辅助函数的构造及应用

摘 要

辅助函数作为一种重要的函数对我们深入研究问题有着至关重要的作用.辅助函数的构造是通过巧妙的数学变换,将一般问题转化为特殊问题,将复杂问题转化为简单问题,这种论证思想是数学中重要而常用的数学思维集中体现,在解决各种实际问题中应用非常广泛.然而如何构造辅助函数是解题中的一个难点,因此我们要充分掌握辅助函数的构造方法,并能熟练运用辅助函数来解题.本论文首先介绍辅助函数的特点及构造原则；其次,总结出构造辅助函数的方法,在每种方法后配有相应的例题,这样能够帮助大家更好的理解辅助函数在解题中的应用.

关键词：辅助函数,构造方法,应用

The Structure and Application of Auxiliary Function

Abstract：Auxiliary function as an important function for our further research issues has a vital role. The structure of the auxiliary function is a mathematical transformation, which can transform the general problems into special questions, the complex problems into simple problems. This thought is an important and commonly used in the mathematical argument concentrated expression of mathematical thinking, in solving various practical problems in the application is very broad. However, how to construct auxiliary function is a difficulty of the problem solving, so we should fully grasp the structure method of auxiliary function, and skillfully use the auxiliary function to problem solving. This paper first introduces the characteristics of the auxiliary function and principle of structure; second, summarizes the structure method of auxiliary function, after each method is equipped with the corresponding examples, which can help people better understand the application of the auxiliary function in problem solving.

Keywords: Auxiliary Function, Construction method , Application

目 录

一、引 言 ...................................................... 1 二、辅助函数的特点及构造 ....................................... 1 三、辅助函数的构造及应用 ....................................... 2 （一）微分方程法 ............................................. 2 （二）积分构造法 ............................................. 3 （三）观察联想法 ............................................. 3 （四）参数变易法 ............................................. 4 （五）常数K值法 ............................................. 5 （六）综合分析法 ............................................. 7 （七）待定因子法 ............................................. 7 （八）行列式法 ............................................... 8 （九）变量替换法 ............................................. 9 （十）积分定义法 ............................................ 10 （十一）零点构造法 .......................................... 10 （十二）函数连续法 .......................................... 11 四、结束语 .................................................... 12 五、致谢 ....................................... 错误!未定义书签。 六、参考文献 .................................................. 13

一、引 言

辅助函数在数学分析和高等数学及一些其它学科中的应用都非常广泛.辅助函数构造法不仅是数学证明中广泛使用的一种很有用的方法,而且是数学解题中构造的辅助问题的一种.辅助函数是依据数学问题的题设及其它一些相关信息而构造成的函数,再利用这个函数所满足的条件进行求解.构造辅助函数是将原来的数学问题转化为比较容易解决的辅助函数问题.这就要求我们不仅要掌握数学知识基础,更要全面把握数学问题所提供的信息,即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系,运用基本的数学思想,经过认真、仔细的观察,深入的思考,才能构造出符合问题条件的辅助函数.这一构造过程是一个从特殊到一般的过程,而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.构造辅助函数是一种创造性的思维过程,具有较大的灵活性,需要技巧.

二、辅助函数的特点及构造

构造法,是按一定方式,经过有限次步骤能够实现的方法,在解题时常表现的是不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.

辅助函数具有两个显著的特点:直观性和可行性.辅助函数还有许多基本特点.首先,辅助函数在题设中没有,在结论中也没有,仅是解题中间过程中构造出来的,类似于平面几何中的辅助线,起辅助解题的作用;其次,同一个命题可构造多个辅助函数;再次,构造辅助函数的思想较宽广.辅助函数的这些特点决定其在解题中的重要性,由于不同的辅助函数直接关系到解题的难易,因此构造最恰当的辅助函数是关键.

那么如何构造最恰当的辅助函数呢?事实上,我们在构造辅助函数时,必须遵循一定的原则.因为辅助函数的构造具有一定的规律,当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难解决时,可根据已知条件和结论的特点、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的原则:首先,将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个恰当的函数,从而将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成;其次,将复杂化为简单.一些命题较为复杂,直接构造辅助函数往往较困难,这时可以通过恒等变形,把复杂的式子转化为简单明了的等式,从中寻找恰当的辅助函数,以达到解决问题的目的;再次,利用几何特征.在许多教科书中,微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析,探索辅助函数的构造,然后加以证明.接下来介绍几种构造辅助

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函数的方法.

三、辅助函数的构造及应用

（一）微分方程法

微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.

构造出辅助函数的步骤: 第1步:将命题中的换成x;

第2步:移项,使等式一边为零,得一个常微分方程;

第3步:求得常微分方程的通解,在通解中的常数令为零可得辅助函数. 例1.设函数f(x)在0,1上可导,且满足关系2xf(x)dxf1. 证明：至少存在一点0,1,使得 f'()分析：令x,

f(x)1f'(x)0f(x)0-. 则f()xxf(x)c积分得lnf(x)-lnxlncf(x)xfxc,（令c0）.

x于是辅助函数为:F(x)xf(x).

'120f()0.

f()'证明：构造辅助函数F(x)xf(x),

由条件知F(x)xf(x)在0,1上连续,在0,1内可导.

根据积分中值定理知,至少存在一点0,1,使得

f(1)=2xfxdxf().

120又可知F(1)f(1)F()f(),

所以对于F(x)xf(x),由罗尔中值定理,至少存在一点,1,使得

F'()0,即f()f'()0,

进一步化简就是f'()f()0.

2

（二）积分构造法

在应用微分中值定理时,结论常会出现与f'() 或者f''()等有关的等式.我们将所要证明问题的结论中的换成x后,移项使等式右端为0,经过适当恒等变形,通常等式左端即为所要构造函数F(x)的导函数F'(x).在很多情况下,我们对等式左端进行表达式积分就可以将函数F(x)还原出来.然后利用F(x)就能构造出适当的辅助函数.我们再验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件,若条件满足就可应用中值定理证明.这就是积分构造法.

例2.设fD0,1,(x)x0t2f(t)dt,且(1)f(1).

证明：在0,1内至少存在一点,使得f'()-

2f().

分析:将欲证等式中的换成x,然后对该等式变形得

0,两边同时乘以x可得一簇函数F(x).并令积分常数

C0,即F(x)x2f(x).

xf'(x)2f(x)证明：构造辅助函数F(x)x2f(x),由已知可知F(x)在0,1上连续,在0,1内可导,且利用积分中值定理,

F(1)f(1)(1)12f(1) (011),

又F(1)12f(1),

故F(x)在1,10,1上满足罗尔定理条件,所以在1,10,1内至少有一点,使得:

2xF'()=fxx'2f()2f'()0,

.

即: f'()-

2f()（三）观察联想法

在学习完导数的四则运算法则和复合函数的微分法后,做了一定量的习题,有了一定程度的积累后,对于一些常见函数的导数公式,我们就会很熟悉.下面我们列出一些常见的函数导数公式:

（1）xkf(x)kxk1f(x)xkf'(x),

'

3

f(x)'f'(x)xf(x))（2）(, 2xxf(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x))（3）(, 2g(x)g(x)xx'（4）ef(x)ef(x)f(x), xx'（5）ef(x)ef(x)f(x),

''当我们通过积分构造法和微分构造法不易构造出辅助函数F(x)时,我们可以观察所要证明等式的结论形式,看它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同.当两者相似或相同时,我们可以立即联想到导数公式左端括号内的函数就是我们所要构造的辅助函数F(x).这就是观察联想法.

例3.已知函数f(x)在,内满足关系式: f'(x)f(x),且

f(0)1;

求f(x).

分析:此题由f'(x)f(x),f(0)1,很容易想到有可能f(x)ex,而

xx'ef(x)ef(x)f(x),

'''x'当1时,ef(x)ef(x)f(x),由于f(x)f(x),所以有

xxxx'F(x)f(x)eef(x)ef(x)f(x)0,故作辅助函数,则'F'(x)0,再根据条件证明F(x)1即可.

解:作辅助函数F(x)f(x)ex,则F'(x)f'(x)exf(x)ex,

f'(x)f(x),

F'(x)0,即F(x)C,

令x0,得F(0)f0e01C,

Fxfxex1,从而有f(x)ex.

（四）参数变易法

参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x,从而构造出相

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应的辅助函数的方法.

命题的证明思路:

第1步:将命题中的某一参数(a或b)换成x;

第2步:移项,使等式一边为零,则另一边即是所求辅助函数F(x); 第3步:根据有关定理完成命题的证明.

例4.设f(t),g(t)是在a,b上连续增加函数,a,b0. 证明：ftdtgtdtbaftgtdt.

aaabbb证明：把上式中的b换成x,移项.然后作辅助函数

Fxftdtgtdtxaftgtdt.

aaaxxx由于F'xfxagtdtgxaftdt

xaxx ftgtdtxafxgx fxgtdtgxftdt

aaxx xxaftgtdtfxgxdt

axfxft gxgtdt. a又f(t),g(t)均为连续增加函数,因此F数,F(b)F(a)0.

'x0,F(x)为减少函

即 ftdtgtdtbaftgtdt0.

aaabbb所以ftdtgtdtbaftgtdt.

aaabbb（五）常数K值法

此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题,构造出辅助函数F(x)的具体步骤如下:

(l)从结论中分离出常数部分,将它令为k;

(2)做恒等变换,使等式(或不等式)一端为a及f(a)构成的代数式,另一端为b和f(b)构成的代数式;

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(3)分析端点a,b的表达式是否为对称式或轮换式.若是,将端点改为

x,相应的函数值f(a) (或f(b))改为f(x),则关于x,f(x)的表达式即为

所求的辅助函数F(x).

例5.设ba0,f(x)在a,b上连续,在a,b内可导.

'证明:a,b,使得 af(b)bf(a)2abbaf()f().

分析 : 分离a,b与,则

'af(b)bf(a)2abbaf()f()

af(b)bf(a)f'()f(). ab(ba)2则上式的左端是关于a,b的对称式,令其为k,得

af(b)bf(a)kabbaaf(b)kab2bf(a)ka2b

f(b)kb2f(a)ka2. baf(x)kx2f(x)于是,可令F(x)=kx. xxf(x)kx, 证明:引入辅助函数F(x)x由题设知,F(x)在a,b上连续,在a,b内可导, 且

'f()f()af(b)bf(a)2abba

af(b)bf(a)f'()f(). 2ab(ba)f(a)ka2f(b)kb2af(b)bf(a)k,则有令,即F(a)F(b),

ab(ba)ab所以由罗尔定理知,a,b,使F'()0,

f'()f()F()k0,

2'f'()f()k, 2

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af(b)bf(a)f'()f()k所以, 2ab(ba)'即 af(b)bf(a)2abbaf()f() .

（六）综合分析法

从欲证的结论出发借助于逻辑关系及已知与未知之间的内在联系,推导出所需要的结论.

例6.设:bae. 试证:abba.

分析:所证形式为幂指数形式,而处理该类问题通常采用取对数转化为初等函数的形式.

由于bae,若abba,即blnaalnb,即blna-alnb0. 令f(x)=xlna-alnx,当xae时,知f(x)单调递增,则得证. 利用辅助函数证明有关命题时,关键是认真分析,巧妙构造适当辅助函数,而恰当地辅助函数要根据命题的结论的具体形式及有联系的定理来构造.

（七）待定因子法

在一些问题中,有时难以用积分构造法直接构造出符合题设要求且满足中值定理条件的辅助函数.这时我们可以构造含有待定因子P(x)的辅助函数F(x),然后根据其他已知条件求出待定因子P(x).这样就得到了符合要求的辅助函数F(x).这种方法叫做待定因子法.

例7.设函数f(x)在0,1上二阶可导且f(0)=f(1).

2f'()求证:至少存在一点0,1,使得f().

1''分析: 这是导函数的零点问题,要用到罗尔定理.通过积分,注意到

(f(x)(x1)f'(x))'2f'(x)(x1)f''(x),

很自然令F(x)=f(x)(x1)f'(x).但是得不到F(0)=F(1),无助于解决问题.紧接着我们考虑寻找F(x)的两个等值点或者重新构造一个F(x),使2f'(x)(x1)f''(x)成为F'(x)的一个因子.依题意,令F(x)=P(x)f'(x),则 F'(x)P'(x)f'(x)P(x)f''(x)

(2f'(x)(x1)f''(x))

7

dPP(x), 2dxx1dP2dx, Px1得lnPln(x1)2lnC,所以P(x)C(x1)2. 取C1,有F(x)(x1)2f'(x).

证明 : 因为f(x)在0,1上可导,且f(0)f(1), 由罗尔定理知,存在x00,1,使f'(x0)0.

令F(x)(x1)2f'(x),则F(1)F(x0)0,且F(x)在0,1上可导,由罗尔定理知存在x0,1,使:

F'()(1)(2f'()(1)f''())0,

又1,从而: 2f'()(1)f''())0,

2f'()即:f(),0,1.

1''（八）行列式法

此法是通过平面三角形面积的坐标表达式,建立适当的行列式函数用作辅助函数.

例8.设f(x)在a,b上连续,在a,b内可导.

试证:存在a,b,使2f(b)f(a)(b2a2)f'(). 分析:结论移项为: 2f(b)f(a)(b2a2)f'()0,

1即021022f(a)1a+f'()=1a22f(b)1b1b2f'()f(a), f(b)将上述行列式中换为x,并求出原函数F(x),

1x2F(x)1a21b2即为要找的辅助函数. 证明：作辅助函数

8

f(x)f(a), f(b)

1x2F(x)1a21b2f(x)f(a), f(b)易验证F(a)F(b)0,又F(x)在a,b上连续,在a,b内可导且

F'(x)2xf(b)f(a)f'(x)(b2a2),

由罗尔定理知,至少存在a,b,使F'()0,即

2f(b)f(a)(b2a2)f'()0,

亦即 2f(b)f(a)(b2a2)f'().

（九）变量替换法

证明等式是数学分析的重要内容之一,根据等式特征引入辅助函数,将大大简化证明过程.

例9.证明:aa2a2dxa2dxfx2f(x)a0.

1xxxx1分析:观看等式左右两边,发现等式左右两边函数f的自变量x和x2同

1a2a2dt形,于是令“tx”,从而使左边化简为积分f(t),再比较这个

21tt2积分的上限a2与右端积分的上限a是两者唯一的区别,因此这又提示我们分此积分为两段,得

1a2a2dt1aa2dt1a2a2dtf(t)f(t)f(t), 21tt21tt2att再由这个积分与原证明等式比较,只需证明

1a2a2dt1aa2dtf(t)f(t), 2att21tta2

再令“t”,则得

u

证明: 令xt,则2a21aa2dta2dtf(t)f(u).

1ttuta12a2dx1a2fx2xx219

a2dtft.

tt

1a2a2dt1a又因为ft21tt21a2a2于是再令t,即u,

ut1a2a2dt1a所以ft2att21于是有,

a2dt1a2fttt2aa2dtft,

tta2du1afuuu21a2dtft.

tta12a2dx1a2fx2xx21a2dtfttt1a21a1a1a2dt1a2a2dtftfttt2att a2dtf(t)tta2dxf(x).xx（十）积分定义法

111. 例10.求limnn1n2nn分析:此题求数列的极限,如果直接用数列极限的有关方法来求解比较

麻烦,但如果我们利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题.

解:

11n1n2n111, nni11inn又f(x)1在[0,1]上连续,从而可积, 1xn111limninnni11n11limnn1n2101xdxln2.

1（十一）零点构造法

解方程f(x)0,实质上就是求函数f(x)的零点.关于函数零点的问题一般是利用连续函数的性质及微分中值定理来解决.

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例11.已知f(x)在[0,1]上非负连续,且f(0)f(1)0.

求:对任意实数a(0a1),必存在x00,1,使得x0a0,1,且

f(x0)f(x0a).

分析:此题要证f(x0)f(x0a),即可证f(x0)f(x0a)0. 由此想到可构造一个辅助函数F(x),使得F(x)在点x0处取得的函数值为0,进而得证.

证明:作辅助函数Fxf(x)f(xa),则有F(0)f(a)0. 因此有F1af(1a)0.而F(x)在[0,1a]连续,由连续函数介值定理,存在x00,1a,使得F(x0)0,即f(x0)f(x0a).

（十二）函数连续法

有的问题不能直接用积分限求导公式来计算,此时我们可以试着把被积函数变换一下,从而构造出新的辅助函数来帮助解题.

1例12.已知f(x)cosdt,求f'(0).

0tx11分析:因f(x)cosdt,故被积函数cos在点x0不连续,故这导致

0xtx不能直接用对积分限求导的公式来求f'(0).用分部积分公式来变换被积函数,使新的被积函数在点x0连续是解决问题的一个途径.

解:当x0时,

x1f(x)t2dsin0tx11t2sinsindt2

t00txx2sinx112tsindt.x0t112xsin,x0,2xsin,x0,令f1(x) , f(x)xx2x0;x0;0,0,f1(x),f2(x) 在,上连续,且f'1(0)0, 对一切x有: f(x)f1(x)f2tdt,

0x

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'xf(0)f(0)f2tdt0f2(0)0. 0xx0''1四、结束语

辅助函数在解决数学问题以及其它学科的问题中都有广泛的应用,构造恰当的辅助函数会使问题得到简化,从而帮助我们更容易地解决问题.本文简单地介绍了几种常用的构造辅助函数的方法,也举例说明辅助函数在数学乃至其它学科中广泛的应用.虽然在本文撰写中严格要求自己,但由于知识水平有限,所以论文中还有许多不足之处,希望老师给予批评和指正.

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六、参考文献

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