期末数学试卷
（考试时间：90分 满分：100分）
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出四个选项，其中只有一项是正确的） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 2．（3分）使分式A．x≥1
B．3个
C．2个
D．1个
有意义的x的取值范围是（ ） B．x≤1
C．x＞1
D．x≠1
3．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ） A．a+2＜b+2
B．a﹣2＜b﹣2
C．＞
D．﹣2a＞﹣2b
4．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A．x﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 C．（x+1）（x﹣1）＝x﹣1
2
2
B．x﹣4x+4＝（x﹣2） D．x﹣1＝x（1﹣）
22
5．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（ ）
A．60°
6．（3分）若分式方程A．3
B．﹣3 B．90°
C．120°
D．150°
有增根，则m等于（ ）
C．2
D．﹣2
7．（3分）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（ ） A．
B．
C． D．
8．（3分）下列命题正确的个数是（ ）
（1）若x+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10 （2）正六边形的每个内角都等于相邻外角的2倍 （3）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 （4）顺次连结四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形 A．1
B．2
C．3
D．4
2
9．（3分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．C．
B．D．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以A为圆心，AE长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；分别以点E和点F为圆心，大于EF且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点D，若BD＝，AC长是分式方程
的解，则△ACD的面积是（ ）
A．
B．
C．4
D．3
11．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．
B．40
C．50
D．
12．（3分）某商品的标价比成本价高m%，现根据市场需要，该商品需降价n%岀售．为了使获利不低于10%，n应满足（ ） A．C．
B．D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）分解因式：2x﹣2＝ ． 14．（3分）不等式组
的解集是x＞4，那么m的取值范围是 ．
2
15．（3分）如图，将△ABC沿BC平移得△DCE，连AD，R是DE上的一点，且DR：RE＝1：2，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR＝ ．
16．（3分）如图，含45°角的直角三角板DBC的直角顶点D在∠BAC的角平分线AD上，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，将△DBC沿BC翻转，D的对应点落在E点处，当∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3时，△ACE的面积等于 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，满分52分） 17．（6分）（1）分解因式：a（a﹣b）﹣b（a﹣b）
（2）已知x+2y＝4，求3x+12xy+12y的值．
18．（6分）解不等式组：
，并把不等式组的解集在数轴上标出来
2
2
19．（6分）求下列分式的值：
，并从x＝0，﹣1，﹣2中选一个适当的值，计算分
式的值．
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，4）、C（5，1）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2； （3）连CB2，直接写出点B2、C2的坐标B2： 、C2： ．
21．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
22．（9分）如图，平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，E点在BC上． （1）求证：BC＝2AB；
（2）若AB＝3cm，∠B＝60°，一动点F以lcm/s的速度从A点出发，沿线段AD运动，CF交DE于G，当CF∥AE时：
①求点F的运动时间t的值； ②求线段AG的长度．
23．（9分）如图，两个全等的Rt△AOB、Rt△OCD分别位于第二、第一象限，∠ABO＝∠ODC＝90°，OB、OD在x轴上，且∠AOB＝30°，AB＝1．
（1）如图1中Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先绕点O顺时针旋转 度，再绕斜边中点旋转 度得到的，C点的坐标是 ；
（2）是否存在点E，使得以C、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出E点的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2将△AOC沿AC翻折，O点的对应点落在P点处，求P点的坐标．
2017-2018学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出四个选项，其中只有一项是正确的） 1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：①是轴对称图形，也是中心对称图形； ②是轴对称图形，不是中心对称图形； ③是轴对称图形，也是中心对称图形； ④是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：B．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）使分式A．x≥1
有意义的x的取值范围是（ ） B．x≤1
C．x＞1
D．x≠1
【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解． 【解答】解：由题意得x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选：D．
【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ） A．a+2＜b+2
B．a﹣2＜b﹣2
C．＞
D．﹣2a＞﹣2b
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）a+2＞b+2，故A错误； （B）a﹣2＞b﹣2，故B错误； （D）﹣2a＜﹣2b，故D错误； 故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型． 4．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A．x﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 C．（x+1）（x﹣1）＝x﹣1
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A、没把多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意； B、把多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意； C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、没把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意； 故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，把多项式转化成几个整式积的形式．
5．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（ ）
2
2
B．x﹣4x+4＝（x﹣2） D．x﹣1＝x（1﹣）
22
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°． 故选：D．
【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 6．（3分）若分式方程A．3
B．﹣3
有增根，则m等于（ ）
C．2
D．﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3＝m， 由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2， 故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．（3分）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（ ） A．C．
B．D．
【分析】本题的关键描述语是：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划用时﹣实际用时＝4． 【解答】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：所列方程为：故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．（3分）下列命题正确的个数是（ ）
（1）若x+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10 （2）正六边形的每个内角都等于相邻外角的2倍 （3）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 （4）顺次连结四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形 A．1
B．2
C．3
D．4
2
，实际用时为：．
﹣＝4，
【分析】根据完全平方式、正六边形、平行四边形的判定判断即可．
【解答】解：（1）若x+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于±10，是假命题； （2）正六边形的每个内角都等于相邻外角的2倍，是真命题； （3）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题； （4）顺次连结四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形，是真命题； 故选：C．
2
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关定理是解题关键．
9．（3分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．C．
B．D．
【分析】利用函数图象，找出直线y＝x+m在直线y＝kx﹣1的下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：根据图象得，当x＜﹣1时，x+m＜kx﹣1． 故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，以A为圆心，AE长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；分别以点E和点F为圆心，大于EF且相等的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点D，若BD＝，AC长是分式方程
的解，则△ACD的面积是（ ）
A．
B．
C．4
D．3
【分析】利用角平分线的性质定理证明DB＝DH＝，再根据三角形的面积公式计算即可； 【解答】解：如图，作DH⊥AC于H．
∵
∴5（x﹣2）＝3x， ∴x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解， ∵AC长是分式方程∴AC＝5， ∵∠B＝90°， ∴DB⊥AB，DH⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝DB＝， ∴S△ADC＝×5×＝故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、分式方程的解、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会根据角平分线的性质定理添加辅助线，属于中考常考题型．
11．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
，
的解，
A．
B．40
C．50
D．
【分析】首先证明AD+CD＝15，再证明AD＝2CD，推出CD＝5，AD＝10，利用勾股定理求出AC即可解决问题； 【解答】解：∵点E在AC的垂直平分线上， ∴EA＝EC，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝CD+DE+EA＝CD+DA＝15，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB∥CD， ∵AB⊥AC， ∴AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD， ∴CD＝5，AD＝10， ∴AC＝
＝5
，
＝25
，
∴S平行四边形ABCD＝2•S△ADC＝2××故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（3分）某商品的标价比成本价高m%，现根据市场需要，该商品需降价n%岀售．为了使获利不低于10%，n应满足（ ） A．C．
B．D．
【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于获利不低于10%，进而得出不等式即可． 【解答】解：设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣（1+10%）a≥0， 则（1+m%）（1﹣n%）﹣1.1≥0， 去括号得：1﹣n%+m%﹣
﹣1.1≥0，
整理得：100n+mn+1000≤100m， 故n≤故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．（3分）分解因式：2x﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
2
．
【解答】解：2x﹣2＝2（x﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 14．（3分）不等式组
的解集是x＞4，那么m的取值范围是 m≤4 ．
22
【分析】根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【解答】解：不等式组故答案为：m≤4．
【点评】本题考查了不等式组解集，求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．（3分）如图，将△ABC沿BC平移得△DCE，连AD，R是DE上的一点，且DR：RE＝1：2，BR分别与AC、CD相交于点P、Q，则BP：PQ：QR＝ 2：1：1 ．
的解集是x＞4，得m≤4，
【分析】根据平移的性质得到AC∥DE，BC＝CE，得到△BPC∽△BRE，根据相似三角形的性质得到PC＝DR，根据△PQC∽△RQD，得到PQ＝QR，得到答案． 【解答】解：由平移的性质可知，AC∥DE，BC＝CE， ∴△BPC∽△BRE， ∴
＝
＝
，
∴PC＝RE，BP＝PR， ∵DR：RE＝1：2， ∴PC＝DR， ∵AC∥DE， ∴△PQC∽△RQD，
∴＝＝1，
∴PQ＝QR，
∴BP：PQ：QR＝2：1：1， 故答案为：2：1：1．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握相似是三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16．（3分）如图，含45°角的直角三角板DBC的直角顶点D在∠BAC的角平分线AD上，DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，将△DBC沿BC翻转，D的对应点落在E点处，当∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3时，△ACE的面积等于
．
【分析】根据勾股定理得到BC＝5，由折叠的性质得到△BCE是等腰直角三角形，过E作EH⊥AC交CA的延长线于H，根据勾股定理得到EH＝，于是得到结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3， ∴BC＝5，
∵△BCE是△DBC沿BC翻转得到得， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝45°，CE＝过E作EH⊥AC交CA的延长线于H， 易证△CEH≌△DCG，△DBF≌△DCG， ∴EH＝CG，BF＝CG，
∵四边形AFDG和四边形BECD是正方形， ∴AF＝AG，
设BF＝CG＝x，则AF＝4﹣x，AG＝3+x， ∴4﹣x＝3+x，
BC＝
，
∴x＝， ∴EH＝CG＝， ∴△ACE的面积＝故答案为：．
×3＝，
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）勾股定理，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，满分52分） 17．（6分）（1）分解因式：a（a﹣b）﹣b（a﹣b） （2）已知x+2y＝4，求3x+12xy+12y的值．
【分析】（1）直接提取公因式（a﹣b），进而分解因式得出答案； （2）直接利用提取公因式法分解因式进而把已知代入得出答案． 【解答】解：（1）a（a﹣b）﹣b（a﹣b） ＝（a﹣b）（a﹣b） ＝（a﹣b）；
（2）∵x+2y＝4， ∴3x+12xy+12y ＝3（x+4xy+4y） ＝3（x+2y） 把x+2y＝4代入得： 原式＝3×4＝48．
22
2
2
2
2
2
2
2
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 18．（6分）解不等式组：
，并把不等式组的解集在数轴上标出来
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：
解不等式①，得x＜3， 解不等式②，得x≥﹣2，
所以原不等式组的加减为﹣2≤x＜3． 把不等式的解集在数轴上表示为：
，
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的性质正确求出不等式组中每一个不等式的解集是解题的关键．也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法． 19．（6分）求下列分式的值：
，并从x＝0，﹣1，﹣2中选一个适当的值，计算分
式的值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，﹣1，﹣2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【解答】解：
＝
＝（x+2）+（x﹣2） ＝x+2+x﹣2 ＝2x，
当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中A（1，1）、B（4，4）、C（5，1）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别是A2、B2、C2； （3）连CB2，直接写出点B2、C2的坐标B2： （4，﹣2） 、C2： （1，﹣3） ．
【分析】（1）分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可； （2）分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； （3）根据B2、C2的位置写出坐标即可； 【解答】解：（1）的△A1B1C1如图所示． （2）的△A2B2C2如图所示． （3）B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）， 故答案为（4，﹣2），（1，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，作图﹣旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360
元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【分析】（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，根据“用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同”，列出关于x的分式方程，解之经过验证即可， （2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，根据“商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元”，列出关于m的一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元， 根据题意得：
＝
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义， 30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元， （2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品， 根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150， 解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
22．（9分）如图，平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，E点在BC上． （1）求证：BC＝2AB；
（2）若AB＝3cm，∠B＝60°，一动点F以lcm/s的速度从A点出发，沿线段AD运动，CF交DE于G，当CF∥AE时：
①求点F的运动时间t的值； ②求线段AG的长度．
【分析】（1）先判断出∠DAE＝∠AEB，再判断出∠DAE＝∠BAE，进而得出∠BAE＝∠AEB，即可判断出AB＝BE，同理：判断出CE＝AB，即可得出结论；
（2）①先判断出四边形AECF是平行四边形，进而求出AF＝3，即可得出结论；
②先判断出△ABE是等边三角形，进而求出∠AEB＝60°，AE＝3cm，再判断出∠DCF＝∠ECF，即可判断出∠CEG＝90°，最后用勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， 同理：CE＝CD， ∴BE＝CE＝AB， ∴BC＝BE+CD＝2AB；
（2）①由（1）知，CE＝CD＝AB， ∵AB＝3cm， ∴CE＝3cm，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE＝3cm，
∴点F的运动时间t＝3÷1＝3（秒）；
②由（1）知AB＝BE， ∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°，AE＝AB＝3cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∵AE∥CF，
∴∠ECF＝∠AEB＝60°，
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝60°＝∠ECF， 由（1）知，CE＝CD＝AB＝3cm， ∴CF⊥DE， ∴∠CGE＝90°，
在Rt△CGE中，∠CEG＝90°﹣∠ECF＝30°，CG＝CE＝， ∴EG＝
CG＝
，
∵∠AEB＝60°，∠CEG＝30°， ∴∠AEG＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝3，根据勾股定理得，AG＝
＝
．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，判断出CG⊥DE是解本题的关键．
23．（9分）如图，两个全等的Rt△AOB、Rt△OCD分别位于第二、第一象限，∠ABO＝∠ODC＝90°，OB、OD在x轴上，且∠AOB＝30°，AB＝1．
（1）如图1中Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先绕点O顺时针旋转 90 度，再绕斜边中点旋转 180 度得到的，C点的坐标是 （1，） ；
（2）是否存在点E，使得以C、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，写出E点的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2将△AOC沿AC翻折，O点的对应点落在P点处，求P点的坐标．
【分析】（1）先求出OB，再由旋转求出OD，CD，即可得出结论；
（2）先求出D的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论； （3）先判断出四边形OAPC是正方形，再利用中点坐标公式即可得出结论．
【解答】解：（1）Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先绕点O顺时针旋转90°，再绕斜边中点旋转180°得到的， 在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，AB＝1， ∴OB＝
，
，
由旋转知，OD＝AB＝1，CD＝OB＝∴C（1，
），
）；
故答案为90，180，（1，
（2）存在，理由：如图1， 由（1）知，C（1，∴D（1，0）， ∵O（0，0），
∵以C、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当OC为对角线时，
∴CE∥OD，CE＝OD＝1，点E和点B'重合， ∴E（0，
），
），
②当CD为对角线时，CE∥OD，CE＝OD＝1， ∴E（2，
），
，
当OD为对角线时，OE'∥CD，OE'＝CD＝∴E（0，﹣
），
即：满足条件的E的坐标为（0，）或（2，），或（0，﹣）；
（3）由旋转知，OA＝OC，∠OCD＝∠AOB＝30°， ∴∠COD＝90°﹣∠OCD＝60°， ∴∠AOC＝90°，
由折叠知，AP＝OA，PC＝OC， ∴四边形OAPC是正方形， 设P（m，n） ∵A（﹣
，1），C（1，
），O（0，0）， ），（n+0）＝（1+，
），
∴（m+0）＝（1﹣∴m＝1﹣∴P（1﹣
，n＝1+，1+
）．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，折叠的性质，求出点C的坐标是解本题的关键．
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