952 2 上，所以＋＝1，所以 95 m2n2 32115 4m－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF222 15 －02 －2 ＝ 3－－2 ＝15. 优解：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝152 ＝15. 12 答案：15 调研三 抛物线 ■备考工具—————————————— 1．抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点 2 2 12－＝2 15 ，所以kPF＝tan∠HFO＝2 的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线定义的理解 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题． 3．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 顶点 对称轴 焦点 (0,0) x轴 y轴 pF，0 2px＝－ 2pF－，0 2px＝ 2pF0， 22pF0，－ 2准线 py＝－ py＝ 24.抛物线焦点弦的性质 焦点弦：线段AB为抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)， 2 B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝； 4(2)y1y2＝－p； (3)焦半径|AF|＝x1＋； 2 (4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时 2 p2 p的弦又叫通径； 2p(5)弦长l＝2(θ为AB的倾斜角)． sinθ5．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝ 0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程． Ax＋By＋C＝0，即Fx，y＝0， 消去y得ax＋bx＋c＝0. 2 2 (1)当a≠0时，设一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 6．重要结论 (1)以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与 y轴相切(开口向右或向左)． (2)过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的两条切线，则切线互相垂直，且交点在抛物线准线上． ■自测自评—————————————— 1．[2019·安徽五校质检二]已知抛物线C：x＝2py(p>0)的焦 1 点为F，点Px0，在 2 2 3 C上，且|PF|＝，则p＝( ) 4 1B. 2D．1 1 A. 43C. 4 解析：抛物线的准线方程为y＝－，因为 2 p1 Px0，在抛物线上， 2 1p31 所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B. 2242 答案：B 2 x2 2．[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y＝2px(p＞0)的焦点是椭圆 3py2 ＋＝1的一个焦点，则p＝( ) pA．2 C．4 B．3 D．8 p 解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为，0，椭圆的焦点坐 2 标为(±2p，0)，所以＝2p，解得p＝8，故选D. 2 答案：D 3．[2019·天津卷]已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l. 2 px2y2 若l与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点 abB，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( ) A.2 C．2 B.3 D.5 解析：由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲 bbb线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，aaab2b所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4， aac22 即b＝2a，b＝4a，故双曲线的离心率e＝＝a答案：D 4．[2019·江西五校联考]过抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线 2 a2＋b2 ＝5. a2 l的倾斜角为( ) A．15° C．45° B．30° D．60° 解析：分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′， B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′| 111＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝222|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线 MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角 为30°，故选B. 答案：B 5．[2019·广东六校联考]抛物线y＝2x上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为( ) 11A. 83C. 2 5B. 4D．1 2 解析：通解：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直 y＝kx＋b， 线AB的方程为y＝kx＋b.由题意知y0≥b>0.联立得2 y＝2x， 2 2 整理得2x－kx－b＝0，Δ＝k＋8b>0，x1＋x2＝，x1x2＝－，则22|AB|＝1＋k2 kbk2 4 ＋2b，点M的纵坐标y0＝ y1＋y2 2 ＝x1＋x2＝＋b. 4 22 k2 因为弦AB的长为3，所以1＋k2 k2 2k2 ＋2b＝3，即(1＋k)＋2b44 ＝9，故(1＋4y0－4b)(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)(4y0＋4b)＝36.由基本不等式得，(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2 1＋4y0－4b4y0＋4b＝12，当且仅当 11y＝8 0 1b＝，8 11 时取等号，即1＋8y0≥12，y0≥，点M的纵坐标 8 11 的最小值为.故选A. 8 优解：由题意得，焦点 1 F0，，准线 8 1 y＝－.设A(x1，y1)， 8 111111 B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y0＝(y1＋y2)＝y1＋＋y2＋－＝(|AF| 88422211111 ＋|BF|)－≥|AB|－＝.(当且仅当A，B，F三点共线时，取等 8288号)． 答案：A 6．[2019·安徽示范高中联考]设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为( ) A．4或8 C．2或8 2 2 B．2或4 D．4或16 解析：抛物线C的方程为y＝2px(p>0)， pp∴F，0，准线方程为x＝－.如图，设准线与x22 轴的交点为 K，则|KF|＝p.过M作MP平行于x轴交准线于P，则|MP|＝|MF|＝ 5.取MF的中点为N，过N作NQ平行于x轴交准线于Q，交y轴于|MP|＋|FK|5pp5|MF| A，则|NQ|＝＝＋，|AN|＝|NQ|－＝＝，∴以 222222 MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，即A(0,2)， 5pp2 ∴N，2，故M5－，4，∴16＝2p5－，p－10p＋16＝0， 222 ∴p＝2或p＝8，故选C. 答案：C 7．[2019·湖南四校调研]已知F是抛物线C：y＝8x的焦点， 2 M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN| ＝( ) A．4 C．8 B．6 D．10 解析：通解：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l：x＝－2与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A，则|AN|＝2，|FF′|＝4.在直角梯形ANFF′中，由中位线定理，知|BM|＝ |AN|＋|FF′| ＝3.由抛物线的定义，知|MF|＝|MB|＝3，结 2 合题意，有|MN|＝|MF|＝3，所以|FN|＝|FM|＋|MN|＝6，故选B. 优解：设N(0，a)，由题意知F(2,0)，则 a M1，，因为点 2 M在抛物线上，所以＝8，解得a＝±42，所以N(0，±42)，所 4以|FN|＝ 2－0 2 a2 ＋0±42 2 ＝6，故选B. 答案：B 8．[2019·山西第一次联考]已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于P，Q两个不同的点，P，Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MN|＝43，|NF|＝4，则p＝( ) 2 A.3 C．23 B．2 D．4 解析：通解：易得抛物线的准线l：x＝－.设P(x1，y1)，Q(x2， 2 py2)，由题意可得 2 2 2 ppppp2 F，0，M－，y1，N－，y2，故|MF|＝－－22222 2 2 2 2 2 2 2 ＋(y1－0)＝p＋y1，即(43)＝p＋y1，即y1＝48－p.|NF|＝ 4＝p＋y2，即y2＝16－p.又直线 2 2 2 2 2 pp2 222 －－＋(y2－0)＝p＋y2，即22 2 PQ过焦点F，所以y1y2＝－p2，所以(y1y2)2＝(－p2)2，即y2p12＝(48 －p)(16－p)＝p，整理得p＝12，所以p＝23. 优解：根据题意，得抛物线的准线方程为 p x＝－，F，0， 22 2242 p设直线PQ的方程为x＝ty＋，与抛物线方程y＝2px联立，得y2 2 2 p22 －2pty－p＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2＝－p，设MN与 x轴的交点为H，则由题意可得 pp M－，y1，N－，y2，→MF＝(p， 22 →＝p2＋y1y2＝0，故MF⊥NF，所以|MN|－y1)，→NF＝(p，－y2)，→MF·NF＝4＋43 2 2 |NF|×|FM| ＝8，所以由等面积法可得p＝|FH|＝ |MN| 4×43＝＝23. 8 答案：C 9．[2019·惠州调研]设抛物线y＝4x的焦点为F，过点(2,0) 2 S△ACF的直线与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若 S△BCF2 ＝，则|AF|＝( ) 5 2A. 3C．3 B．4 D．2 解析：设过点(2,0)的直线的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1， y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入抛物线方程得，k2x2－4(1＋k2)x＋4k＝0，由根与系数的关系得x1·x2＝4 ①.分别过点A，B作准线的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，则 2 S△ACF|AC||AA1|x1＋1 ＝＝＝S△BCF|BC||BB1|x2＋1 28 ＝，即5x1－2x2＋3＝0 ②，由①②得x1＝1或x1＝－(舍去)，55∴|AF|＝x1＋1＝2，故选D. 答案：D 10．[2019·山西八校联考]已知A是抛物线y＝－4x上的动点，点A在y轴上的射影是点C，B是圆D：(x－3)＋(y－2)＝1上的动点，则|AB|＋|AC|的最小值是________． 解析：圆D：(x－3)＋(y－2)＝1的圆心为D(3,2)，半径r＝1.抛物线y＝－4x的焦点坐标为F(－1,0)，准线方程为x＝1.如图，设点A在抛物线准线上的射影为点H，则|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AH|－1.连接AF，由抛物线的定义可知|AH|＝|AF|，∴|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AF|－1.易知D，B，A，F四点共线时，|AB|＋|AF| 2 2 2 2 2 2 取得最小值，连接DF，则(|AB|＋|AF|)min＝|DF|－r＝ 3＋1 2 ＋2－1＝25－1，∴(|AB|＋|AC|)min＝25－2. 2 答案：25－2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容