[]高等数学第六版习题答案

高等数学第六版上册课后习题答案 第一章

习题11

1 设A( 5)(5 ) B[10 3) 写出AB AB A\\B及A\\(A\\B)的表达式 解 AB( 3)(5 ) AB[10 5) A\\B( 10)(5 ) A\\(A\\B)[10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CAC BC  证明 因为

x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC  xAC BC

所以 (AB)CAC BC 

3 设映射f  X Y AX BX  证明 (1)f(AB)f(A)f(B) (2)f(AB)f(A)f(B) 证明 因为

yf(AB)xAB 使f(x)y

(因为xA或xB) yf(A)或yf(B)  yf(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B) (2)因为

yf(AB)xAB 使f(x)y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B)

4 设映射f  XY 若存在一个映射g YX 使gfIX

fgIY

其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个xX

有IX xx 对于每一个yY 有IY yy 证明 f是双射 且g是f的逆映射 gf 1

证明 因为对于任意的yY 有xg(y)X 且f(x)f[g(y)]Iy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

又因为对于任意的x1x2 必有f(x1)f(x2) 否则若f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)]  x1x2

因此f既是单射 又是满射 即f是双射

对于映射g YX 因为对每个yY 有g(y)xX 且满足f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g是f的逆映射 5 设映射f  XY AX  证明 (1)f 1(f(A))A

(2)当f是单射时 有f 1(f(A))A 

证明 (1)因为xA  f(x)yf(A)  f 1(y)xf 1(f(A)) 所以 f 1(f(A))A (2)由(1)知f 1(f(A))A

另一方面 对于任意的xf 1(f(A))存在yf(A) 使f

11

(y)xf(x)y  因为yf(A)且f是单射 所以xA 这就证明了f (f(A))A 因此f 1(f(A))A 

6 求下列函数的自然定义域 (1)y3x2

解 由3x20得x2 函数的定义域为[2, )

33 (2)y12

1x 解 由1x20得x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 )

(3)y11x2

x 解 由x0且1x20得函数的定义域D[1 0)(0 1] (4)y14x2

解 由4x20得 |x|2 函数的定义域为(2 2) (5)ysinx

解 由x0得函数的定义D[0 ) (6) ytan(x1)

解 由x1(k0 1 2   )得函数的定义域为

2xk1 (k0 1 2   )

2 (7) yarcsin(x3)

解 由|x3|1得函数的定义域D[2 4] (8)y3xarctan1

x 解 由3x0且x0得函数的定义域D( 0)(0 3) (9) yln(x1)

解 由x10得函数的定义域D(1 ) (10)

1yex

解 由x0得函数的定义域D( 0)(0 ) 7 下列各题中 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)lg x2 g(x)2lg x (2) f(x)x g(x)

x2

(3)f(x)3x4x3g(x)x3x1 (4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x  解 (1)不同 因为定义域不同

(2)不同 因为对应法则不同 x0时 g(x)x (3)相同 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 因为定义域不同 8

|sinx| |x|3 设(x) |x|0 3求() () () (2) 并作出

6

4

4函数y(x)的图形

解 ()|sin|1 ()|sin|6624422 ()|sin()|4422 (2)0

9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1)yx ( 1)

1x (2)yxln x (0 )

证明 (1)对于任意的x1 x2( 1) 有1x10 1x20 因为当x1x2时

y1y2x1xx1x220 1x11x2(1x1)(1x2)

所以函数yx在区间( 1)内是单调增加的

1x (2)对于任意的x1 x2(0 ) 当x1x2时 有

xy1y2(x1lnx1)(x2lnx2)(x1x2)ln10

x2

所以函数yxln x在区间(0 )内是单调增加的

10 设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数 若f(x)在(0 l)内单调增加 证明f(x)在(l 0)内也单调增加

证明 对于x1 x2(l 0)且x1x2 有x1 x2(0 l)且x1x2 因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数 所以

f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x1)

这就证明了对于x1 x2(l 0) 有f(x1) f(x2) 所以f(x)在(l 0)内也单调增加

11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明

(1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数

证明 (1)设F(x)f(x)g(x) 如果f(x)和g(x)都是偶函数 则

F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数 如果f(x)和g(x)都是奇函数 则

F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数 (2)设F(x)f(x)g(x) 如果f(x)和g(x)都是偶函数 则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数 如果f(x)和g(x)都是奇函数 则

F(x)f(x)g(x)[f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果f(x)是偶函数 而g(x)是奇函数 则

F(x)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)yx2(1x2) (2)y3x2x3

21x(3)y2

1x

(4)yx(x1)(x1) (5)ysin xcos x1

xxaa(6)y2

解 (1)因为f(x)(x)2[1(x)2]x2(1x2)f(x) 所以f(x)是偶函数

(2)由f(x)3(x)2(x)33x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数

1(x)21x2(3)因为f(x)f(x) 221x1x所以f(x)是偶函数

(4)因为f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x) 所以f(x)是奇函数

(5)由f(x)sin(x)cos(x)1sin xcos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数

(x)(x)xxaaaaf(x) (6)因为f(x)22所以f(x)是偶函数

13 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数 指出其周期

(1)ycos(x2)

解 是周期函数 周期为l2 (2)ycos 4x

解 是周期函数 周期为l

2 (3)y1sin x

解 是周期函数 周期为l2 (4)yxcos x 解 不是周期函数 (5)ysin2x

解 是周期函数 周期为l

14 求下列函数的反函数

(1)y3x1错误！未指定书签。错误！未指定书签。 解 由y3x1得xy31 所以y3x1的反函数为yx31 (2)y1x错误！未指定书签。

1x 解 由y1x得x1y 所以y1x的反函数为y1x

1x1y1x1x (3)yaxb(adbc0)

cxd 解 由yaxb得xdyb 所以yaxb的反函数为ydxb

cxdcyacxdcxa (4) y2sin3x

解 由y2sin 3x得x1arcsiny 所以y2sin3x的反函数为

32y1arcsinx 32 (5) y1ln(x2)

解 由y1ln(x2)得xey12 所以y1ln(x2)的反函数为yex12

x2(6)yx 21

所以y2xx 的反函数为ylog22x11x 解 由yy2xxlog得 21y2x1 15 设函数f(x)在数集X上有定义 试证 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界

证明 先证必要性 设函数f(x)在X上有界 则存在正数M 使|f(x)|M 即Mf(x)M 这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M

再证充分性 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2 即

K1f(x) K2  取Mmax{|K1| |K2|} 则 M K1f(x) K2M 

即 |f(x)|M

这就证明了f(x)在X上有界

16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值 (1) yu2 usin x

x16

2x23

33)2324 解 ysin2x y1sin2(1)21y2sin2(

(2) ysin u u2x 解 ysin2x (3)yx1x2

84y1sin(2)sin2y2sin(2)sin1

842422

u u1x

 x11 x2 2

解 y1x2 y11122 y21225 (4) yeu ux2 x1 0 x21 解

yex2

y1e01 y2e1e

22 (5) yu2  uex  x11 x21 解 ye2x y1e21e2 y2e2(1)e2

17 设f(x)的定义域D[0 1] 求下列各函数的定义域 (1) f(x2)

解 由0x21得|x|1 所以函数f(x2)的定义域为[1 1] (2) f(sinx)

解 由0sin x1得2nx(2n1) (n0 1 2  ) 所以函

数f(sin x)的定义域为

[2n (2n1)] (n0 1 2  )  (3) f(xa)(a>0)

解 由0xa1得ax1a 所以函数f(xa)的定义域为[a 1a]

(4) f(xa)f(xa)(a0)

解 由0xa1且0xa1得 当0a1时 ax1a 当a122时 无解 因此当0a1时函数的定义域为[a 1a] 当a1时函

22数无意义 18 设

|x|11 x f(x)0 |x|1 g(x)e错误！未指定书签。

|x|11 求f[g(x)]

和g[f(x)] 并作出这两个函数的图形 解

1 |ex|1f[g(x)]0 |ex|1

x1 |e|1即

1 x0f[g(x)]0 x0

1 x0

e1 |x|1g[f(x)]ef(x)e0 |x|1

e1 |x|1e |x|1|x|1 即g[f(x)]1 1|x|1e 19 已知水渠的横断面为等腰梯形 斜角40(图137) 当过水断面ABCD的面积为定值S0时 求湿周L(LABBCCD)与水深h之间的函数关系式 并指明其定义域

图137 解

BCABDChsin40 又从1h[BC(BC2cot40h)]S0得

2S0cot40h h所以

S02cos40Lh hsin40

自变量h的取值范围应由不等式组

h0

确定 定义域为0hS0cot40S0cot40h0 h

20 收敛音机每台售价为90元 成本为60元 厂方为鼓励销售商大量采购 决定凡是订购量超过100台以上的 每多订购1台 售价就降低1分 但最低价为每台75元 (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数 (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数 (3)某一商行订购了1000台 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0x100时 p90

令001(x0100)9075 得x01600 因此当x1600时 p75 当100x1600时

p90(x100)001910 01x 综合上述结果得到

0x10090 p910.01x 100x1600 75 x1600

30x 0x100(2)P(p60)x31x0.01x2 100x1600

15x x1600

(3) P3110000011000221000(元) 习题12

1 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势 写出它们的极限

(1)xn1n

2 解 当n时 xn1n0 nlim10 n22 (2)xn(1)n1

n 解 当n时 xn(1)n10 nlim(1)n10 nn (3)xn212

n 解 当n时 xn2122 nlim(212)2 nn (4)xnn1

n1 解 当n时 xnn1120 nlimn11 n1n1n1 (5) xnn(1)n

解 当n时 xnn(1)n没有极限 2

cosn2设数列{xn}的一般项xnnx? 求出N 使当 问nlimnnN时 xn与其极限之差的绝对值小于正数  当 0001时 求出数N 解

limx0nn

要使|x n0|  只要1 也就是

nn||cos21  0 |xn0|nnn1 取N[1]

则nN 有|xn0| 

当 0001时 N[1]1000

 3 根据数列极限的定义证明 (1)lim120 nn 分析 要使|120|12 只须n21 即n1

nn 证明 因为0 N[lim10 nn21]

当nN时 有|120| 所以

n

2n12n13|11要使|3 2n122(2n1)4n4 (2)nlim3n13  分析

只须

证明 因为0 N[1] 当nN时

lim3n13 n2n121 即n144n有|3n13| 2n12 所以

n2a21 n (3)nlim

2a2a

n(n2a2n)n2222 分析 要使|na1|nannn只须

2an

2a因为0 N[]

证明

当nN时

22na有|1|n 所以

22limna1 nn

n个 (4)nlim0.999    91 1  即1 分析 要使|099    91|1 只须n1lgn1n110因为0 N[1lg1]

10证明

当nN时 有|099    91| 

所以nlim0.999    91 n个 4

limuann|u||a| 并举例说明 如果数列{|xn|}有极 证明nlimn限 但数列{xn}未必有极限

ua 所以0 NN 当nN时 有|una| 证明 因为nlimn从而

||un||a|||una| 

|un||a| 这就证明了nlim|(1)n|1 数列{|xn|}有极限 但数列{xn}未必有极限 例如nlim(1)n不存在 但nlimy0 证明 5 设数列{xn}有界 又nlimnnlimxnyn0

证明 因为数列{xn}有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M

yn0 所以0 NN 当nN时 有|yn| 从而当 又nlimMnN时 有

|xnyn0||xnyn|M|yn|M

Mxy0 所以nlimnn

6 对于数列{xn} 若x2k1a(k) x2k a(k ) 证明 xna(n)

证明 因为x2k1a(k) x2k a(k ) 所以0 K1 当2k12K11时 有| x2k1a|  K2 当2k2K2时 有|x2ka| 

取Nmax{2K11 2K2} 只要nN 就有|xna|  因此xna (n) 习题13

1 根据函数极限的定义证明

(3x1)8 (1)limx3 分析 因为

|(3x1)8||3x9|3|x3| 所以要使|(3x1)8|  只须|x3|1

3 证明 因为0 1 当0|x3|时 有

3 |(3x1)8| 

(3x1)8 所以limx3(5x2)12 (2)limx2 分析 因为

|(5x2)12||5x10|5|x2|

所以要使|(5x2)12|  只须|x2|1

5 证明 因为 0 1 当0|x2|时 有

5 |(5x2)12| 

(5x2)12 所以limx2

2x44 (3)xlim2x2

分析 因为 所以要使

x24(4)x24x4|x2||x(2)| x2x2x24(4) 只须|x(2)| x2

证明 因为 0  当0|x(2)|时 有

x24(4) x2

2x44 所以xlim2x2

314x(4)lim12 2x1x2

分析 因为 所以要使

14x32|12x2|2|x(1)| 2x12

14x322x1 只须|x(1)|1

222 证明 因为 0 1 当0|x(1)|时 有

2

x14x322x13

所以lim114x2

22x1 2 根据函数极限的定义证明

31x1 (1)xlim2x32

分析 因为 所以要使

1x311x3x31 2x322x32|x|31x31 2x32

只须

1 2|x|3即|x|31

2 证明 因为 0 X31 当|x|X时 有

21x31 2x3231x1 所以xlim2x32sinx0 (2)xlim x

分析 因为 所以要使

x|1sinx0|sin

xxxsinx0 只须1 xx即x12

 证明 因为0 X12 当xX时 有

sinx0xsinx0所以xlim x 

3 当x2时 yx24 问等于多少 使当|x2|<时 |y4|<0001？

解 由于当x2时 |x2|0 故可设|x2|1 即1x3 要使

|x24||x2||x2|5|x2|0001 只要|x2|0.0010.0002

5 取00002 则当0|x2|时 就有|x24|0 001 4 当x时

2xy211 x3问X等于多少 使当|x|X时

|y1|001? 解 要使

X397

x21140.01x23x23 只要

|x|433970.01 故

5 证明函数f(x)|x|当x0时极限为零 证明 因为

|f(x)0|||x|0||x||x0| 所以要使|f(x)0| 只须|x|

因为对0  使当0|x0| 时有 |f(x)0|||x|0|

|x|0 所以limx0 6 求f(x)x, (x)|x|当x0时的左﹑右极限 并说明它们

xx在x0时的极限是否存在 证明 因为

limf(x)limxlim11

x0

xx0limf(x)limxlim11 x0x0xx0x0

x0limf(x)limf(x)

x0

f(x)存在 所以极限limx0 因为

lim(x)lim|x|limx1

x0

xx0x|x|lim(x)limlimx1 x0x0xx0xx0

x0lim(x)lim(x)

x0

(x)不存在 所以极限limx0 7 证明 若x及x时 函数f(x)的极限都存在且都

f(x)A 等于A 则xlimf(x)A 证明 因为xlimxlimf(x)A 所以>0

X10 使当xX1时 有|f(x)A|  X20 使当xX2时 有|f(x)A| 

f(x)A 取Xmax{X1 X2} 则当|x|X时 有|f(x)A|  即xlim 8 根据极限的定义证明 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

证明 先证明必要性 设f(x)A(xx0) 则>0 0 使当0<|xx0|< 时 有 |f(x)A|< 

因此当x0这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A  再证明充分性 设f(x00)f(x00)A 则>0 1>0 使当x010 使当x0取min{1 2} 则当0<|xx0|< 时 有x019 试给出x时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以

|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A| 习题14

1 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解 不一定

(x)2 例如 当x0时 (x)2x (x)3x都是无穷小 但limx0(x)3(x)不是无穷小 (x)

2 根据定义证明

2x(1)y9当x3时为无穷小; x3(2)yxsin1当x0时为无穷小

x2x时|y|9|x3|

x3 证明 (1)当x30|x3|时 有

因为0   当

2|y|x9|x3|

x3

2x所以当x3时y9为无穷小

x3 (2)当x0时|y||x||sin1||x0| 因为0  

x当0|x0|时 有

|y||x||sin1||x0|

x

所以当x0时yxsin1为无穷小

x

3 根据定义证明 函数y12x为当x0时的无穷大 问x

x应满足什么条件 能使|y|104？ 证明 分析|y|即|x|1

M212x2112

xx|x|要使|y|M 只须

12M|x|

证明 因为M0 1 使当0|x0|时 有12xM 所以当 取

M2x0时 函数y12x是无穷大

x1时 |y|104 M104 则41 当0|x0|4102102x

4 求下列极限并说明理由

2x1; (1)limxx1x2(2)limx01x 

xxx 解 (1)因为2x121 而当x 时1是无穷小 所以

lim2x12 xx

而当x0时x为无穷小 所以

1x21x(2)因为(x1)

1x2lim1x1 x01x

5 根据函数极限或无穷大定义 填写下表 f(x)A f(x) f(x)f(x) xx0 0  0 使 当0|xx0|时 有恒|f(x)A| xx 0 xx 0 x 0 X0 使当 |x|X时 有恒|f(x)|M x  x  解 f(x)A f(x) f(x) f(x) 0 0 xx使当0 M0 0 M0 0 M0 0 使当使当使当0|xx0|时 0|xx0|时 0|xx0|时 0|xx0|时 有恒有恒|f(x)|M 有恒f(x)M 有恒f(x)M |f(x)A| 0 0 xx0 M0 0 M0 0 M0 0 使当0xx0时 使当0xx0时 使当0xx0时 使当0xx0时 有恒|f(x)A| 0 0 使当有恒|f(x)|M 有恒f(x)M 有恒f(x)M M0 0 M0 0 M0 0 使当0x0x时 使当0x0x时 使当0x0x时 xx0 0x0x时 有恒|f(x)A| 0 X0 有恒|f(x)|M 有恒f(x)M 有恒f(x)M 0 X0 0 X0 0 X0 使当|x|X时 使当|x|X时 使当|x|X时 使当|x|X时 x 有恒|f(x)A| 0 X0 0 X0 0 X0 0 X0 有恒|f(x)|M 有恒f(x)M 有恒f(x)M x使当xX时 使当xX时 使当xX时 使当xX时  有恒|f(x)A| x 0 X0 0 X0 0 X0 0 X0 有恒|f(x)|M 有恒f(x)M 有恒f(x)M 使当xX时 使当xX时 使当xX时 使当xX时 有恒有恒|f(x)|M 有恒f(x)M 有恒f(x)M |f(x)A|

6 函数yxcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？

解 函数yxcos x在( )内无界

这是因为M0 在( )内总能找到这样的x 使得|y(x)|M 例如

y(2k)2k cos2k2k (k0 1 2   )

当k充分大时 就有| y(2k)|M

当x 时 函数yxcos x不是无穷大

这是因为M0 找不到这样一个时刻N 使对一切大于N的x 都有|y(x)|M 例如

y(2k)(2k)cos(2k)0(k0 1 2   )

222对任何大的N 当k充分大时 总有x2kN 但|y(x)|0M

2 7 证明 函数y1sin1在区间(0 1]上无界 但这函数不是当

xxx0+时的无穷大

证明 函数y1sin1在区间(0 1]上无界 这是因为

xx M0 在(0 1]中总可以找到点xk 使y(xk)M 例如当

xk2k1(k0 1 2   )

2时 有

y(xk)2k2

当k充分大时 y(xk)M

当x0+ 时 函数y1sin1不是无穷大 这是因为

xx M0 对所有的0 总可以找到这样的点xk 使0xk 但y(xk)M 例如可取

xk12k(k0 1 2   )

当k充分大时 xk 但y(xk)2ksin2k0M 习题15

1 计算下列极限

2xlim5 (1)x2x322x52lim59 解 x2x323

2x(2)lim23 x3x1 解

2(3)23x3lim0 x3x21(3)21

2x2x1 (3)limx1x21 解

2(x1)2x2x1x100limlimlim 2x1x1x1(x1)(x1)x12x1

4x (4)limx0 解

2x2x 23x2x3224x2xx4x2x11limlim x03x22xx03x223

(xh)2x2lim(5)h0h

解

222(xh)2x2limlimx2hxhxlim(2xh)2x h0h0h0hh (6)xlim(211) 2 解

xx1lim12 lim(211)2limxxxxx2xx2

2x1 (7)xlim2x2x1 解

1121lim1xlimx x2x2x1x11222xx2

2xx (8)xlimx43x212xx0(分子次数低于分母次数 解 xlimx43x21极限为零)

或

11xlimx2x30lim4x2 xx3x1x21124xx2

2x6x8 (9)lim2x4x5x4 解

2(x2)(x4)limx26x8limlimx2422 x4x5x4x4(x1)(x4)x4x1413

(10)lim(11)(212)

x

xx解 lim(11)(212)lim(11)lim(212)122

xxxxxxx(11)lim(111    1n)

n2421(1)n12lim(111    1)lim2 n242nn112n

解

123    (n1) (12)nlim 2

(n1)n123    (n1)21limn11 解 nlimlimn2nn2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim 5n3(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同 解 nlim55n3极限为

最高次项系数之比) 或

(n1)(n2)(n3)11)(12)(13)1lim(1 n5nnnn55n3(14)lim(133) x11x1xlim

解

2(1x)(x2) lim(133)lim1xx32limx11x1xx1(1x)(x1(1x)(1xx)1xx2) limx221 x11xx 2 计算下列极限 (1)limxx22x2 (x2)232x2x所以lim x2(x2)23 解

(x2)20因为xlim30 2x2x216

2x(2)xlim 2x12xlim x2x1 解 (因为分子次数高于分母次数)

(2x3x1) (3)xlim 解

xlim(2x3x1)(因为分子次数高于分母次数)

3 计算下列极限 (1)limx2sin1

x0

x解 limx2sin10(当x0时 x2是无穷小 而sin1是有界变量)

x0xx(2)limarctanx xx解 limarctanxlim1arctanx0(当x时 1是无穷小

xxxxx

而arctan x是有界变量) 4 证明本节定理3中的(2)

习题15

1 计算下列极限 (1)xlimx2 解

5 x32

22x52lim59 x2x3232 (2)limx23

x3x1 解

2(3)23x3lim0 x3x21(3)21

2x2x1 (3)limx1x21 解

2(x1)2x2x1x100limlimlim 2x1x1x1(x1)(x1)x12x1

324x2xx (4)limx03x22x3224x2xx4x2x11 lim解 limx03x22xx03x22

(xh)2x2lim(5)h0h

解

222(xh)2x2x2hxhxlimlimlim(2xh)2x h0h0h0hh (6)lim(2112)

x

xx解 lim(2112)2lim1lim122

xxxxxxxx21(7)xlim 2x2x11122x1lim1x解 xlim 2x2x1x11222xx

2xx(8)xlim x43x212xx0解 xlim(分子次数低于分母次数 x43x21极限为零)

或

112xlimx2x30lim4x2 xx3x1x21124xx2

x6x8 (9)limx42x5x4 解

2(x2)(x4)xlim26x8limlimx2422 x4x5x4x4(x1)(x4)x4x1413

(10)lim(11)(212)

x

xx解 lim(11)(212)lim(11)lim(212)122

xxxxxxx(11)lim(111    1n)

n2421(1)n12lim(111    1)lim2 nnn124212n

解

123    (n1) (12)nlim 2

(n1)n123    (n1)21limn11 解 nlimlimn2nn2n2n2(n1)(n2)(n3)(13)nlim 5n3(n1)(n2)(n3)1 (分子与分母的次数相同 解 nlim55n3极限为

最高次项系数之比) 或

(n1)(n2)(n3)11)(12)(13)1 lim(1n5nnnn55n3(14)lim(133)

x11x1xlim

解

2131xx3lim(1x)(x2) lim()limx11x1x3x1(1x)(x1(1x)(1xx2)1xx2) lximx221 11xx 2 计算下列极限

32x2xlim(1)x 2(x2)2 解

(x2)20因为xlim30 2x2x216所以limxx22x2

(x2)23

(2)xlim 解

x2 2x12xlim x2x1(因为分子次数高于分母次数)

(2x3x1) (3)xlim 解

xlim(2x3x1)(因为分子次数高于分母次数)

3 计算下列极限 (1)limx2sin1

x0

x解 limx2sin10(当x0时 x2是无穷小 而sin1是有界变量)

x0xx(2)limarctanx xx解 limarctanxlim1arctanx0(当x时 1是无穷小

xxxxx

而arctan x是有界变量) 4 证明本节定理3中的(2)

习题 17

1 当x0时 2xx2 与x2x3相比 哪一个是高阶无穷小？ 解

232xxxxlim0 因为limx02xx2x02x

所以当x0时 x2x3是高阶无穷小 即x2x3o(2xx2)

2 当x1时 无穷小1x和(1)1x3 (2)1(1x2)是否同阶？是

2否等价？ 解

3(1x)(1xx2)1x(1)因为limlimlim(1xx2)3 x11xx1x11x

所以当x1时 1x和1x3是同阶的无穷小 但不是等价无穷小

1(1x2)2(2)因为lim1lim(1x)1 x11x2x1

所以当x1时 1x和1(1x2)是同阶的无穷小 而且是等价无穷

2小

3 证明 当x0时 有 (1) arctan x~x

2x(2)secx1~ 2arctanxlim 证明 (1)因为limx0y0xy1(提示 tany令yarctan x 则当

x0时 y0)

所以当x0时 arctanx~x

2sin2x2sinxsecx12lim1cosxlim2lim(2)21 (2)因为limx012x0x2cosxx0x0xx2x222secx1~x22

所以当x0时



4 利用等价无穷小的性质 求下列极限

tan3x (1)limx02x

sin(xn)(2)limx0(sinx)m(n m为正整数)

tanxsinx (3)lim3x0sinx (4)limx0sinxtanx 32(1x1)(1sinx1)x0

解 (1)limtan3xlim3x3

2xx02x2

1 nmnsin(xn)limxm0 nm (2)limmx0(sinx)x0x nm

1x2sinx(11)tanxsinxlim1cosxlim21 cosx(3)limlimx0x0x0cosxsin2xx0x2cosx2sin3xsin3x

(4)因为

sinxtaxntaxn(coxs1)2taxnsi2nx~2x(x)21x3(x0)

222 31x213 所以

x21x2(x0) ~(1x2)231x213sinx~sinx~x(x0) 1sinx11sinx11x3sinxtanxlim3lim23 x0(1x21)(1sinx1)x01x2x3

5 证明无穷小的等价关系具有下列性质 (1)  ~ (自反性)

(2) 若 ~ 则~(对称性) (3)若 ~ ~ 则~(传递性) 证明 (1)lim1 所以 ~ 

1 从而lim1 因此~  (2) 若 ~ 则lim (3) 若 ~ ~ 习题18

limlimlim1

因此~

1 研究下列函数的连续性 并画出函数的图形

x (1)f(x) 0x1

1x22x 2

解 已知多项式函数是连续函数 所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的

在x1处 因为f(1)1 并且

x1f(x)lim(2x)1 limf(x)limx21 limx1x1x1

f(x)1 从而函数f(x)在x1处是连续的 所以limx1 综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数

x 1x1 (2)f(x) |x|11 解 只需考察函数在x1和x1处的连续性 在x1处 因为f(1)1 并且

x1limf(x)lim11f(1) x1x1

x1limf(x)limx1f(1)

所以函数在x1处间断 但右连续 在x1处 因为f(1)1 并且

x1limf(x)limx1f(1) limf(x)lim11f(1) x1x1x1所以函数在x1处连续

综合上述讨论 函数在( 1)和(1 )内连续 在x1处间断 但右连续

2 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续

2x(1)y21 x1 x2 x3x2 解

yx21(x1)(x1) 2(x2)(x1)x3x2因为函数在x2和x1处无定义

所以x2和x1是函数的间断点

2x因为xlimylim21 2x2x3x2所以x2是函数的第二类间断点

(x1)ylim2 所以x1是函数的第一类间断点 并 因为limx1x1(x2)且是可去间断点 在x1处 令y2 则函数在x1处成为连续的

(2)yx xk xk (k0 1 2   )

tanx2 解 函数在点xk(kZ)和xk (kZ)处无定义 因而这

2些点都是函数的间断点

因limx(k0) 故xk(k0)是第二类间断点 xktanx 因为limx1 limx0(kZ) 所以x0和xk (kZ)

x0tanxxk2tanx2是第一类间断点且是可去间断点

令y|x01 则函数在x0处成为连续的

令xk 时 y0 则函数在xk 处成为连续的

2(3)ycos21 x0

x2

x 解 因为函数ycos21在x0处无定义 所以x0是函数

ycos21的间断点

x又因为limcos21不存在 所以x0是函数的第x0x二类间断点

x1 x1 (4)y3 x x1 x 1

 解 因为limx1f(x)lim(x1)0limf(x)lim(3x)2 x1x1x1所以x1是函

数的第一类不可去间断点

1xx的连续性 若有间断点 判别其 3 讨论函数f(x)nlim2n1x2n类型 解

x |x|12n1xf(x)limx0 |x|1 n1x2nx |x|1x1

在分段点x1处 因为

x1limf(x)lim(x)1

x1limf(x)limx1

x1所以x1为函数的第一类不可去间断点

x1 在分段点x1处 因为limf(x)limx1 limf(x)lim(x)1 x1x1x1所以x1为函数的第一类不可去间断点

4 证明 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0 则存在x0的某一邻域U(x0) 当xU(x0)时 f(x)0

证明 不妨设f(x0)>0 因为f(x)在x0连续 所以

xx0limf(x)f(x0)0

由极限的局部保号性定理 存在x0的某一去心

邻域U(x0) 使当xU(x0)时f(x)>0 从而当xU(x0)时 f(x)>0 这就是说 则存在x0的某一邻域U(x0) 当xU(x0)时 f(x)0 5 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子 (1)x0 1 2

1    n 1   是2nf(x)的所有间断点 且

它们都是无穷间断点

解 函数f(x)csc(x)csc在点x0 1 2

x1    n 1   

2n处是间断的

且这些点是函数的无穷间断点

(2)f(x)在R上处处不连续 但|f(x)|在R上处处连续

1 xQ 解 函数f(x)在R上处处不连续 但|f(x)|1在R1 xQ上处处连续

(3)f(x)在R上处处有定义 但仅在一点连续 解 函数f(x)续 习题19 1 求函数

x3x2x xQ在R上处处有定义

x xQ它只在x0处连

32x3xx3的连续区间 f(x)x2x6f(x) 并求极限limx0limf(x)及limf(x)

 函数在( )内除点

解

33x2x3(x3)(x1)(x1)f(x)x2(x3)(x2)xx6x2和x3外是连续的 所以函数f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )

在函数的连续点x0处 limf(x)f(0)1 x02 在函数的间断点x2和x3处

limf(x)limx2(x3)(x1)(x1)(x1)(x1) limf(x)lim8 x2x3x3(x3)(x2)x25

2 设函数f(x)与g(x)在点x0连续 证明函数 (x)max{f(x) g(x)} (x)min{f(x) g(x)} 在点x0也连续 证明 已知xlimx0f(x)f(x0) limg(x)g(x0)

xx0

可以验证

(x)1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ] 因此

2(x)1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]

2(x0)1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]

2(x0)1[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ]

2 因为

lim(x)lim1[f(x)g(x)|f(x)g(x)| ]

xxxx002 1[limf(x)limg(x)|limf(x)limg(x)| ] xxxxxxxx

200001[f(x0)g(x0)|f(x0)g(x0)| ](x0) 2所以(x)在点x0也连续

同理可证明(x)在点x0也连续

3 求下列极限 (1)limx0x4x22x5

(sin2x)3 (2)limln(2cos2x) (3)limx6 (4)limx0 (5)limx1

x11 x5x4x x1(6)xlimsinxsina axa( (7)xlimx2xx2x)

解 (1)因为函数f(x)x22x5是初等函数 f(x)在点x0有定

义 所以

limx22x5f(0)022055

x0

4 (2)因为函数f(x)(sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x有定义 所以

lim(si2nx)3f()(si2n)31

x444 (3)因为函数f(x)ln(2cos2x)是初等函数 f(x)在点x有定义

6所以

ln2(co2sx)f()ln2(co2s)0 limx666x11lim(x11)(x11)lim (4)limx0x0x0xx(x11)xx(x11)

limx0111 x110112

5x4xlim(5x4x)(5x4x) (5)limx1x1x1(x1)(5x4x)

lim444x4lim2 x15x4xx1(x1)(5x4x)5141

2cosxasinxa22limsinxsinalim(6)xaxaxaxa

xasin2coalimcosxalimsa1coas xaxaxa22222

(x2xx2x)(x2xx2x)(xxxx)lim(7)xlim 22x(xxxx) xlim2x2lim1 22x11(xxxx)(11)xx

4 求下列极限 (1)xlim  (2)limlnsinx

x01exx

(3)xlim(11)2 x2x(13tan2x)cotx (4)limx0

x13x(5)xlim()2 6x

1tanx1sinx (6)lim2x0x1sinxx1xxx 解 (1)

xlimeelim1e01

(2) limlnsinxln(limsinx)ln10

x0x0xx (3) (4)

lim(11)2lim(11)xxxxxx12ee

12

lim(13tanx)x02cot2xlim(13tanx021x)3tan2x3e3

6x3x1x13x3(5)()2(1)36x2 6x6x因为

6x3im(1)3e lim3x13 xlx6x26x2x133x2()e2 所以xlim6x

(1tanx1sinx)(1sin2x1)1tanx1sinxlim(6)lim 2x0x0x(1sin2x1)(1tanx1sinx)x1sinxx2xtaxn2sin(tanxsinx)(1sinx1)2limlim22x0xsinx(1taxn1sinx)x0xsinx2

2x(x)221 limx02x3

e 5 设函数f(x) x0  ax x0x应当如何选择数a 使得f(x)成为

在( )内的连续函数？

解 要使函数f(x)在( )内连续 只须f(x)在x0处连续 即只须

x0limf(x)limf(x)f(0)a

x0x0

x0f(x)limex1 因为xlim0x0limf(x)lim(ax)a 所以只须取a1

习题110

1 证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间 证明 设f(x)x53x1 则f(x)是闭区间[1 2]上的连续函数 因为f(1)3 f(2)25 f(1)f(2)0 所以由零点定理 在(1 2)内至少有一点

(12) 使f()0 即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根

因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间

2 证明方程xasinxb 其中a0 b0 至少有一个正根 并且它不超过ab

证明 设f(x)asin xbx 则f(x)是[0 ab]上的连续函数 f(0)b f(ab)a sin (ab)b(ab)a[sin(ab)1]0 若f(ab)0 则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根

若f(ab)0 则f(0)f(ab)0 由零点定理 至少存在一点

(0 ab) 使f()0 这说明x 也是方程x=asinxb的一个不

超过ab的根

总之 方程xasinxb至少有一个正根 并且它不超过ab 3 设函数f(x)对于闭区间[a b]上的任意两点x、y 恒有|f(x)f(y)|L|xy| 其中L为正常数 且f(a)f(b)0 证明 至少有一点(a b) 使得f()0

证明 设x0为(a b)内任意一点 因为 所以 即

0lim|f(x)f(x0)|limL|xx0|0

xx0xx0xx0

lim|f(x)f(x0)|0 limf(x)f(x0)

xx0

因此f(x)在(a b)内连续

同理可证f(x)在点a处左连续 在点b处右连续 所以f(x)在[a b]上连续

因为f(x)在[a b]上连续 且f(a)f(b)0 由零点定理 至少有一点(a b) 使得f()0

4 若f(x)在[a b]上连续 ax1x2    xnb 则在[x1 xn]上至少有一点  使

f()f(x1)f(x2)    f(xn)

n 证明 显然f(x)在[x1 xn]上也连续 设M和m分别是f(x)在[x1 xn]上的最大值和最小值

因为xi[x1 xn](1 in) 所以有mf(xi)M 从而有

nmf(x1)f(x2)    f(xn)nM

mf(x1)f(x2)    f(xn)Mn

由介值定理推论 在[x1 xn]上至少有一点 使

f()f(x1)f(x2)    f(xn)

n

f(x)存在 则f(x)必 5 证明 若f(x)在( )内连续 且xlim在( )内有界

f(x)A 则对于给定的0 存在X0 只要|x|X 证明 令xlim就有

|f(x)A|  即Af(x)A 

又由于f(x)在闭区间[X X]上连续 根据有界性定理 存在M0 使|f(x)|M x[X X]

取Nmax{M |A| |A|} 则|f(x)|N x( ) 即f(x)在( )内有界

6 在什么条件下 (a b)内的连续函数f(x)为一致连续？ 总习题一

1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内

(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件 (2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlimx条件

xx0f(x)存在的________

0limf(x)存在是

f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________

条件

(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlimx条件 件

xx0f(x)的________

0limf(x)是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条

(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是xlimxf(x)存在的________条件

0 解 (1) 必要 充分 (2) 必要 充分 (3) 必要 充分 (4) 充分必要

2 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论 设f(x)2x3x2 则当x0时 有( )

(A)f(x)与x是等价无穷小 (B)f(x)与x同阶但非等价无穷小 (C)f(x)是比x高阶的无穷小 (D)f(x)是比x低阶的无穷小 解

xxxxf(x)232213limlimlim1 因为limx0xx0x0xx0xxxxtln3limuln2ln3 ln2lim(令21t 31u)  t0ln(1t)u0ln(1u)所以f(x)与x同阶但非等价无穷小 故应选B 3 设f(x)的定义域是[0 1] 求下列函数的定义域 (1) f(ex) (2) f(ln x) (3) f(arctan x) (4) f(cos x)

解 (1)由0ex1得x0 即函数f(ex)的定义域为( 0]

(2) 由0 ln x1得1xe  即函数f(ln x)的定义域为[1 e] (3) 由0 arctan x 1得0xtan 1 即函数f(arctan x)的定义域为[0 tan 1]

(4) 由0 cos x1得2nx2n(n0 1 2   )

22即函数f(cos x)的定义域为[2n, n] (n0 1 2   )

22 4 设

0 x0  0 0 x g(x)f(x)x2 x0 x x  0 

求f[f(x)] g[g(x)] f[g(x)] g[f(x)]

0 x0 解 因为f(x)0 所以f[f(x)]f(x) x x0 因为g(x)0 所以g[g(x)]0 因为g(x)0 所以f[g(x)]0

0 x0 因为f(x)0 所以g[f(x)]f 2(x) 2x x0 5 利用ysin x的图形作出下列函数的图形 (1)y|sin x| (2)ysin|x| (3)y2sinx

2 6 把半径为R的一圆形铁片 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥 试将这圆锥的体积表为的函数 解 设围成的圆锥的底半径为r 高为h 依题意有 R(2)2r  rR(2)

2

2R2(2)24hRrRR224222

圆锥的体积为

R2(2)2142VR32423R(2)24a2224

(02)

2x 7 根据函数极限的定义证明limx3x65 x32

证明 对于任意给定的0 要使|x取 当0|x3|时

2xlimx65 x3x3x65| 只需|x3|

x32x就有|x3| 即|x65| 所以x3

8 求下列极限

x (1)limx1x1 (x1)22

x( (2)xlimxx21x)

(3)lim(2x3)x1

2x1sinx (4)limtanxx0x3xxx1abc()x(a0 b0 c0) (5)limx03x

(sinx)tanx (6)lim2 解

(x1)20 (1)因为limx1x2x12x所以limx1x1 (x1)22

x(x21x)(x21x)x(x1x)lim(2)xlim 2x(x1x) xlimx1lim1 x21xx1112x2

2x112x322x1x1(3)xlim()lim(1)lim(1)22 2x1xx2x12x12x11222lim(1)(1)2 x2x12x12x11222lim(1)lim(1)2e xx2x12x1

sinx(11)sinx(1cosx)tanxsinxlimcosx(4)lim limx0x0x0x3x3x3cosxsinx2sin2x2x(x)22lim21 limx0x02x3cosxx3

(提示 用等价无穷小换) (5)lim(ax0

xb3xcx)1xlim(1abcx033xxx3axbxcx33)axbxcx33x 因为

xxxabc3)axbxcx3e lim(1x03

xxxxxxabc31a1b1climlim(1) x03x3x0xxx1[lnalim1lnblim1lnclim1] t0ln(1t)u0ln(1u)v0ln1(3v) 1(lnalnblnc)ln3abc

3所以

xxx13abclim()xelnabc3abc x03

提示 求极限过程中作了变换ax1t bx1u cx1v

(sinx) (6)limx2tanxlim[1(sinx21x1)]sixn11(sinx1)tanxsinx1)]x1 因为

xlim[1(sin2e

sinx(sixn1)(sixn1)taxnlim lim x2x2coxs 所以

sinx(sin2x1)xcoxs0limlimsin cosx(sinx1)sinx1xx22

x2lim(sixn)tanxe01

9 设选择数a?

1xsin x0 f(x)x2ax x0要使f(x)在( )内连续 应怎样

解 要使函数连续 必须使函数在x0处连续 因为 f(0)a

10 limf(x)lim(ax2)a limf(x)limxsinx0x0x0x0x

所以当a0时 f(x)在x0处连续 因此选取a0时 f(x)在( )内连续 10 设所属类形

解 因为函数f(x)在x1处无定义 所以x1是函数的一个间断点 因为

1x10limf(x)limex1x11ex1 x0 f(x)1x) 1x0ln(求f(x)的间断点 并说明间断点

(提示lim1)

x1x1x1limf(x)lix11mex1(提示lim1)

x1x1所以x1是函数的第二类间断点 又因为limx0f(x)limln(x1)0 limf(x)limx0x0x01xe11e

所以x0也是函数的间断点 且为第一类间断点

 11 证明nlim

11    11 222n1n2nnn11    1n 且 证明 因为2nnn21n22n2nn21limnlim11 limnlim11 nnn21nn2nn11211nn所以nlim11    11 222n1n2nn

22 12 证明方程sin xx10在开区间(, )内至少有一个根 证明 设f(x)sin xx1 则函数f(x)在[ ,]上连续

22 因为f( )11 f( )112 f( )f( )0

22222222所以由零点定理 在区间( ,)内至少存在一点 使f()0

22这说明方程sin xx10在开区间( ,)内至少有一个根

22 13 如果存在直线L ykxb 使得当x(或x x)时 曲线yf(x)上的动点M(x y)到直线L的距离d(M L)0 则称L为曲线yf(x)的渐近线 当直线L的斜率k0时 称L为斜渐近线

(1)证明 直线L ykxb为曲线yf(x)的渐近线的充分必要条件是

k x  (x,x)limf(x) b limxx[f(x)kx]

(x,x) (2)求曲线

1y(2x1)ex的斜渐近线

证明 (1) 仅就x的情况进行证明

按渐近线的定义 ykxb是曲线yf(x)的渐近线的充要条件是

xlim[f(x)(kxb)]0

必要性 设ykxb是曲线yf(x)的渐近线 则

xlim[f(x)(kxb)]0

xxxxf(x)f(x)f(x)于是有 x limx[kb]0limk0klimxx同时有

xlim[f(x)kxb]0blim[f(x)kx]

x 则

充分性 如果klimf(x)

xxblim[f(x)kx]

x

xlim[f(x)(kxb)]lim[f(x)kxb]lim[f(x)kx]bbb0

xx因此ykxb是曲线yf(x)的渐近线

1y2x1(2)因为kxlimlimex2 xxx

t11

n1(t)

11blim[y2x]lim[(2x1)ex2x]2limx(ex1)12limxxxt0l1y(2x1)ex

所以曲线习题21

的斜渐近线为y2x1

1 设物体绕定轴旋转 在时间间隔[0 t]内转过的角度为 从而转角是t的函数 (t) 如果旋转是匀速的 那么称t为该物体旋转的角速度 如果旋转是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？

解 在时间间隔[t0 t0t]内的平均角速度为 (t0t)(t0)

tt故t0时刻的角速度为

(t0t)(t0)limlimlim(t0) t0t0t0tt 2 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度T与时间t的函数关系为TT(t) 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？

解 物体在时间间隔[t0 t0t]内 温度的改变量为 TT(tt)T(t) 平均冷却速度为

TT(tt)T(t)

tt故物体在时刻t的冷却速度为 limTlimT(tt)T(t)T(t)

t0t0tt 3 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元 此函数f(x)称为成本函数 成本函数f(x)的导数f(x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本f(x)的实际意义

解 f(xx)f(x)表示当产量由x改变到xx时成本的改变量 f(xx)f(x)表示当产量由x改变到xx时单位产量的

x成本

f(x)limf(xx)f(x)表示当产量为x时单位产量的成本

x0x 4 设f(x)10x2 试按定义 求f (1) 解

f(1x)f(1)10(1x)210(1)2 f(1)limlimx0x0xx210lim2xx10lim(2x)20 x0x0x 5 证明(cos x)sin x 解 (cosx)limcos(xx)cosx

x0x

x2sinx(x)sin22limx0x

xsin2]sinlim[sinx(x)x x02x2 6 下列各题中均假定f (x0)存在 按照导数定义观察下列极限 指出A表示什么

f(x0x)f(x0)A (1)limx0x 解

f(x0x)f(x0) x0xf(xx)f(x0) lim0f(x0) x0x(2)limf(x)A 其中f(0)0 且f (0)存在 x0x解 Alimf(x)limf(0x)f(0)f(0)

x0xx0xf(x0h)f(x0h)(3)hlimA 0hf(x0h)f(x0h)解 Ah lim0h[f(x0h)f(x0)][f(x0h)f(x0)] h lim0hf(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0) h limlim0h0hhAlim

f (x0)[f (x0)]2f (x0) 7 求下列函数的导数 (1)yx4 (2)y3x2 (3)yx1 6 (4)y1

x(5)y12

x (6)yx35x

232x(7)yxx5

解 (1)y(x4)4x414x3  (2)y(3x22)(x3)2x312x3 3321

(3)y(x1 6)16x1 6116x 0 6

111122(4)y()(x)xx2

22x113

(5)y(12)(x2)2x3

x (6)

16161111616y(x35x)(x5)x5x555

2321x(7)y(x)(x6)1x61x6 66x5115 8 已知物体的运动规律为st3(m) 求这物体在t2秒(s)时的速度

解v(s)3t2 v|t212(米/秒)

9 如果f(x)为偶函数 且f(0)存在 证明f(0)0 证明 当f(x)为偶函数时 f(x)f(x) 所以

f(x)f(0)f(x)f(0)f(x)f(0)f(0)limlimlimf(0) x0x0x0x0x0x0

从而有2f (0)0 即f (0)0

10 求曲线ysin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率

x23 x

解 因为ycos x 所以斜率分别为 k1co2s1

32k2cos1

11 求曲线ycos x上点(, 1)处的切线方程和法线方程式

32 解ysin x y32xsin33232

3(x)

23故在点(, 1)处 切线方程为y12(x) 法线方程为y1233

12 求曲线yex在点(01)处的切线方程 解yex y|x01 故在(0 1)处的切线方程为 y11(x0) 即yx1

13 在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点 作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解 y2x 割线斜率为ky(3)y(1)914

312 令2x4 得x2

因此抛物线yx2上点(2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在x0处的连续性与可导性 (1)y|sin x|

x2sin1 x0(2)y x x00 

解 (1)因为 y(0)0

x0x0x0limylim|sinx|lim(sinx)0

x0x0limylim|sinx|limsinx0

x0

所以函数在x0处连续 又因为

y(x)y(0)|sinx||si0n|sinx1 (0)lim ylimlimx0x0x0x0xy(x)y(0)|sinx||sin0|x1 (0)limylimlimsinx0x0x0x0x0xx0

而y(0)y(0) 所以函数在x0处不可导

解 因为limy(x)limx2sin10 又y(0)0 所以函数在x0处连x0x0x续 又因为

102xsiny(x)y(0)10 xlimlimlimxsinx0x0x0x0xx

所以函数在点x0处可导 且y(0)0

15 设函数

 x2 x1为了使函数f(x)在x1处连续且可f(x)axb x1导 a b应取什么值？ 解 因为

x12limf(x)limx1 limf(x)lim(axb)ab f(1)ab x1x1x1所以要使函数在x1处连续 必须ab1  又因为当ab1时

2xf(1)lim12 x1x1axb1lima(x1)ab1lima(x1)a (1)limfx1x1x1x1x1x1

所以要使函数在x1处可导 必须a2 此时b1 16 已知 解 因为

f(0)limf(x)f(0)limx01

x0xx2f(x)f(0)xlim00 f(0)limx0x0xxx0 x2 x0求f(0)及f(0) f(x)x x0又f (0)是否存在？

而f(0)f(0) 所以f (0)不存在

sinx x0 17 已知f(x) x x0 求f (x) 

 解 当x<0时 f(x)sin x f (x)cos x  当x>0时 f(x)x f (x)1

因为 f(0)limf(x)f(0)limsinx01

x0xxf(0)limf(x)f(0)limx01

x0x0xxx0所以f (0)1 从而

cosx x0 f (x) 1 x0 18 证明 双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2  解 由xya

2

2a得yx

2aky2x

设(x0 y0)为曲线上任一点 则过该点的切线方程为

2ayy02(xx0) x0

2

2y0x0解得x2x02x0

a 令y0 并注意x0y0a 的距

为切线在x轴上

令x0 并注意x0y0a2 解得ya的距

2x0y02y0

为切线在y轴上

此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 S1|2x0||2y0|2|x0y0|2a2

2

习题 22

1 推导余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x  (csc x)csc xcot x 

cosxcosx 解 (cotx)(cosx)sinxsinx2sinxsinx

22sinx2cosx12cs2cx

sinxsinxxscsx(csxc)(1)coccoxt 2sinxsinx

2 求下列函数的导数

(1)y4574212

xxx (2) y5x32x3ex  (3) y2tan xsec x1 (4) ysin xcos x  (5) yx2ln x  (6) y3excos x  (7)ylnx

x

xe(8)y2ln3 x (9) yx2ln x cos x  (10)s1sint 解

1cost(1)y(4574212)(4x57x42x112)

xxx282 20x628x52x220x6x5x2 (2) y(5x32x3ex)15x22x ln23ex

(3) y(2tan x sec x1)2sec2xsec xtan xsec x(2sec xtan x)

(4) y(sin xcos x)(sin x)cos xsin x(cos x) cos xcos xsin x(sin x)cos 2x (5) y(x2ln x)2xln xx21x(2ln x1)  x (6) y(3excos x)3excos x3ex(sin x)3ex(cos xsin x)

1xlnxx (7)y(lnx)x21lnxxx2xx2xex(x2)eexe2x(8)y(2ln3) xx4x3 (9) y(x2ln x cos x)2xln x cos xx21cos xx2 ln x(sin x)

x 2x ln x cos xx cos xx2 ln x sin x 

t)(sint)1sintcost (10)s(1sint)cost(1cost)(1sin 221cost(1cost)(1cost)

3 求下列函数在给定点处的导数 (1) ysin xcos x  求y (2)sin1cos求d2dx6和y

x4

4 (3)

23xf(x)5x5 求f (0)和f (2) 

解 (1)ycos xsin x y yd3131 cossinx662226x

222 cossin4422422

(2)dsincos1sin1sincos ddco1sins1222(1) 24442242424

(3)f(x)32x 3 f(2)17 f(0)(5x)252515

4 以初速v0竖直上抛的物体 其上升高度s与时间t的关系是sv0t1gt2 求

2 (1)该物体的速度v(t) (2)该物体达到最高点的时刻 解 (1)v(t)s(t)v0gt

(2)令v(t)0 即v0gt0 得t0 这就是物体达到最高点的时刻

5 求曲线y2sin xx2上横坐标为x0的点处的切线方程和法线方程

解 因为y2cos x2x y|x02 又当x0时 y0 所以所求的切线方程为 y2x 所求的法线方程为

y1x 即x2y0

2vg 6 求下列函数的导数 (1) y(2x5)4 (2) ycos(43x) (3)ye3x

2 (4) yln(1x2) (5) ysin2x  (6)ya2x2 (7) ytan(x2) (8) yarctan(ex) (9) y(arcsin x)2 (10) ylncos x

解 (1) y4(2x5)41(2x5)4(2x5)328(2x5)3 (2) ysin(43x)(43x)sin(43x)(3)3sin(43x)

(3)ye3x(3x2)e3x(6x)6xe3x

222 (4)y12(1x2)122x2x2

1x1x1x (5) y2sin x(sin x)2sin xcos xsin 2x  (6)

1111y[(a2x2)2](a2x2)2(a2x2)2

1x222(ax)(2x)2a2x21

(7) ysec2(x2)(x2)2xsec2(x2)

x1ex(8)y (e)1(ex)21e2x

x (9) y2arcsinx(arcsinx)2arcsin21x (10)y1(cosx)1(sinx)tanx

cosxcosx 7 求下列函数的导数 (1) yarcsin(12x) (2)y (3)

11x2 

xye2cos3x (4)yarccos1

x (5)y1lnx

1lnx(6)ysin2x

x (7)yarcsinx (8)yln(xa2x2) (9) yln(sec xtan x) (10) yln(csc xcot x)

解 (1)y (2)y[(1x (3)

12(12x)11(12x)21(12x)2xx221111222)](1x)(1x2)

2 

x1x22(1x)(2x)2(1x2)1x23xxxy(e2)cos3xe2(cos3x)e2(x)cos3xe2(sin3x)(3x) 2x

1122eco3sx3esi3nxe2(co3xs6si3nx) 22xx

(4)y

|x|1 (1)(1)222xxxx11(1)21(1)2xx1(1lnx)(1lnx)12x(5)yx

(1lnx)2x(1lnx)21xx

(6)ycos2x2x2sin2x12xcos2x2sin2x (7)y (8)y (9)

111(x)11(x)21(x)22x2xx2

111(xa2x2)[1(a2x2)] xa2x2xa2x22a2x2111[1(2x)]xa2x22a2x2a2x2

y (10)

21(secxtanx)secxtanxsecxsecx secxtanxsecxtanx21cscxcotxcscxcscxy(cscxcotx) cscxcotxcscxcotx

8 求下列函数的导数 (1)y(arcsinx)2

2 (2)ylntanx

2 (3)y1ln2x (4)yearctanx (5)ysinnxcos nx  (6)yarctanx1

x1(7)yarcsinx

arccosx (8) y=ln[ln(ln x)]  (9)y1x1x1x1x

(10)yarcsin1x 1x 解 (1)y2(arcsinx)(arcsinx)

22x)in12(arcs(x) 221(x)22x)in12(arcs1 221(x)222arcsxin2 4x22tan22 (2)y1x(tanx)1xsec2x(x)

tan22c 1xse2cx1csxtan222 (3)y

1(1ln2x) 21ln2x112lnx12lnx(lnx)x21ln2x21ln2xlnx 2x1lnx1ln2x

(4)yearctanx(arctanx) earctaxnearctanx11(x)2(x)

arctaxn1e 21(x)2x2x(1x)1

(5) yn sinn1x(sin x)cos nxsinnx(sin nx)(nx) n sinn1xcos x cos nxsinnx(sin nx)n

n sinn1x(cos xcos nxsin xsin nx) n sinn1xcos(n1)x  (6)y(x1)(x1)11(x1)122(x1)1x1(x1)2x11(x1)2x1x1

1arccosx1arcsinx221x1x(7)y(arccosx)21arccxosarcsxin 22(arccxo)s1x

2221x(arccx)os

1[ln(lnx)]11(lnx) (8)yln(ln x)ln(lnx)lnx

1111 ln(lnx)lnxxxlnxln(lx)n

11)(1x1x)(1x1x)(11)21x21x(9)y21x21x(1x1x)2(

11x21x2

(10)y(1x)(1x)11(1x)

1x(1x)21x1x111x1x

1(1x)2x(1x)

9. 设函数f(x)和g(x)可导 且f2(x)g2(x)0 试求函数

yf2(x)g2(x)的导数

解

y1[f2(x)g2(x)] 2f2(x)g2(x)

1[2f(x)f(x)2g(x)g(x)] 222f(x)g(x)x)g(x) f(x)f2(x)g(2

f(x)g(x) 10 设f(x)可导 求下列函数y的导数dy

dx (1) yf(x2)

(2) yf(sin2x)f(cos2x)

解 (1) yf (x2)(x2) f (x2)2x2xf (x2) (2) yf (sin2x)(sin2x)f (cos2x)(cos2x)

 f (sin2x)2sin xcos xf (cos2x)2cosx(sin x) sin 2x[f (sin2x) f (cos2x)] 11 求下列函数的导数 (1) ych(sh x ) (2) ysh xech x (3) yth(ln x) (4) ysh3x ch2x  (5) yth(1x2) (6) yarch(x21)

(7) yarch(e2x) (8) yarctan(th x) (9)ylnchx12

2chx(10)ych2(x1)

x1 解 (1) ysh(sh x)(sh x)sh(sh x)ch x  (2) ych xech xsh xech xsh xech x(ch xsh2x)  (3)y11(lnx)ch2(lnx)xch2(lnx)

(4) y3sh2xch x2ch xsh x sh xch x(3sh x2)  (5)y (6)y

(7)y12x2 (1x)2222ch(1x)ch(1x) 

12x(x21)1(x21)x42x222x12e2x (e)2x24x(e)1e1

(8)y

11111 (th x)1(thx)21th2xch2x1sh2xch2xch2x 21212

chxshx12shx(9)y1(ch x)14(ch2x)

ch x2chx sh x142ch xshx

ch x2chx2sh xshxsh xchxshx3  3ch xchxchxsh x(ch2x1)sh3x3th3x 3chxchx(10)y2ch(x1)[ch(x1)]2ch(x1)sh(x1)(x1)

x1x1x1x1x1

sh(2x1)x1(x1)(x1)2sh(2x1) x1(x1)2(x1)2

12 求下列函数的导数

(1) yex(x22x3) (2) ysin2xsin(x2) (3)y(arctanx)2

2 (4)ylnnx

xttee(5)ytt ee(6)ylncos1

xsin21xye (7)

(8)yxx (9) yxarcsinx4x2

2(10)yarcsin2t21t

解 (1) yex(x22x3)ex(2x2) ex(x24x5)

(2) y2sin xcos xsin(x2)sin2xcos(x2)2x sin2xsin(x2)2xsin2xcos(x2) (3)y2arctanx114arctanx 22222xx414

1xnlnxnxn11nlnx (4)yxx2nxn1

(etet)(etet)(etet)(etet)4e2t (5)y(etet)2(e2t1)2 (6)ysec1(cos1)sec1(sin1)(12)12tan1

xxxxxxx (7)

sin21sin2112x(sinx(2sin1)cos1(ye)exxx1)

x2

2es12sinxx1i2nx

(8)y 11(xx)(11)

2x2xx2xx2x14xxx

11(2x)arcsinx 2222x24x141 (9)yarcsinxx2

2(1t2)2t(2t)12t1(2)(10)y 221t(1t)2t2t1(2)21(2)21t1t22(1t2)2(1t2)1t 22(1t2)2|1t2|(1t2)(1t)

习题 23

1 求函数的二阶导数 (1) y2x2ln x (2) ye2x1 (3) yxcos x (4) yet sin t (5)ya2x2 (6) yln(1x2) (7) ytan x (8)y31

x1 (9) y(1x2)arctan x 

xe(10)yx

2 (11)yxex

(12)yln(x1x2) 解 (1)y4x1 y412

xx (2) ye2x1 22e2x1 y2e2x1 24e2x1 (3) yxcos x  ycos xxsin x

ysin xsin xxcos x2sin xxcos x  (4) yetsin tetcos tet(cos tsin t)

yet(cos tsin t)et(sin tcos t)2etcos t  (5)y12ax22(a2x2)xa2x2

a2x2x y1xax2xa2x22a2(a2x2)a2x2

(6) y12(1x2)2x2

1x

2(1x2)2x(2x)2(1x2) y(1x2)2(1x2)2

(7) ysec2 x

y2sec x(sec x)2sec xsec xtan x2sec2xtan x 

2(x31)3x(8)y3232(x1)(x1)

6x(x31)23x22(x31)3x6x(2x31)y33 34(x1)(x1) (9)y2xarctanx(1x2)122xarctanx1

1x y2arctxan2x2

1xxxex(x1)exe1(10)y x2x2[ex(x1)ex]x2ex(x1)2xex(x22x2) yx4x3

(11)yexxex(2x)ex(12x2)

222 yex2x(12x2)ex4x2xex(32x2)

222 (12)y

11(x1x2)(12x)1x1x2x1x221x21x2

xy12(1x2)122x1x1x21x2)(1x)21x

2 设f(x)(x10)6 f (2)?

解f (x)6(x10)5 f (x)30(x10)4 f (x)120(x10)3 f (2)120(210)3207360 3 若f (x)存在 求下列函数y (1) yf(x2) (2) yln[f(x)] 

解 (1)y f (x2)(x2)2xf (x2)

y2f (x2)2x2xf (x2)2f (x2)4x2f (x2) (2)y

1f(x) f(x)d2y的二阶导数2

dx



f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)[f(x)]2y2[f(x)][f(x)]2 4 试从dx1导出

dyy

2yd(1)x

dy2(y)3

33(y)2yydx(2)3 5dy(y) 解 (1)d

xddxd1d1dxy1ydy2dydydyydxydy(y)2y(y)32

3ddydydx (2)xdxy3dydy3dyy3

y(y)3y3(y)2y13(y)2yy 65y(y)(y)

5 已知物体的运动规律为sAsint(A、是常数) 求物体运动的加速度 并验证

d2s2s0

dt2 解 dsAcost

dtd2sA2sint dt2

d2s就是物体运动的加速度 dt22s2sA2sint2Asint0 d2dt

6 验证函数yC1exC2ex(C1 C2是常数)满足关系式 y2y0  解 yC1exC2ex yC12exC22ex

y2y(C12exC22ex)2(C1exC2ex) (C12exC22ex)(C12exC22ex)0  7 验证函数yexsin x满足关系式 y2y2y0  解 yexsin xexcos xex(sin xcos x)

yex(sin xcos x)ex(cos xsin x)2excos x  y2y2y2excos x2ex(sin xcos x)2exsin x 2excos x2exsin x2excos x2exsin x0  8 求下列函数的n阶导数的一般表达式

(1) yxna1xn1a2xn2    an1xan (a1 a2    an都是常数) (2) ysin2x  (3) yxln x  (4) yxex 

解 (1) ynxn1(n1)a1xn2(n2)a2xn3    an1

yn(n1)xn2(n1)(n2)a1xn3(n2)(n3)a2xn4    an2

  

y(n)n(n1)(n2)  21x0n!  (2) y2sin x cos xsin2x  y2co2sx2sin2x()

2 y22co2sx()22sin2x(2)

22 y(4)23co2sx(2)23sin2x(3)

22   

y(n)2n1sin2x[(n1)]

2 (3) ylnx1

y1x1

x y(1)x2 y(4)(1)(2)x3   

2)!n(n2)!(1) y(n)(1)(2)(3)  (n2)xn1(1)n2(n n1n1xx (4) yexxex 

yexexxex2exxex  y2exexxex3exxex    

y(n)nexxexex(nx)  9 求下列函数所指定的阶的导数 (1) yexcos x 求y(4)  (2) yxsh x 求y(100)  (3) yx2sin 2x 求y(50) . 解 (1)令uex vcos x  有 uuuu(4)ex

vsin x  vcos x  vsin x v(4)cos x  所以 y(4)u(4)v4uv6uv4uvuv(4)

ex[cos x4(sin x)6(cos x)4sin xcos x]4excos x 

(2)令ux vsh x 则有 u1 u0

vch x vsh x     v(99)ch x  v(100)sh x 所以

1298(98)99(99)y(100)u(100)vC100u(99)vC100u(98)v    C100uvC100uvuv(100)

100ch xxsh x  (3)令ux2  vsin 2x 则有 u2x u2 u0

v(48)248sin(2x48)248sin2x

2 v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x  所以

12(48)48(48)49(49)y(50)u(50)vC150u(49)vC50uv    C50uvC50uvuv(50) 48(48)49(49) C50uvC50uvuv(50)

50492228sin2x502x249co2sxx2(250sin2x)

2 250(x2sin2x50xco2sx122s5in2x)

2

习题 23

1 求函数的二阶导数 (1) y2x2ln x (2) ye2x1 (3) yxcos x (4) yet sin t (5)ya2x2 (6) yln(1x2) (7) ytan x (8)y31

x1 (9) y(1x2)arctan x 

xe(10)yx

2 (11)yxex

(12)yln(x1x2) 解 (1)y4x1 y412

xx (2) ye2x1 22e2x1 y2e2x1 24e2x1 (3) yxcos x  ycos xxsin x

ysin xsin xxcos x2sin xxcos x  (4) yetsin tetcos tet(cos tsin t)

yet(cos tsin t)et(sin tcos t)2etcos t  (5)y12ax22(a2x2)xa2x2

a2x2x y1xax2xa2x22a2(a2x2)a2x2

(6) y12(1x2)2x2

1x

2(1x2)2x(2x)2(1x2) y(1x2)2(1x2)2

(7) ysec2 x

y2sec x(sec x)2sec xsec xtan x2sec2xtan x 

2(x31)3x(8)y3232(x1)(x1)

6x(x31)23x22(x31)3x6x(2x31)y33 34(x1)(x1) (9)y2xarctanx(1x2)122xarctanx1

1x y2arctxan2x2

1xxxex(x1)exe1(10)y x2x2[ex(x1)ex]x2ex(x1)2xex(x22x2) yx4x3

(11)yexxex(2x)ex(12x2)

222 yex2x(12x2)ex4x2xex(32x2)

222 (12)y

11(x1x2)(12x)1x1x2x1x221x21x2

xy12(1x2)122x1x1x21x2)(1x)21x

2 设f(x)(x10)6 f (2)?

解f (x)6(x10)5 f (x)30(x10)4 f (x)120(x10)3 f (2)120(210)3207360 3 若f (x)存在 求下列函数y (1) yf(x2) (2) yln[f(x)] 

解 (1)y f (x2)(x2)2xf (x2)

y2f (x2)2x2xf (x2)2f (x2)4x2f (x2) (2)y

1f(x) f(x)d2y的二阶导数2

dx



f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)[f(x)]2y2[f(x)][f(x)]2 4 试从dx1导出

dyy

2yd(1)x

dy2(y)3

33(y)2yydx(2)3 5dy(y) 解 (1)d

xddxd1d1dxy1ydy2dydydyydxydy(y)2y(y)32

3ddydydx (2)xdxy3dydy3dyy3

y(y)3y3(y)2y13(y)2yy 65y(y)(y)

5 已知物体的运动规律为sAsint(A、是常数) 求物体运动的加速度 并验证

d2s2s0

dt2 解 dsAcost

dtd2sA2sint dt2

d2s就是物体运动的加速度 dt22s2sA2sint2Asint0 d2dt

6 验证函数yC1exC2ex(C1 C2是常数)满足关系式 y2y0  解 yC1exC2ex yC12exC22ex

y2y(C12exC22ex)2(C1exC2ex) (C12exC22ex)(C12exC22ex)0  7 验证函数yexsin x满足关系式 y2y2y0  解 yexsin xexcos xex(sin xcos x)

yex(sin xcos x)ex(cos xsin x)2excos x  y2y2y2excos x2ex(sin xcos x)2exsin x 2excos x2exsin x2excos x2exsin x0  8 求下列函数的n阶导数的一般表达式

(1) yxna1xn1a2xn2    an1xan (a1 a2    an都是常数) (2) ysin2x  (3) yxln x  (4) yxex 

解 (1) ynxn1(n1)a1xn2(n2)a2xn3    an1

yn(n1)xn2(n1)(n2)a1xn3(n2)(n3)a2xn4    an2

  

y(n)n(n1)(n2)  21x0n!  (2) y2sin x cos xsin2x  y2co2sx2sin2x()

2 y22co2sx()22sin2x(2)

22 y(4)23co2sx(2)23sin2x(3)

22   

y(n)2n1sin2x[(n1)]

2 (3) ylnx1

y1x1

x y(1)x2 y(4)(1)(2)x3   

2)!n(n2)!(1) y(n)(1)(2)(3)  (n2)xn1(1)n2(n n1n1xx (4) yexxex 

yexexxex2exxex  y2exexxex3exxex    

y(n)nexxexex(nx)  9 求下列函数所指定的阶的导数 (1) yexcos x 求y(4)  (2) yxsh x 求y(100)  (3) yx2sin 2x 求y(50) . 解 (1)令uex vcos x  有 uuuu(4)ex

vsin x  vcos x  vsin x v(4)cos x  所以 y(4)u(4)v4uv6uv4uvuv(4)

ex[cos x4(sin x)6(cos x)4sin xcos x]4excos x 

(2)令ux vsh x 则有 u1 u0

vch x vsh x     v(99)ch x  v(100)sh x 所以

1298(98)99(99)y(100)u(100)vC100u(99)vC100u(98)v    C100uvC100uvuv(100)

100ch xxsh x  (3)令ux2  vsin 2x 则有 u2x u2 u0

v(48)248sin(2x48)248sin2x

2 v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x  所以

12(48)48(48)49(49)y(50)u(50)vC150u(49)vC50uv    C50uvC50uvuv(50) 48(48)49(49) C50uvC50uvuv(50)

50492228sin2x502x249co2sxx2(250sin2x)

2 250(x2sin2x50xco2sx122s5in2x)

2

习题24

1 求由下列方程所确定的隐函数y的导数dy (1) y2x y90 (2) x3y33axy0 (3) xyexy  (4) y1xey

解 (1)方程两边求导数得 2y y2y2x y 0  于是 (yx)yy 

yy yx2

dx

(2)方程两边求导数得 3x23y2y2ay3axy0 于是 (y2ax)yayx2  

yayx2 y2ax

(3)方程两边求导数得 y xye xy(1y) 于是 (xexy)yexyy 

exyy yxexy

(4)方程两边求导数得 ye yxeyy 于是 (1xe y)ye y

yey1xey

2a3 2 求曲线

2x32y3在点(2a, 2a)处的切线方程和法线方44程

解 方程两边求导数得 于是 在点(2x32y3y0 33y

1

x31y311

 y1

即xy2a 22a, 2a)处44所求切线方程为

y2a(x2a)

44y2a(x2a) 44

所求法线方程为

即xy0

d2y的二阶导数2

dx 3 求由下列方程所确定的隐函数y (1) x2y21

(2) b2x2a2y2a2b2 (3) ytan(xy) (4) y1xey

解 (1)方程两边求导数得 2x2yy0

yx

y

yxxyxyyy2x2x1 y()yy2y2y3y3

(2)方程两边求导数得 2b2x2a2yy0 

2by2xay

b2x)yx(2y2yxy2abb y222ayay22a2y2b2x24bb223aa2y3ay 

(3)方程两边求导数得 ysec2(xy)(1y)

se2c(xy)1 y1se2c(xy)co2s(xy)1si2n(xy)co2s(xy)1122sin(xy)y



2(1y2)221 y3y3(12)yyyy5 (4)方程两边求导数得 ye yxe yy 

yyyeeey1xey1(y1)2y

eyy(2y)ey(y)ey(3y)ye2y(3y) y(2y)2(2y)2(2y)3 4 用对数求导法求下列函数的导数

(1) y(x)x

1x5 (2)y55x2x2

x2(3x)4(3)y(x1)5

(4)yxsinx1ex 解 (1)两边取对数得

ln yxln|x|xln|1x|， 两边求导得

1ylnxx1ln1(x)xyx11x

于是 y(x)x[lnx1]

1x1x1x (2)两边取对数得

lny1ln|x5|1lnx(22)

525两边求导得 1y1y112x

5x525x22

5[112x] 于是 y155x225x2x55x2 (3)两边取对数得

lny1lnx(2)4ln3(x)5lnx(1)

2两边求导得

y145 1y2(x2)3xx1于是

x2(3x)4145] y[2(x2)x3x1(x1)5 (4)两边取对数得

lny1lnx1lnsinx1ln1(ex)

224两边求导得 于是

1y11coxtex

y2x24(1ex)x

x11eyxsinx1e[coxt] 2x24(1ex)ex]1xsinx1ex[22coxtx

4xe1

5 求下列参数方程所确定的函数的导数dy

dx (1) (2)

xat2 2ybt

x(1sin) ycosdyyt3bt23b解 (1)t

dxxt2at2a(2)dyycossin

1sincosdxx

xetsint,6 已知t求当t时dy的值

3dxyecost.tt解 dyytetcostetsintcostsint

dxxtesintecostsintcost1dy2dx12321332 3132

当t时

3

7 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程 (1)

xsint 在处 tycos2t4x3at1t2(2) 2 在t=2处 3aty1t2解 (1)dyyt2sin2t

dxxtcost

当t时

4)2sin(2dy4222 x202dx2cos42 y00

所求切线方程为

y22(x2) 2即22xy20

所求法线方程为

1(x2) 即2x4y10 2226at(1t2)3at22t6at (2)yt(1t2)2(1t2)2yxt3a(1t2)3at2t3a3at2(1t2)2(1t2)2 

当

dyyt6at22t2 dxxt3a3at1tt2时 dy2224 x06a y012a

dx12355

所求切线方程为

y12a4(x6a) 即4x3y12a0

535所求法线方程为

y12a3(x6a) 即3x4y6a0

5

d2y8 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数2

dx2tx(1) 2 y1t.xacost(2) ybsint



(3) (4)

x3et ty2exft(t) tytf(t)f(t)设f (t)存在且不为零

21)2y(y解 (1) dyyt1 d2xtt1dxxttxttt3dx(2) dyytbcostbcott

dxxtasintabcsc2t2)y(y d2xta2b3

xtasintdxasintdyyt2et(3) t2e2t

dxxt3e322e2t2)y(y d2xt3t4e3t

xt9dx3edyytf(t)tf(t)f(t)t (4) dxxtf(t)d2y(y 2x)t1

xtf(t)dx

d3y9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数3dxx1t2(1) 3ytt

2xln(1t) (2)ytarctant



dy(tt3)13t2解(1)2

dx(1t)2t

213td2y(2t)1(13) 2t4t3tdx23

3)1(1dy4t3t3(1t2) 2tdx38t511t)1t21t (2)dy(tarctan2tdx[ln(21t2)]1t2

1t)(2dy21t22t4tdx1t22

21td3y(4t)t413 2tdx38t21t

10 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？

解 设波的半径为r 对应圆面积为S 则Sr2 两边同时对t求导得

S t2rr

当t2时 r6212 rt6 故S t|t22126144 (米2秒)

11 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中 其速率为4m2/min  当水深为5m时 其表面上升的速度为多少？

解 水深为h时 水面半径为r1h 水面面积为S1h2

24水的体积为V1hS1h1h2h3

33412 dV3h2dh dh42dV

dt12dtdthdtdV4(m3/min) 因此 dh4dV4416已知h5(m)，dtdth2dt2525(m/min)

12 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为12cm时 其表面下降的速率为1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

解 设在t时刻漏斗在的水深为y 圆柱形筒中水深为h 于是有

162181r2y52h

33由ry 得ry 代入上式得

6183 即

162181(y)2y52h 333162181y352h 333

两边对t求导得

1y2yt52h 23当y12时 yt1代入上式得 27

1 已知yx3x 计算在x2处当x分别等于1 01 001时的y及dy

解 y|x2 x1[(21)3(21)](232)18

1122(1)2ht32160.(cm/min).

255 dy|x2 x1(3x21)x|x2 x111

y|x2 x0.1[(20.1)3(20.1)](232)1161 dy|x2 x0.1(3x21)x|x2 x0.111

y|x2 x001[(2001)3(2001)](232)0110601 dy|x2 x001(3x21)x|x2 x001011

2 设函数yf(x)的图形如图所示 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、y及ydy并说明其正负 解 (a)y0 dy0 ydy0 (b)y0 dy0 ydy0 (c)y0 dy0 ydy0 (d)y0 dy0 ydy0 3 求下列函数的微分 (1)y12x

x (2) yxsin 2x  (3)yxx12

(4) yln2(1x) (5) yx2e2x  (6) yexcos(3x) (7)yarcsin1x2 (8) ytan2(12x2) (9)yarctan1x2

1x2 (10) sAsin(t) (A  是常数)  解 (1)因为y11x2x 所以dy(11)dx

x2x

(2)因为ysin2x2xcos2x  所以dy(sin2x2xcos2x)dx

x21xx211 22(x1)x1 (3)因为yx21所以dy1dx 22(x1)x1

(4)dyydx[ln2(1x)]dx[2ln(1x)1]dx2ln(1x)dx

(1x)x1

(5)dyydx(x2e2x)dx(2xe2x2x2e2x)dx2x(1x)e2x (6) dyydx[excos(3x)]dx[excos(3x)exsin(3x)]dx ex[sin(3x)cos(3x)]dx  (7)dyydx(arcsin1x2)dx1x(2)dxdx 2221(1x)1x|x|1x (8) dydtan2(12x2)2tan(12x2)dtan(12x2) 2tan(12x2)sec2(12x2)d(12x2) 2tan(12x2)sec2(12x2)4xdx 8xtan(12x2)sec2(12x2)dx 

221x11x(9)dydarctan2d() 1x1(1x2)21x21x2

2x(1x2)2x(1x2)14xdx dx22241x(1x)1x21()1x2 (10) dyd[Asin( t)]Acos( t)d(t)A cos(t)dx 

4 将适当的函数填入下列括号内 使等式成立 (1) d( )2dx  (2) d( )3xdx  (3) d( )costdt  (4) d( )sin xdx  (5) d( )1dx

x1 (6) d( )e2xdx  (7) d( )1dx x

(8) d( )sec23xdx  解 (1) d( 2xC )2dx  (2) d(3x2C)3xdx 

2 (3) d( sin tC )costdt  (4) d(1cosxC)sin xdx 

 (5) d( ln(1x)C )1dx

x1 (6) d(1e2xC)e2xdx 

2 (7) d(2xC)31dx x

(8) d(1tan3xC)sec23xdx 

5 如图所示的电缆AOB的长为s 跨度为2l 电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f 则电缆长可按下面公式计算

2f2s2l(12)

3l当f变化了f时 电缆长的变化约少？ 解

2f2SdS2l(12)df8ff3l3l为多



6 设扇形的圆心角60 半径R100cm(如图) 如果R不变  减少30 问扇形面积大约改变了多少？又如果 不变 R增加1cm 问扇形面积大约改变了多少？

解 (1)扇形面积S1R2

2 SdS(1R2)d1R2

22将60 R100 30 代入上式得

3360 S11002()43.63(cm2)

2360 (2) SdS(1R2)RdRRR

2将60 R100 R1代入上式得 3 S1001104.72(cm2)

3 7 计算下列三角函数值的近似值 (1) cos29 (2) tan136

解 (1)已知f (xx)f (x)f (x)x 当f(x)cos x时 有cos(xx)cos xsin xx  所以 cos29cos()cossin()310.87467

61806618022180

(2)已知f (xx)f (x)f (x)x 当f(x)tan x时 有tan(xx)tan xsec2xx 所以

tan136tan(3)tan3sec23120.96509

418044180180 8 计算下列反三角函数值的近似值 (1) arcsin0.5002 (2) arccos 04995

解 (1)已知f (xx)f (x)f (x)x 当f(x)arcsin x时 有

所以

arcsxin(x)arcsxin1x

1x2arcsin0.5002arcsin(0.50.0002)arcsin0.520.00023047

310.0002 210.5 6

(2)已知f (xx)f (x)f (x)x 当f(x)arccos x时 有 所以

arccos0.4995arccos(0.50.0005)arccos0.520.0005602

3arccxos(x)arccxos1x

1x21(0.0005) 210.5 3

9 当x较小时 证明下列近似公式 (1) tan xx (x是角的弧度值) (2) ln(1x )x  (3)11x

1x并计算tan45 和ln1002的近似值

(1)已知当|x|较小时 f(x0x)f(x0)f (x0)x 取f(x)tan x x00 xx 则有

tan xtan(0x)tan 0sec20xsec20xx 

(2)已知当|x|较小时 f(x0x)f(x0)f (x0)x 取f(x)ln x  x01 xx 则有

ln(1x)ln1(ln x)|x1xx 

(3)已知当|x|较小时 f(x0x)f(x0)f (x0)x 取f(x)1 x01

xxx 则有

11(1)|x1x1x

1xx tan4545001309 ln(1002)ln(10002) 0002 10 计算下列各根式的的近似值 (1)3996 (2)665

解 (1)设f(x)nx 则当|x|较小时 有f(1x)f(1)f(1)x11x

n

39963100041031410(114)9.987

100031000

n (2)设f(x)nx 则当|x|较小时 有f(1x)f(1)f(1)x11x 于是

6656126112(111)2.0052 6

11 计算球体体积时 要求精确度在2%以内 问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？

解 球的体积为V1D3 dV1D2D 因为计算球体体积时

62要求精度在2%以内 所以其相对误差不超过2% 即要求

1D2DdV23D2%

1D3VD6D3

所以 D2%

也就是测量直径的相对误差不能超过2%

3 12 某厂生产如图所示的扇形板 半径R200mm 要求中心角为55 产品检验时 一般用测量弦长l 的办法来间接测量中心角 如果测量弦长l 时的误差101mm 问此而引起的中心角测量误差x是多少？

解 由lRsin得2arcsinl2arcsinl

222R400当55时 l2Rsin400sin2751847

2  |l|l211(l)4001l 2400 当l1847  l01时 2总 习 题 二

1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内

(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件 f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件

(2) f(x)在点x0的左导数f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件

(3) f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件 解 (1)充分 必要 (2) 充分必要 (3) 充分必要

2 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论

110.10.000(5弧度6)

4007)21(18.4400 设f(x)在xa的某个邻域内有定义 则f(x)在xa处可导的一个充分条件是( )

f(a2h)f(ah) (A)limh[f(a1)f(a)]存在 (B)h存在 lim0hh

hf(ah)f(ah)(C)h存在 lim02hf(a)f(ah) (D)h存在 lim0h 解 正确结论是D 提示

h0limf(a)f(ah)f(ah)f(a)f(ax)f(a)(xh). limlimh0x0hhx 3 设有一根细棒 取棒的一端作为原点 棒上任一点的做标x为 于是分布在区间[0 x]上细棒的质量m是x的函数mm(x)应怎样确定细棒在点x0处的线密度(对于均匀细棒来说 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度？ 解 mm(x0x)m(x0)

在区间[x0 x0x]上的平均线密度为 mm(x0x)m(x0)

xx于是 在点x0处的线密度为

mlimm(x0x)m(x0)m(x) lim0 x0x0xx 4 根据导数的定义 求f(x)1的导数 x 解

11x11ylimxxxlimlimx0x0x(xx)xx0(xx)xxx2

5 求下列函数f(x)的f(0)及f(0)又f (0)是否存在?

sinx x0 (1)f(x) ln(1x) x0 (2)

x x01 f(x)1ex0 x0x0

解 (1)因为f(0)limf(x)f(0)limsinx01

x0x0x

1f(x)f(0)ln(1x)0(0)limflimlimln(1x)xlne1

x0x0x0x0x

而且f(0)  f(0) 所以f (0)存在 且f (0)1

x01(2)因为f(0)limf(x)f(0)lim1exlim111

x0x0x0x0x01exx01f(x)f(0)x(0)limflim1elim110

x0x0x0x0x01ex

而f(0) f(0) 所以f (0)不存在

6 讨论函数

1 xxsin  0f(x) x0 x  0 在x0处的连续性与可导性

解 因为f(0)0 limf(x)limxsin10f(0) 所以f(x)在x0处x0x0x连续

10xsinf(x)f(0)xlimsin1lim因为极限limx0x0x0xxx不存在 所以f(x)在

x0处不可导

7 求下列函数的导数 (1) yarcsin(sin x)

(2)yarctan1x

1x(3)ylntanxcosxlntanx

2

(4)yln(ex1e2x) (5)yxx(x>0)  解(1)y (2)y11(sinx)cosxcosx

|cosx|1sin2x1sin2x 

(1x)(1x)111(1x)(1x)21x21(1x)21x1(1x)21x1x (3)y1x(tanx)sinxlntanxcosx1(tanx)

tan22tanx

1sec2x1sinxlntanxcosx1sec2xsinxlntaxn x22tanxtan2 

(4)y

2xx11(ex1e2x)(ex2e)eex1e2xex1e2x21e2x1e2xx1y1lnx1111x(1lnx) 1x(5)lnylnx y yx(lnx)xxx2x2x2x2x 8 求下列函数的二阶导数 (1)ycos2x ln x  (2)yx1x2

x 解 (1)y2cosxsinxlnxcos2x1sin2xlnxcos2x1

x y2cos2xlnxsin 2x12coxssinx1co2sx1xxx222sin2xco2sx 2cos2xlnxxx1x2xx231x2(2)y(1x)2 21x

3xy3(1x2)2(2x)2(1x2)55

9 求下列函数的n阶导数 (1)ym1x (2)y1x

1x 解 (1)y   

y(n)m11x(1x)m1

11123y1(1x)m y1(11)(1x)m y1(11)(12)(1x)m mmmmmmn1111m (1)(2)    (n1)(1x)mmmm1

(2)y1x12(1x)1

1x y2(1)(1x)2 y2(1)(2)(1x)3 y2(1)(2)(3)(1x)4   

10 设函数yy(x)由方程e yxye所确定 求y(0) 解 方程两边求导得

e yyyxy0 —— (1) 于是

yyxeyy(n)2(1)(2)(3)    (n)(1x)(n1)2(1)nn! (1x)n1



——(2)

yy(xey)y(1eyy) y()yxe(xey)2当x0时 由原方程得y(0)1 由(1)式得y(0)1 由(2)式得

e y(0)12e

dx 11 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dy及二阶

d2y导数2

dx

 



xacos3(1)3yasinxln1t2(2)yarctant 解

dy(asin3)3asin2cos(1)tan32dx(acos)3acos(sin)

2d2y(tan)sec1se4ccsc dx2(aco3s)3aco2ssin3a (2)

1dy(arctant)1t21 tdx[ln1t2]t1t22

12 解

1)1(22dy1ttt3tdx2[ln1t2]t21t

x2et求曲线tye在t=0相的点处的切线方程及法线方程



dy(et)ettt12tdx(2e)2e2edy1 x2 y1 dx2所求切线的方程为y11(x2) 即

2 当t0时

x2y40

所求法线的方程为y12(x2)

13 甲船以6km/h的速率向东行驶 乙船以8km/h的速率向南行驶 在中午十二点正 乙船位于甲船之北16km处 问下午一点正两船相离的速率为多少?

解 设从中午十二点开始 经过t小时 两船之间的距离为S 则有

S2(168t)2(6t)2 2SdS16(168t)72t

dtdS16(168t)72tdt2S

当t1时 S10 dS128722.8(km/h) dtt120

即下午一点正两船相离的速度为28km/h 

14 利用函数的微分代替函数的增量求31.02的近似值 解 设f(x)3x 则有f(1x)f(1)f(1)x1x 或

3f(1x)11x于是 3 31.02310.02110.021.007

3 15 已知单摆的振动周期T2lg 其中g980 cm/s2 l为摆

长(单位为cm) 设原摆长为20cm 为使周期T增大005s 摆长约需加长多少？ 解 因为TdT所以

L0.05gLgLL

L202.23(cm)

即摆长约需加长223cm

习题31

1 验证罗尔定理对函数yln sin x 在区间[, 5]上的正确性

66 解 因为yln sin x 在区间[, 5]上连续 在(, 5)内可导

66且y()y(5), 所以由罗尔定理知

6666至少存在一点(, 5)

66使得

y()cot 0

由y(x)cot x0得(, 5)

266 因此确有(, 5) 使y()cot 0

266 2 验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[0 1]上的正确性

解 因为y4x35x2x2在区间[0 1]上连续 在(0 1)内可导 由拉格朗日中值定理知 至少存在一点(0 1) 使

y()y(1)y(0)0 10

13(0, 1) 12使y()y(1)y(0)

10 由y(x)12x210x10得x5 因此确有513(0, 1) 12

2 3 对函数f(x)sin x及F(x)xcos x在区间[0, ]上验证柯西中值定理的正确性

解 因为f(x)sin x及F(x)x cos x在区间[0, ]上连续 在

2(0, )可导 2且F(x)1sin x在(0, )内不为0 所以由柯西中值定

2) 使得 理知至少存在一点(0, 2

f()f(0)f()2 F()F(0)F()2

)f(0)f( 令f(x)2 即cosx2

F(x)F()F(0)1sinx228化简得sixn821 易证011 2(2)4(2)48)内有解 即确实存在(0, ), 使得 在sixn1(0, (2)2422所以

f()f(0)f()2 F()F(0)F()2

4 试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间

证明 因为函数ypx2qxr在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b)内可导 由拉格朗日中值定理 至少存在一点(a b) 使得y(b)y(a)y()(ba) 即

(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba) 化间上式得

p(ba)(ba)2p (ba) 故ab

2 5 不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f (x)0有几个实根 并指出它们所在的区间

解 由于f(x)在[1 2]上连续 在(1 2)内可导 且f(1)f(2)0 所以由罗尔定理可知 存在1(1 2) 使f (1)0 同理存在

2(2 3) 使f (2)0 存在3(3 4) 使f (3)0 显然1、2、

3都是方程

f (x)0的根 注意到方程f (x)0是三次方程 它至多

能有三个实根 现已发现它的三个实根 故它们也就是方程f (x)0的全部根

6 证明恒等式 arcsinxarccosx(1x1)

2 证明 设f(x) arcsin xarccos x 因为

f(x)110 1x21x2

所以f (x)C 其中C是一常数

因此f(x)f(0)arcsinxarccosx 即arcsinxarccosx

22 7 若方程a0xna1xn1     an1x0有一个正根x0 证明方程 a0nxn1a1(n1)xn2     an1 0 必有一个小于x0的正根

证明 设F(x)a0xna1xn1     an1x 由于F(x)在[0 x0]上连续 在(0 x0)内可导 且F(0)F(x0)0 根据罗尔定理 至少存在一点(0 x0) 使F ()0 即方程 a0nxn1a1(n1)xn2     an1 0 必有一个小于x0的正根

8 若函数f(x)在(a b)内具有二阶导数 且f(x1)f(x2)f(x3) 其中ax1x2x3b 证明

在(x1 x3)内至少有一点 使得f ()0

证明 由于f(x)在[x1 x2]上连续 在(x1 x2)内可导 且f(x1)f(x2) 根据罗尔定理 至少存在一点1(x1 x2) 使f (1)0

同理存在一点2(x2 x3) 使f (2)0

又由于f (x)在[1 2]上连续 在(1 2)内可导 且f (1)f (2)0 根据罗尔定理 至少存在一点 (1 2)(x1 x3) 使f ( )0

9 设ab0 n1 证明 nbn1(ab)anbnnan1(ab) 

证明 设f(x)xn 则f(x)在[b a]上连续 在(b a)内可导 由拉格朗日中值定理 存在(b a) 使

f(a)f(b)f ()(ab) 即anbnn n1(ab) 因为 nbn1(ab)n n1(ab) nan1(ab) 所以 nbn1(ab)anbn nan1(ab)  10 设ab0 证明 ablnaab

abb 证明 设f(x)ln x 则f(x)在区间[b a]上连续 在区间(b a)内可导 由拉格朗日中值定理 存在(b a) 使

1(ab) f(a)f(b)f ()(ab) 即lnalnb

因为ba 所以

1(ab)lnalnb1(ab) 即ablnaab

ababb 11 证明下列不等式 (1)|arctan aarctan b||ab| (2)当x1时 exex 

证明 (1)设f(x)arctan x 则f(x)在[a b]上连续 在(a b)内可

导 由拉格朗日中值定理 存在(a b) 使 f(b)f(a)f ()(ba) 即arctanbarctana所以|arctanbarctana|1|ba||ba| 121(ba) 12

即|arctan aarctan b||ab|

(2)设f(x)ex 则f(x)在区间[1 x]上连续 在区间(1 x)内可导 由拉格朗日中值定理 存在(1 x) 使 f(x)f(1)f ()(x1) 即 ex ee (x1) 因为 1 所以

ex ee (x1)e(x1) 即exex 12 证明方程x5x10只有一个正根

证明 设f(x)x5x1 则f(x)是[0 )内的连续函数 因为f(0)1 f(1)1 f(0)f(1)0 所以函数在(0 1)内至少有一个零点 即x5x10至少有一个正根

假如方程至少有两个正根 则由罗尔定理 f (x)存在零点 但f (x)5x410 矛盾 这说明方程只能有一个正根

13 设f(x)、g(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导 证明在(a b)内有一点 使

f(a)f(b)f(a)f()(ba)g(a)g(b)g(a)g()f(x)g(x)



f(a) 解 设(x)g(a)则(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导

由拉格朗日中值定理 存在(a b) 使 (b)(a)()(ba) 即

[f(a)]f()f(a)f()f(a)f(b)f(a)f(a) (ba)g(a)g(b)g(a)g(a)[g(a)]g()g(a)g()

因此

f(a)f(b)f(a)f()(ba)g(a)g(b)g(a)g()

14 证明 若函数f(x)在( )内满足关系式f (x)f(x) 且f(0)1则f(x)ex 

证明 令(x)f(xx) 则在( )内有

ef(x)exf(x)e2f(x)exf(x)e2(x)0 2x2xee

所以在( )内(x)为常数 因此(x)(0)1 从而f(x)ex 

15 设函数yf(x)在x0的某邻域内具有n 阶导数 且f(0)f (0)    f (n1)(0)0 试用柯西中值定理证明

f(x)f(n)(x) n!xn(01)

证明 根据柯西中值定理

f(x)f(x)f(0)f(1)n1(1介于

x0xnn10与x之间)

0与1之间)

f(1)f(1)f(0)f(2)(2介于n1n1n1n2n1n1n0n(n1)2f(3)f(2)f(2)f(0)(3介于0与n2n2n3n(n1)2n(n1)2n(n1)0n2n(n1)(n2)32之间)

依次下去可得

f(n1)(n1)f(n1)(n1)f(n1)(0)f(n)(n)(n介于0与n(n1)   2n1n(n1)   2n1n(n1)   20n!n1之间)

所以

f(x)f(n)(n)

n!xn

由于n可以表示为n  x (01) 所以(01)

习题32

1 用洛必达法则求下列极限 (1)limln(1x)

x0f(x)f(n)(x)n!xn

xexex (2)limx0sinx(3)limsinxsina xaxa(4)limsin3x xtan5xxlnsinx (5)lim22(2x)

mmxalimnn (6)xaxa(7)limlntan7x x0lntan2xtanx (8)limx2tan3x

ln(11)x (9)xlimarccotx

ln(1x2)(10)lim x0secxcosxxcot2x (11)limx0 (12)

12x2limxex0

(13)lim(221) x1

x1x1(14)xlim(1a)x xxsinx (15)xlim0 (16)lim(1)tanx

x0x 解

1ln(1x)(1)limlim1xlim11 x0x01x01xxx

e (2)limx0

exlimexex2

x0cosxsinx(3)limsinxsinalimcosxcosa xaxa1xa3x3 (4)limsin3xlim3cosxtan5xx5sec25x5

2lnsinxcotx1cscx1limlim(5)lim 22(2x)(2)428(2x)xxx222mmm1m1xamxmx(6)xlimnnlimn1n1mamn axaxanxnna

1sec27x7lntan7xlimtan7x(7)xlim 0lntan2xx01sec22x2tan2x27tan2x7sec2x21 limlim22x0tan7x2x0sec7x7

tanxlim (8)limtan3xx2x2sec2x1limcos23xsec23x33xcos2x22co3sx(si3nx)3co3sx lim 1lim3x22coxs(sinx)x2coxs3si3nx3 limx2sinx

1(1)x2ln(11)112xlimxlim1x2(9)xlimarccotxxxxx121x

2xlim21 xlimx

12x22ln(1x2)cosxln(1x2)xlimlim(10)lim x0secxcosxx0x01cos2x1cos2x2xlimx1 limx02cosx(sinx)x0sinx(注 cosxln(1x2)~x2)

(11)limxcot2xlimxlimx0x0x0tan2x11 sec22x22

(12)

12x2limxex0tteelimlimlim x01ttt1x21ex2(注 当x0时 t12

x21lim1xlim11 (13)limx1x21x1x1x21x12x2xln(1)x (14)因为xlim(1a)xlimexxa

而

1(a)x2ln(1a)1axlimx limx(ln(1a)limxx1xx12xx limaxlimaa

xxxa1所以 

xllim(1a)xlimexxxn1(a)xea

xsinxlimesinxlnx (15)因为xlim0x0而 所以

1xlimsinxlnxlimlnxlim x0x0cscxx0csxccoxt2limsinx0 x0xcoxs

x0limxsinxlimesinxlnxe01

x0 (16)因为xlim(1)tanxetanxlnx 0x而 所以

1x limtanxlnxlimlnxlimx0x0cotxx0cs2cx2silimnx0 x0xlim(1)tanxlimetanxlnxe01 x0xx0

2 验证极限limxsinx存在 但不能用洛必达法则得出

xxxsinxlimx)1 极限limxsinx是存在的 解 lim(1sinxxxxxx(xsinx)lim1cosxlim(1cosx)不存在 不能用洛必达法则 但xlimxx(x)1 3

x2sin1x验证极限limx0sinx存在 但不能用洛必达法则得出

x2sin1x极限limx0sinx 解

x2sin1xlimxxsin1100 limx0sinxx0sinxx是存在的

(x2sin1)2xsin1cos1xlimxx但limx0(sinx)x0cosx不存在 不能用洛必达法则

4 讨论函数

1f(0)e21(1x)x1[]x x0在点f(x)e1x0e2 x0处的连续性

解 因为



x0limf(x)limx01e21e2f(0)

1(1x)x1limf(x)lim[]xx0x0elimx01[1ln1(x)1]exx

ln1(x)x1[1ln1而 lim (x)1]lim2x0x0xxx 所以

11lim1xlim11 x02xx02(1x)2lim

1(1x)x1limf(x)lim[]xx0x0ex01[1ln1(x)1]exx

1e2f(0)

因此f(x)在点x0处连续

习题33

1 按(x4)的幂展开多项式x45x3x23x4 解 设f(x)x45x3x23x4 因为 f(4)56

f (4)(4x315x22x3)|x421 f (4)(12x230x2)|x474 f (4)(24x30)|x466 f (4)(4)24 所以

f(4)f(4)f(4)(4)23f(x)f(4)f(4)(x4)(x4)(x4)(x4)4

2!3!4! 5621(x4)37(x4)211(x4)3(x4)4 2 应用麦克劳林公式 按x幂展开函数f(x)(x23x1)3 解 因为

f (x)3(x23x1)2(2x3) f

(x)6(x23x1)(2x3)26(x23x1)230(x23x1)(x23x2) f

(x)30(2x3)(x23x2)30(x23x1)(2x3)30(2x3)(2x26x3) f (4)(x)60(2x26x3)30(2x3)(4x6)360(x23x2)

f (5)(x)360(2x3) f (6)(x)720

f(0)1 f (0)9 f (0)60 f (0)270 f (4)(0)720 f (5)(0)1080 f (6)(0)720 所以

f(0)2f(0)3f(4)(0)4f(5)(0)5f(6)(0)6f(x)f(0)f(0)xxxxxx

2!3!4!5!6! 19x30x345x330x49x5x6 3 求函数f(x)3阶泰勒公式 解 因为 f(4)42 所以

f(4)3x285f(4)1x221x按(x4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的

1x44

f(4)1x2473x41 32

3 f(4)(x)15x2 x416832f(4)f(4)f(4)()23xf(4)f(4)(x4)(x4)(x4)(x4)4

2!3!4!

1521(x4)1(x4)21(x4)31(x4)4(01)

45124!16[4(x4)]7

4 求函数f(x)ln x按(x2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式 解 因为

f (x)x1 f (x)(1)x2 f (x)(1)(2)x3     

f(n)(1)n1(n1)!(x)(1)(2)    (n1)x

xnn

所以

f(k)(1)k1(k1)!(k1 2    n1) (2)2kf(2)f(2)f(n)(2)23lnxf(2)f(2)(x2)(x2)(x2)    (x2)no[(x2)n]

2!3!n!(1)n111123 ln2(x2)2(x2)3(x2)    (x2)no[(x2)n] n22232n2 5 求函数f(x)1按(x1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的

x

n阶泰勒公式 解 因为

f(x)x1 f (x)(1)x2 f (x)(1)(2)x3      所以

f(n)(x)(1)(2)    (n)x(n1)(1)nn!n1 x

f(k)(1)kk!(1)k!(k1 2    n)

(1)k11f(1)f(1)(x1)f(1)(x1)2f(1)(x1)3    x2!3!

f(n)(1)f(n1)()n(x1)(x1)n1

n!(n1)!23n(1)n1[1(x1)(x1)(x1)    (x1)](x1)n1 n2[1(x1)](01)

6 求函数f(x)tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式 解 因为 f (x)sec2x

f (x)2sec xsec xtan x2sec2xtan x

f (x)4sec xsec xtan2x2sec4x4sec2xtan2x2sec4x f

(4)

(x)8sec2xtan3x8sec4xtan x8sec4xtan

8sinx(sin2x2)x

cos5x f(0)0 f (0)1 f (0)0 f (0)2 所以

x()[s2i(nx)2]413sintaxnxxx(01) 33co5s(x)

7 求函数f(x)xex 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式 解 因为 f (x)exxex

f (x)exexxex2exxex f (x)2exexxex3exxex    f (n)(x)nexxex; f (k)(0)k (k1 2    n) 所以 8

f(0)2f(0)3f(n)(0)nxef(0)f(0)xxx    xo(xn)

2!3!n!1x3    1xno(xn) xx22 !(n1)!x验证当0x1时

223xx按公式e1x26x计算ex的近似值时

所产生的误差小于001 并求e的近似值 使误差小于001 解 因为公式ex1xx其余项为

eR3(x)x4 4!x2623右端为ex的三阶麦克劳林公式

计算ex的误差

x2x31xe1x所以当0x时，按公式

262 |R3(x)||x4|4!e132(1)40.00450.01 4!2

1ee2111(1)21(1)31.5 22262 9 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值 并估计误差 (1)330 (2)sin18

解 (1)设f(x)3x 则f(x)在x027点展开成三阶泰勒公式为

f(x)x271273(x27)1(2273)(x27)2

32!9331(10273)(x27)31(803)(x27)4(介于3!274!8181125 间) 于是

327与x之

3027127331(2273)321(10273)33

32!93!273258 3(11 4 15)3.10723610333其误差为

(2) 已知 所以

sin4sinxx1x3x(介于0与x之间)

3!4!sin 18sin1()30.3090

10103!10|R3(30)||1(803)34|18027334801.88105 114!814!814!31111

其误差为

sinsin46()42.03104 |R3()||()|104!104!10

10 利用泰勒公式求下列极限

(3x33x24x42x3) (1)xlim (2)lim

xcosxe22x0x2[xln(1x)]

31311x21x2(3)lim2x2 x0(cosxe)sinx2 解 (1)xlim(3x33x24x42x3)limx2412xxlim313t412tt01tx

因为313t1to(t)412t11to(t) 所以

[1to(t)][11to(t)]o(t)32lim(3x33x24x42x3)limlim[3] xt0t02tt2

(2)limx0xcosxe22x2[xln(1x)][11x21x4o(x4)][11x211x4o(x4)]2!4!22!4 limx0x31[1ln(1x)x]

o(x4)1x3x00 lim1211x01e1ln1(x)x

11x2[11x23x4o(x4)]11x21x222!4!2(3)lim lim2x0(cosxex)sinx2x01214421442[(1xxo(x))(1xxo(x))]x2!4!2!3o(x4)3x4o(x4)34!x44!4!1 limlim4x034116x0311122o(x)3xxx2o(x4)x2242224x2

习题34

1 判定函数f(x)arctan xx 单调性

解 因为f(x)121120 且仅当x0时等号成立 所以

1x1xf(x)在( )内单调减少

2 判定函数f(x)xcos x (0x2)的单调性

解 因为f (x)1sin x0 所以f(x)xcos x在[0 2]上单调增加

3 确定下列函数的单调区间 (1) y2x36x218x7 (2)y2x8(x0)

x(3)y3102

4x9x6x

(4)yln(x1x2) (5) y(x1)(x1)3 (6)y3(2xa)(ax)2(a0) (7) yxnex (n0 x0) (8)yx|sin 2x|

解 (1) y6x212x186(x3)(x1)0 令y0得驻点x11 x23 列表得

可见函数)内单调增单调减少 (2)

2(x2)(x2)y2820令

xx2x y y ( 1)  ↗ 1 0 (1 3)  ↘ 3 (3 )  ↗ 在( 1]和[3 加 在[1 3]内

0 y0得驻点x12 x22(舍去)

因为当x2时 y0 当0x2时 y0 所以函数在(0 2]内单调减少 在[2 )内单调增加

(2x1)(x1) (3)y60 令y0得驻点x11 x21 不可导点为322(4x9x6x)2x0 列表得

x y y  ↘ ( 0) 0 不存在 ↘ 0 ↗ ↘ 在[1, 1]上单调

2(0 1) 21 2(1 21)  1 0 (1 )   0 可见函数在( 0) 增加 (4)因为y内单调增加

(0, 1] [1 )内单调减少 21(12x)10 x1x221x21x2所以函数在( )

(5) y(x1)33(x1)(x1)24(x1)(x1)2 因为当x1时 y0

22当x1时 y0 所以函数在(, 1]内单调减少 在[1, )内单调

222增加

(x2a)3(6)y3 23(2xa)(ax)驻点为x12a 不可导点为x2a x3a 

32 列表得

ax (, 2) a 2(a, 2a) 2a (2a, a) 3323a (a ) y y

可见函数在(, a) (a, 2a] (a )内单调增加 在[2a, a)内单

2233+ ↗ 不存在 + ↗ 0 不存 ↘ 在  ↗ 调减少

(7)yexxn1(nx) 驻点为xn 因为当0xn时 y0 当xn时 y0 所以函数在[0 n]上单调增加 在[n )内单调减少

xsin2x kxk2(8)yxsin2x kxk2(k0 1 2   )

12cos2x kxk2y12cos2x kxk2(k0 1 2   )

x256y是以为周期的函数 在[0 ]内令y0 得驻点x1

2

不可导点为x3

2 列表得

x y y ↗ (0, )  33(, )32 2  ↘ (, 5) 5626 (5, ) 6+ 0 不存在  ↗ 0  ↘ 根据函数在[0 ]上的单调性及y在( )的周期性可知函数

在[k, k]上单调增加 在[k, k]上单调减少(k0 1 2

2232322  )

4 证明下列不等式 (1)当x0时 11x1x

2 (2)当x0时 1xln(x1x2)1x2 (3)当0x时 sin xtan x2x

22 (4)当0x时 tanxx1x3

3 (5)当x4时 2xx2

证明 (1)设f(x)11x1x 则f (x)在[0 )内是连续的 因

2为

f(x)111x10

221x21x

所以f (x)在(0 )内是单调增加的 从而当x0时f (x)f (0)0 即

11x1x0 也就是

211x1x 2 (2)设f(x)1xln(x1x2)1x2 则f (x)在[0 )内是连续的 因为

f(x)lnx(1x2)x1(1x)xlnx(1x2)0 x1x21x21x2

所以f (x)在(0 )内是单调增加的 从而当x0时f(x)f(0)0 即 1xlnx(1x2)1x20 也就是 1xlnx(1x2)1x2

(3)设f(x)sin xtan x2x 则f(x)在[0, )内连续

2 f (x)cos xsec

22

(cosx1)[(cos2x1)cosx]x2

cos2x

因为在(0, )内cos x10 cos2x10 cos x0 所以f (x)0 从而f(x)在(0, )内单调增加 因此当0x时 f(x)f(0)0 即

22 sin xtan x2x0 也就是 sin xtan x2x

(4)设f(x)tanxx1x3 则f(x)在[0, )内连续

32 f(x)se2cx1x2ta2nxx2(taxnx)(txanx)

因为当0x时 tan xx tan xx0 所以f (x)在(0, )内单调

22增加 因此当0x时 f(x)f(0)0 即

2 taxnx1x30 也就是

3taxnx1x2

3

(5)设f(x)x ln22ln x 则f (x)在[4 )内连续 因为 f(x)ln22ln42lne20

x2x24所以当x4时 f (x)0 即f(x)内单调增加

因此当x4时 f(x)f(4)0 即x ln22ln x0 也就是2xx2 5 讨论方程ln xax (其中a0)有几个实根？

解 设f(x)ln xax 则f(x)在(0 )内连续 f(x)1a1ax

xx驻点为x1

a 因为当0x1时 f (x)0 所以f(x)在(0, 1)内单调增加 当

aax1时 f (x)0 a所以f(x)在(1, )内单调减少 又因为当x0及

aaaex时 f(x) 所以如果f(1)ln110 即a1 则方程有且

仅有两个实根 如果f(1)ln110 即a1 则方程没有实根 如果f(1)ln110

aaa即a1

eae则方程仅有一个实根

6 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子

f(x)xsin x 

解 单调函数的导函数不一定为单调函数

例如f(x)xsin x在()内是单调增加的 但其导数不是单调函数 事实上 f (x)1cos x0

这就明f(x)在( )内是单调增加的 f (x)sin x在( )内不保持确定的符号 故f (x)在( )内不是单调的

7 判定下列曲线的凹凸性 (1) y4xx2  (2) ysh x (3)y11(x0)

x (4) yx arctan x  解 (1)y42x y2

因为y0 所以曲线在( )内是凸的 (2)ych x ysh x 令y0 得x0

因为当x0时 ysh x0 当x0时 ysh x0 所以曲线在( 0]内是凸的 在[0 )内是凹的

(3)y12 y23

xx 因为当x0时 y0 所以曲线在(0 )内是凹的 (4)yarctanxx2y1x2 (1x2)2

因为在( )内 y0 所以曲线yxarctg x在( )内是凹的

8 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 (1)yx35x23x5  (2) yxex  (3) y(x1)4ex  (4) yln(x21) (5) yearctan x  (6) yx4(12ln x7)

解 (1)y3x210x3 y6x10 令y0 得x5

3 因为当x5时 y0 当x5时 y0 所以曲线在(, 5]内是

333凸的 在[5, )内是凹的 拐点为(5, 20)

3327 (2)yexxex yexexxexex(x2) 令y0 得x2 因为当x2时 y0 当x2时 y0 所以曲线在( 2]内是凸的 在[2 )内是凹的 拐点为(2 2e2) (3)y4(x1)3ex y12(x1)2ex 

因为在( )内 y0 所以曲线y(x1)4ex的在( )内是凹的 无拐点

x (4)y22x1y2(x21)2x2x2(x1)(x1) 2222(x1)(x1)令y0 得x11

x21 列表得

可见曲和[1 )内[1 1]内是为(1 ln2)和(1 ln2)

arctanxe1arctanx(12x) 令y0得 x1 (5)yey221x21x因为当x1时 y0 当x1时 y<0 所以曲线yearctg x

22x y ( 1)  1 (1 1)  1 (1 ) 0 ln2 0 ln2  y  拐点  拐点  线在( 1]是凸的 在凹的 拐点

在

(, 1]内是凹的

2在[1, )内是凸的 2arctan拐点是(1, e2)

21 (6) y4x3(12ln x7)12x3 y144x2ln x 令y0 得x1 因为当0x1时 y0 当x1时 y0 所以曲线在(0 1]内是凸的 在[1 )内是凹的 拐点为(1 7) 9 利用函数图形的凹凸性 证明下列不等式

(1)

1(xnyn)(xy)n(x0 y0 xy n1) 22xy2(xy)

xyee(2)e2

2 (3)xlnxylny(xy)lnxy (x0 y0 xy)

证明 (1)设f(t)tn 则f (t)ntn1 f (t)n(n1)t n2 因为当t0时 f (t)0 所以曲线f(t)t n在区间(0 )内是凹的 由定义 对任意的x0 y0 xy有 即

1[f(x)f(y)]f(xy) 221(xnyn)(xy)n 22

(2)设f(t)et 则f (t)et f (t)et  因为f (t)0 所以曲线f(t)et在( )内是凹的 由定义 对任意的x y( ) xy有 即

1[f(x)f(y)]f(xy) 22

exeye2xy2(xy)

t (3)设f(t)t ln t  则 f (t)ln t1 f(t)1

因为当t0时 f (t)0 所以函数f(t)t ln t 的图形在(0 )内是凹的 由定义 对任意的x0 y0 xy 有 即

1[f(x)f(y)]f(xy)

22xyxlnxylny(xy)ln

2x1x21 10 试证明曲线y 证

明

有三个拐点位于同一直线上

1yx22x2(x1)2

322x6x6x22(x1)[x(23)][x(23)] y(x21)3(x21)3

令y0 得x11 例表得 x y y  1  ( (1, 23) x223 x323

1) 1  0 23 (23, 23) (23, )23   0  0 13 4(23) 13 4(23) 可见拐点为(1 1) (23, 13) (23, 13) 因为

4(23)4(23)13(1)13(1)4(23)4(23)1 1 4423(1)23(1)

所以这三个拐点在一条直线上

11 问a、b为何值时 点(1 3)为曲线yax3bx2的拐点？ 解 y3ax22bx y6ax2b 要使(1 3)成为曲线yax3bx2的拐点 必须y(1)3且y(1)0 即ab3且6a 2b0 解此方程组得a3

2b9

2 12 试决定曲线yax3bx2cxd 中的a、b、c、d 使得x2处曲线有水平切线 (1 10)为拐点 且点(2 44)在曲线上 解 y3ax22bxc y6ax2b  依条件有

y(2)44y(1)10y(2)0 y(1)08a4b2cd44即abcd10 12a4bc06a2b0

解之得a1 b3 c24 d16

13 试决定yk(x23)2中k的值 使曲线的拐点处的法线通过原点

解y4kx312kx y12k(x1)(x1) 令y0 得x11 x21 因为在x11的两侧y是异号的 又当x1时y4k 所以点(1 4k)是拐点

因为y(1)8k 所以过拐点(1 4k)的法线方程为

y4k1(x1)

8k要使法线过原点 则(0 0)应满足法线方程 即

2 4k1 k88k 同理 因为在x11的两侧y是异号的 又当x1时y4k 所以点(1 4k)也是拐点

因为y(1)8k 所以过拐点(1 4k)的法线方程为

y4k1(x1)

8k要使法线过原点 则(0 0)应满足法线方程 即

2 4k1 k88k 因此当k2时

8该曲线的拐点处的法线通过原点

14 设yf(x)在xx0的某邻域内具有三阶连续导数 如果f (x 0)0 而f (x0)0 试问 (x0 f(x0))是否为拐点？为什么？ 解 不妨设f (x0)0 由f (x)的连续性 存在x0的某一邻域(x0 x0) 在此邻域内有f (x)0 由拉格朗日中值定理 有 f (x)f (x0)f ()(xx0) (介于x0与x之间)

即 f (x)f ()(xx0)

因为当x0xx0时 f (x)0 当x0xx0 时 f (x)0 所以(x0 f(x0))是拐点 习题35

1 求函数的极值 (1) y2x36x218x7 (2) yxln(1x)   (3) yx42x2  (4)yx (5)y

1x

13x45x2

3x24x4(6)y2

xx1 (7) yex cos x  (8) (9)

1yxx



1y32(x1)3 (10) yxtan x  解

(1)

函

数

的

定

义

为

(

)

y6x212x186(x22x3)6(x3)(x1) 驻点为x11 x23

列表

x y  ( 1) 1 (1 3)  3 (3 ) 0 47极小值  0 17极大值 y ↗ ↘ ↗ 可见函数在x1处取得极大值17 在x3处取得极小值47

(2)函数的定义为(1 )

y11x1x1x 驻点为x0 因为当

1x0时 y0 当x0时 y0 所以函数在x0处取得极小值 极小值为y(0)0

(3)函数的定义为( )

y4x34x4x(x21) y12x24 令y0 得x10 x21 x31

因为y(0)40 y(1)80 y(1)80 所以y(0)0是函数的极小值 y(1)1和y(1)1是函数的极大值 (4)函数的定义域为( 1]

y1121x21x121x434x21x(21x1)

令y0 得驻点x3

因为当x3时 y>0 当3x1时 y<0 所以y(1)5为函数的极

444大值

(5)函数的定义为( )

5(xy12)5(45x2)3 驻点为x12

5

因为当x12时 y0 当x12时 y0 所以函数在x12处取得

5

5

5

极大值 极大值为y(12)5205 10

yx(x2)(xx1)22 (6)函数的定义为( ) 列表

x y  ( 2) 2  驻点为x10 x22

(2 0)  0 (0 ) 0 8极小30 极大值 3 y ↘ ↗ ↘ 值 可见函数在x2处取得极小值8 在x0处取得极大值4 (7)函数的定义域为( ) ye x(cos xsin x ) ye xsin x 令y0 得驻点x2k

4x2(k1)4 (k0 1 2 )

22 因为y(42k)0 所以y(42k)e42k是函数的极大值

2(k1) 因为y[小值 (8)函数

42(k1)]0 所以y[42(k1)]e422是函数的极

1yxx的定义域为(0 )

1yxx1x2(1lnx)

令y0 得驻点xe 

因为当x0 当x>e时 y<0 所以的极大值

(9)函数的定义域为( ) 函数在( )是单调 减少的 无极值

(10)函数yxtg x 的定义域为x k(k0 1 2 )

2y213(x1)2/31y(e)ee为函数f(x)

 因为y0 所以

因为y1sec 2x >0 所以函数f(x)无极值

2 试证明 如果函数yax3bx2cx d 满足条件b2 3ac<0 那么这函数没有极值 

证明y3a x22b xc 由b2 3ac<0 知a0 于是配方得到 y3a x

2

2bcb23acb222b xc3a(xx)3a(x)3a3a3a3a2

因3acb20 所以当a0时 y0 当a0时 y0 因此yax3bx2cx d是单调函数 没有极值  3 试问a为何值时 函数

1f(x)asinxsin3x在x33处取得极

值？它是极大值还是极小值？并求此极值 解 f (x)acos xcos 3x f (x)asin x3 sin x

要使函数f(x)在x处取得极值 必有f()0 即a110

332a2 

当a2时

3f()20 32因此 当a2时 函数f (x)在x处

33)3 2取得极值 而且取得极大值 极大值为f( 4 求下列函数的最大值、最小值 (1) y=2x33x2  1x4 (2) yx48x22 1x3  (3)yx1x 5x1

解 (1)y6x26x6x(x1) 令y0 得x10 x21 计算函数值得

y(1)5 y(0)0 y(1)1 y(4)80

经比较得出函数的最小值为y(1)5 最大值为y(4)80 (2)y4x316x4x(x24) 令y0 得x10 x22(舍去) x 32 计算函数值得

y(1)5 y(0)2 y(2)14 y(3)11

经比较得出函数的最小值为y(2)14 最大值为y(3)11 (3)y1

121x 令y0 得x3 计算函数值得

435y(5)56 y() y(1)

44经比较得出函数的最小值为y(5)56

最大值为y(3)5

44 5 问函数y2x36x218x7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值

解 y6x212x186(x3)(x1) 函数f(x)在1x4内的驻点为x3 比较函数值

f(1)29 f(3)61 f(4)47

函数f(x)在x1处取得最大值 最大值为f (1)29 6 问函数yx2(x0)在何处取得最小值？

x 解

y2xy22x108x3 在( 0)的驻点为x3 因为 

y(3)21080 27

所以函数在x3处取得极小值 又因为驻点只有一个 所以这个极小值也就是最小值 即函数在x3处取得最小值 最小值为y(3)27 7 问函数y 解

y1x2(x1)22xx12(x0)在何处取得最大值？

 函数在(0 )内的驻点为x1

因为当00 当x>1时y<0 所以函数在x1处取得极大值 又因为函数在

(0 )内只有一个驻点 所以此极大值也是函数的最大值 即函数在x1处取得最大值 最大值为f (1)1

2 8 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋 现有存砖只够砌20cm长的墙壁 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

解 设宽为x长为y 则2xy20 y202x 于是面积为 S xyx(202x)20x2x2 S 204x4(10x) S 4 令S 0 得唯一驻点x10

因为S (10)40 所以x10为极大值点 从而也是最大值

点

当宽为5米 长为10米时这间小屋面积最大

9 要造一圆柱形油罐 体积为V 问底半径r和高h等于多少时 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 解 由Vr2h 得hV1r2 于是油罐表面积为 S2r22rh2r22V(0x)

r

S4r2Vr2

V2 令S 0 得驻点r3

V2 因为S44V0 所以S在驻点r33r处取得极小值 也就是

最小值 这时相应的高为h1

V r022r 底直径与高的比为2r  h1 

10 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图) 截面的面积为5m2 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小 从而使建造时所用的材料最省？

解 设矩形高为h  截面的周长S 则xh1(x)25

225hxx8

于是

Sx2h40x10xx(0x24x)

10S12

4x

404 令S 0 得唯一驻点x

因为S200 所以x3x404为极小值点 同时也是最小值点

因此底宽为x404时所用的材料最省

11 设有重量为5kg的物体 置于水平面上 受力F的作用而开始移动(如图) 设摩擦系数025 问力F与水平线的交角为多少时 才可使力F的大小为最小？ 解 由F cos  (mFsin ) 得

Fm(0 cossin2m(sincos) F(cossin)2)

驻点为   arctan 

因为F 的最小值一定在(0, )内取得 而F 在(0, )内只有一

22个驻点  arctan 

所以arctan 一定也是F 的最小值点 从而当

arctan02514时 力F 最小

12 有一杠杆 支点在它的一端 在距支点01m处挂一重量为49kg的物体 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平

(如图) 如果杠杆的线密度为5kg/m 求最省力的杆长? 解 设杆长为x (m) 加于杠杆一端的力为F 则有

1xFx5x490.1 2即F5x4.9(x0)

2x.9F2 2x

驻点为x14 由问题的实际意义知 F的最小值一定在(0 )内取得 而F在(0 )内只有一个驻点x14 所以F 一定在x14m处取得最小值 即最省力的杆长为14m 13 从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图) 问留下的扇形的中心角取多大时 做成的漏斗的容积最大？

解 漏斗的底周长l、底半径r、高h 分别为 lRrR

2hR2r2R4222

漏斗的容积为

R3212Vhr3242422 (0<<2)

63VR3242(8232)422，驻点为2

由问题的实际意义 V 一定在(0 2)内取得最大值 而V 在(0 2)内只有一个驻点 所以该驻点一定也是最大值点 因此当

2

63时 漏斗的容积最大

14 某吊车的车身高为15m 吊臂长15m 现在要把一个6m宽、2m高的屋架 水平地吊到6m高的柱子上去(如图) 问能否吊得上去？

解 设吊臂对地面的倾角为时 屋架能够吊到的最大高度为h 在直角三角形EDG中 15sin (h1 5)23tan  故

h15sin3tanh15cos3co2s1 2



5

令h0得唯一驻点arccos31cos

 因为h15sin6sin0 所以为极大值点 同时这也是3最大值点 当时

1h15sin3tan7.5m

2

所以把此屋最高能水平地吊至7 5m高 现只要求水平地吊到6m处 当然能吊上去

15 一房地产公司有50套公寓要出租 当月租金定为1000元时 公寓会全部租出去 当月租金每增加50元时 就会多一套公寓租不出去 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费 试问房租定为多少可获最大收入？ 解 房租定为x元 纯收入为R元

当x1000时 R50x5010050x5000 且当x1000时 得

最大纯收入45000元 当x1000时

111R[50(x1000)]x[50(x1000)]100x272x70005550R1x72 25

25 令R0得(1000 )内唯一驻点x1800 因为R10 所以1800为极大值点 同时也是最大值点 最大值为R57800 因此 房租定为1800元可获最大收入

习题3-6

描绘下列函数的图形 1 y1(x46x28x7)

5 解 (1)定义域为( )

(2)y1(4x312x8)4(x2)(x1)2

512 y(3x23)(x1)(x1)

55令y0 得x2 x1 令y0 得x1 x1 (3)列表 x y ( 2)  2 0 (2 1)  1  (1 1)  1 0 (1 )  y yf(x)  ↘  17 5极小值  ↗ 0 6 5拐点  ↗ 0 2 拐点  ↗ (4)作图 2

yx1x2

解 (1)定义域为( )

(2)奇函数 图形关于原点对称 故可选讨论x0时函数的图形

x1) (3)y(x1)( 22(1x)y2x(x3)(x3)(1x)23

x3

当x0时 令y0 得x1 令y0 得x0 (4)列表 x y y yf(x) 0  0 0 拐点 (0 1)   ↗ 12

(3 )   ↘ 1 0  极大值 (1   3) 3  0 34↘ 拐点 (5)有水平渐近线y0 (6)作图

3

ye(x1)2

22)][x(1)] 22 解 (1)定义域为( ) (2)y2(x1)e(x1)2y4e(x1)[x(12

令y0 得x1 令y0 得x1 (3)列表 x y y yf(x) (, 12) 212222

x122

(12, 1) 21 0  1 极大值 (1, 122) 122 (12, ) 2  ↗  0 拐点 e12  ↗   ↘  0 拐点 e12  ↘ (4)有水平渐近线y0 (5)作图 4

yx21 x

解 (1)定义域为( 0)(0 ) (2)y2x1x22x31x2

y22x32(x31)x3

令y0 得x31 令y0 得x1

2

(3)列表 x y y yf(x) ( 1)   ↘ 1  0 0 拐点 (1 0) 0   ↘ 无 无 无 (0, 132) 132 (132, )   ↘ 0  332 2  ↗ 极小值 (4)有铅直渐近线x0 (5)作图 5

ycosx cos2x

24 解 (1)定义域为xn(n0 1 2 )

(2)是偶函数 周期为2  可先作[0 ]上的图形 再根据对称性作出[ 0)内的图形 最后根据周期性作出[ ]以外的图形 (3)ysinx(32sin2x)cos2x2

ycosx(312sin2x4sin4x)cos2x3

2在[0 ]上 令y0 得x0 x  令y0 得x (4)列表 x y y 0 0  (0, ) 44 (, ) 422 3(, ) 2434 (3, ) 4 0  1 极大  无 无    0 0 拐  ↗ 无 无 无   ↗ 1 yf(x) 极小↗ 无 ↗ 值 44点 值 (5)有铅直渐近线x及x3 习题37

1 求椭圆4x2+y2=4在点(0 2)处的曲率 解 两边对x求导数得 8x2yy0

y4xy

y4y4xyy2

y|(0 2)0 y|(0 2)2 所求曲率为

K|y||2|2 23/223/2(1y)(10)

2 求曲线y=lnsec x在点(x y)处的曲率及曲率半径 解

y1secxtanxtanx ysec2x secx

所求曲率为

|y||se2cx|K|coxs| 23/223/2(1y)(1tanx)

曲率半径为

3 求抛物线y=x24x+3在其顶点处的曲率及曲率半径 解 y2x4 y2

令y0 得顶点的横坐标为x2 y|x20 y|x22

11|sexc| K|coxs|

所求曲率为

K|y||2|2

(1y2)3/2(102)3/2

曲率半径为

11 K2

4 求曲线xa cos3t ya sin 3t在tt0处的曲率 解

(asin3t)(tanx)1 yytant(acos3x)3asintcos4t(acos3x)

所求曲率为

|4|y|123asitncost| K|23/223/23nt|(1y)(1tant)3asitncost3|asi2Ktt0|1

2

3|asi2nt0|

5 对数曲线yln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径 解

y

1

 y12xx

|1|2|y|xxK(1y2)3/2(11)3/2(1x2)3/2x2

3(1x2)2x

133(1x2)22xx(1x2)21x2(2x21)2 x2x222

令0 得x 因为当0x22

2222时0 当x时 0 所以x时yln2222是的极小

值点 同时也最小值点 当x(因此在曲线上点

2233, ln)处曲率半径最小最小曲率半径为222

y2x6 证明曲线yach在点(xy)处的曲率半径为

aa解 yshx y1chx

aaa

在点(xy)处的曲率半径为 7

(1y)|y|23/2xx(1sh2)3/2(ch2)3/2y22xaaach1x1xaa|ch||ch|aaaa

x2一飞机沿抛物线路径y(y

10000轴铅直向上单位为m)作

俯冲飞行在坐标原点O处飞机的速度为v200m/s飞行员体重G70Kg求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力 解

y2xx y1 y|x00 y|x01 10000500050005000

(1y2)3/2(102)3/2|x0500 0 1|y|5000702002560(牛顿) 向心力F5000mV2 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79985601246(牛顿) 8

解 如图取直角坐标系 设抛物线拱桥方程为yax2 由于抛物线过点(5 025) 代入方程得

a0.250.01 25

于是抛物线方程为y0 01x2 y002x y002

(1y2)3/2(102)3/2|x050

|y|0.02

21.61032510()mV23600向心力为F3600(牛顿) 503 因为汽车重为5吨 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5103983600400(牛顿)

*9求曲线yln x在与x轴交点处的曲率圆方程 *10 求曲线ytan x在点(, 1)处的曲率圆方程

4

*11 求抛物线y22px的渐屈线方程 总习题三 1. 填空: 设常数k0, 函数________. 解 应填写2. 提示:

111f(x), f(x)2xexxf(x)lnxke在(0, )内零点的个数为

.

在(0, )内, 令f (x)0, 得唯一驻点xe .

因为f (x)0, 所以曲线f(x)lnxxk在(0, )内是凸的, 且驻

e点xe一定是最大值点, 最大值为f(e)k0.

f(x), 又因为xlim0xlimf(x), 所以曲线经过x轴两次, 即零

点的个数为2.

2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在[0, 1]上f (x)0, 则f (0), f (1), f(1)f(0)或f(0)f(1)几个数的大小顺序为( ).

(A)f (1)f (0)f(1)f(0); (B)f (1)f(1)f(0)f (0);

(C)f(1)f(0)f (1)f (0); (D)f (1)f(0)f(1)f (0). 解 选择B .

提示: 因为f (x)0, 所以f (x)在[0, 1]上单调增加, 从而f (1)f (x)f (0).

又由拉格朗日中值定理, 有f(1)f(0)f (), [0, 1], 所以 f (1) f(1)f(0)f (0).

3. 列举一个函数f(x)满足: f(x)在ab上连续在(ab)内除某一点外处处可导但在(ab)内不存在点 使f(b)f(a)f ()(ba). 解 取f(x)|x|, x[1, 1].

易知f(x)在[1, 1]上连续, 且当x0时f (x)1; 当x0时, f (x)1; f (0)不存在, 即f(x)在[1, 1]上除x0外处处可导. 注意f(1)f(1)0, 所以要使f(1)f(1)f ()(1(1))成立, 即f ()0, 是不可能的.

因此在(1, 1)内不存在点 使f(1)f(1)f ()(1(1)).

f(x)k, 求lim[f(xa)f(x)]. 4. 设xlimx 解 根据拉格朗日中值公式, f(xa)f (x)f ( )a,  介于xa 与x之间.

当x 时,   , 于是

xlim[f(xa)f(x)]limf()aalimf()ak.

x

5. 证明多项式f (x)x33xa在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 f (x)3x233(x21), 因为当x(0, 1)时, f (x)<0, 所以f (x)在[0, 1]上单调减少. 因此, f(x) 在[0, 1]上至多有一个零点.

6. 设a0a1    2an0, n1证明多项式f(x)a0a1xanxn在(0,1)

内至少有一个零点.

证明 设F(x)a0xa1x2an2n1xn1,

则F(x)在[0, 1]上连续, 在(0,

1)内可导, 且

F(0)F(1)0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点 , 使F( )0. 而F (x)f(x), 所以f(x)在(0, 1)内至少有一个零点.

7. 设f(x)在[0, a]上连续, 在(0, a)内可导, 且f(a)0, 证明存在一点(0, a), 使

f()f ()0.

证明 设F(x)xf(x), 则F(x)在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F(0)F(a)0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点 , 使F( )0. 而F(x)f(x)x f (x), 所以f()f ()0.

8. 设0a 证明 对于f(x)和ln x在[a, b]上用柯西中值定理, 有 即

f(b)f(a)f(), (a, b), 1lnblna

f(a)f(b)f()lnb, (a, b). a 9. 设f(x)、g(x)都是可导函数, 且|f (x)|a时, |f(x)f(a)|证明 由条件|f (x)|a时,

f()1, g()且有g(x)>0, g(x)是

g(x)>g(a).

因为f (x)、g (x)都是可导函数, 所以f (x)、g (x) 在[a, x]上连续, 在(a, x)内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点(a, x), 使

f(x)f(a)f().

g(x)g(a)g()

因此,

|f(x)f(a)|f()1, |f (x)f (a)|g(x)g(a)g() 10. 求下列极限:

xxx(1)lim; x11xlnx11[]; (2)limx0ln(1x)xx (3) (4)

2lim(arctanx)x.



)/n]nx(其中

1lim[(a1xx1a2x1    anxa1a2  , an>0)

解 (1) (xx)(ex l n x )e x l n x (ln x1)xx (ln x1).

(xxx)1xx(lxn1)xxx1(lxn1)xxxlimlimlimlim x11xlnxx1(1xlnx)x1x111x1x11xx1(lxn1)(lxn1)xxxlim2. x11

111x (2)lim[x0

xln(1x)[xln(1x)]11]limlimlimln(1x)xx0xln(1x)x0[xln(1x)]x0xln(1x)1x

limx11limx0(1x)ln(1x)xx0ln1(x)112

( (3)xlim2arctanx)limexx2x(lnarctanxln),

因为

2limx(lnarctanxln)lim2(lnarctanxln)xx1()x11arctxa1nx22limx12x,

所以

lim(arctanx)lime2x2x(lnarctanxln)xxe 2.

1a2x1    anx (4)令

1y[(a1x1a2x1    anx1n[ln(a1x)/n]nx. 则

1lnynx[ln(a1x)lnn], 因为

xlimlnylimx1a2x1    anx)lnn]1x

1lnan)()x

limx1n1(a1x11a1xa2x    anx11lna1a2x1lna2    anx1()x

ln a1ln a2ln anln(a1a2   an). 即xlimlnyln(a1a2   an), 从而

11. 证明下列不等式 (1)当0x1x2时

2tanx2x2tanx1x11lim[(a1xx1a2x1    anx)/n]nxlimya1a2   an

x;

2 (2)当x>0时,

ln(1x)arctanx. 1x 证明 (1)令f(x)tanx,

xx(0, ).

2 因为

xsec2xtanxxtanxf(x)0, 22xx所以在(0, )内f(x)为单调增加的. 因此当0x1x2时有]

2taxn1taxn2x1x2, 即tanx2x2.

11tanxx (2)要证(1x)ln(1x)>arctan x , 即证(1x)ln(1x) arctan x >0. 设f(x)(1x)ln(1x) arctan x , 则f(x)在[0, )上连续,f(x)ln(1x)11x2.

11x2 因为当x>0时, ln(1x)>0, 10, 所以f (x)>0, f(x)在[0,

)上单调增加.

因此, 当x>0时, f(x)>f(0), 而f(0)0, 从而f(x)>0, 即(1x)ln(1x)arctan x>0 . 12. 设

x2x x0, f(x)x2 x0求f(x)的极值.

解 x0是函数的间断点.

当x<0时, f (x)1; 当x>0时, f (x)2x 2x (ln x 1). 令f (x)0, 得函数的驻点x1.

e 列表:

x f 不存(x) f(x) ↗  在 2极大值  0  (, 0) 0 1(0, )e 1 e1(, )e ↘ e2e极小值 2↗ 函数的极大值为f (0)2,

1极小值为f()eee.

13. 求椭圆x2xy y23上纵坐标最大和最小的点. 解 2xyxy2yy0,

2y2xyx2y. 当x1y时, y0.

2 将x1y代入椭圆方程, 得1y21y2y23, y 2 .

42于是得驻点x1, x1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x1时, y 2, 当x1时, y2, 所

以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(1, 2). 14. 求数列{nn}的最大项. 解 令f(x)

x1xxx(x0), 则

1lnf(x)lnx,

x1111f(x)22lnx2(1lnx), f(x)xxx

f12(x)xx(1lnx).

令f (x)0, 得唯一驻点xe .

因为当0xe时, f (x)0; 当xe时, f (x)0, 所以唯一驻点xe为最大值点. 因此所求最大项为max{2, 33}33.

15. 曲线弧ysin x (0(1y2)3/2(1co2sx)3/2|y|sixn1(033(1co2sx)2(2coxssixn)sixn(1co2sx)2coxs2 2sinx(1co21sx)2

coxs(3si2nxco2sx1)si2nx.

在(0, )内, 令0, 得驻点x.

2 因为当0x时, 0; 当x时, 0, 所以x是的极小

222值点, 同时也是的最小值点, 最小值为(1cos2sin2)3/21.

2 16. 证明方程x35x20只有一个正根. 并求此正根的近似

值使精确到本世纪末103 解 设f (x)x35x2, 则 f (x)3x25, f (x)6x .

当x0时, f (x)0, 所以在(0, )内曲线是凹的, 又f(0)2,

xlim(x3x2),

所以在(0, )内方程x35x20只能有一个根.

(求根的近似值略)

f(x0h)f(x0h)2f(x0)limf(x0). 17. 设f (x0)存在, 证明h20hf(x0h)f(x0h)2f(x0)f(x0h)f(x0h)limlim 2h0h02hhf(x0h)f(x0h)1 lim2h0h[f(x0h)f(x0)][f(x0)f(x0h)]1 lim2h0hf(x0h)f(x0)f(x0)f(x0h)11lim[][f(x0)f(x0)]f(x0). h02hh2 证明

18. 设f (n)(x0)存在, 且f (x0)f (x0)   f (n)(x0)0, 证明f(x)o[(xx0)n] (xx0). 证明 因为

f(x)f(x)limlimxx0(xx)nxx0n(xx)n100limf(x)n(n1)(xx0)n2(n1)

xx0f(n1)(x)xlim x0n!(xx)0(n)f1limn!xx0(x)f(n1)(x0)1fxx0n!(x0)0,

所以f(x)o[(xx0)n] (xx0).

19 设f(x)在(a b)内二阶可导, 且f (x)0. 证明对于(a b)内任意两点x1, x2及0t1, 有f[(1t)x1tx2](1t)f(x1)tf(x2).

证明 设(1t)x1tx2x0. 在xx0点的一阶泰勒公式为

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f()(xx0)2(其中介于2!x与x0之间).

因为f (x)0, 所以 f(x)f(x0)f (x0)(xx0). 因此

f(x1) f(x0)f (x0)(x1x0), f(x2)f(x0)f (x0)(x2x0). 于是有

(1t)f(x1)tf(x2)(1t)[ f(x0)f (x0)(x1x0)]t[f(x0)f (x0)(x2x0)]

(1t)f(x0)t f(x0)f (x0)[(1t)x1t x2]f (x0)[(1t)x0t x0] f(x0)f (x0)x0f (x0)x0 f(x0),

即 f(x0)(1t)f(x1)tf(x2),

所以 f[(1t)x1tx2](1t)f(x1)tf(x2) (0t1).

20. 试确定常数a和b, 使f(x)x(ab cos x)sin x为当x0时关于x的5阶无穷小.

解 f(x)是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为

f(0)2f(0)3f(4)(0)4f(5)(0)5f(x)f(0)f(0)xxxxxo(x5)

2!3!4!5!

(1ab)xa4b3a16b5xxo(x5). 3!5!

要使f(x)x(ab cos x)sin x为当x0时关于x的5阶无穷小, 就是要使极限

limx0f(x)x51aba4ba16bo(x5)lim[5] 42x05!x3!xx存在且不为0. 为此令

1ab0, a4b0

解之得a4,

3b1. 3 因为当a4,

1时,

33f(x)a16b1lim50, x0x5!30b3

所以当a4,b1时, f(x)x(ab cos x)sin x为当x0时关于x的5

3阶无穷小.