二分之一波长传输线的量子化

2传输线的量子化

摘要：通过一些文献和资料,计算传输线方程，等效电路,传输阻抗以及波动方程，最后由Louisell将传输线量子化的方法将2传输线的量子化。

引言：在微波频率范围内，超导态导体的表面电阻要比正常态导体的表面电阻低很多，这种低的表面电阻直接转化成无源微波器件的低插入损耗和高品质因数。常用的微波传输线有2传输线和λ/4传输线，λ为电磁波波长。一般λ/2谐振器是由开路的传输线构成的，当l=λ/2或者l=ｎλ/2（ｎ为正整数），表现出的电路特性与并联RLC谐振电路相近。通过正则量子化的过程可以将1/2波长的传输线量子化，从而得到分立的本征值。

正文：

利用麦克斯韦方程推导传输线的基本方程：

假设传输线轴向无限长，而且横截面不随轴线的变化而变化，以轴线方向为z轴方向板间距为d,宽度为a，因为d«a，所以忽略电磁场的边缘效应，电磁传播方向沿着z轴方向，电场E沿着x轴方向，磁场H沿着y轴方向，E、H与电磁场传播方向k三者相互垂直，导波为横电磁波，可得：

xE=Ex(z,t)

yH=Hy(z,t)

HE在平行板传输线中运用麦克斯韦方程▽*E=-µt，▽*H=Ɛt可得：

zEx(z,t)=-µtHy(z,t)

zHy(z,t)=-ƐtEx(z,t)

板间电压U（z,t）被定义为U（z,t）=Ex(z,t)d,电流I（z,t）被定义为

I（z,t）=Hy(z,t)a,平行板传输线的单位长度的电感L为L=µd/a(H/m);单位长度的电容C为C=Ɛ

a/d(F/m),则方程

zEx(z,t)=-µtHy(z,t)

zHy(z,t)=-ƐtEx(z,t)

可写为：

zU（z,t）=-LtI（z,t）

zI（z,t）=-CtU（z,t）

由电压和电流表示的这两个方程就是传输线方程。当传输线长度为半波长（l=2）时，其传输线阻抗为：

2πZjZtan(cLλZin(0)ZC2πZcjZLtan(λλ)2ZLλ)2

负载阻抗在传输线上每隔半个波长就会重现一次，如下图所示，除了确定波的传输时间，我们可以将所有计算假设传输线比它原有长度减少n 2(n为整数)。若V(z)与

I（z）为传输线上任意点z的电压与电流，则V（z+2））=-V(z)与

I(z+2)=-I（z）。就是说，沿着每半个波长，电压和电流就改变一次它们的方向。

2传输线在发送端的等效电路

二分之一波长谐振器的能量损耗：谐振器传输特性参数

SQCπ4Z0Zl(wC)2 当w=w0时其特性曲线可由公式即

121jQ(1w0/w2)（Q是整个谐振电路的品质因素）表示

设单位长度传输线的电感和电容分别为：L和C,在忽略传输线损耗的情况下，传输线中，电压和电流满足波动方程：

22j2jc022tz

22v2vc022tz

j12jc022z其中c=LC为波的传播速度，t的平面前进波解为

22j(z,t)=AeiwikzAeiwikz



其中A,A为任意常数，波数k=2=c 可以求出电压与电流的关系为：

LV（z,t）=Cj(z,t)

由Louisell将传输线量子化的方法,我们可以了解到，对于一个确定的模。一定，则

和k一定，若传输线长度z0为波长的固定整数倍，即z=m=2mk,其中m为一个固定

的整数，则传输线中的能量为

1H(Lj2Cv2)dzLj2dz200zz

将j(z,t)=AeiwikzAeiwikz代上式可以积出：

H2LLAz0

若以为能量单位，即取

Aa2Lz0

则

Haa

由j(z,t)=AeiwikzAeiwikz我们可以得到传输线中电流的一个进模为：

j(z,t)(aeitikzaeitikz)2Lz0

确定了a和a，那么电流j和电压v也就可以确定下来了，由于Haa与用升降算

符表示的谐振子哈密顿算符很相似，这就给予我们这样的提示：

1(qip)2

222H12(pq)，这正是坐标和动量分别为q.p的单3其中，p、q均为实变量，则

a位质量谐振子的哈密顿q.p为正则变量，

令：[q.p]i

[a.a]1 则：

就实现了传输线的量子化。

波动方程:

当电流通过导线时，每条导线的有限电导率使传输线产生功率损耗，功率损耗可以由

RPI2确定的电阻来表示，此处P为总功率损耗，I为传输线中的电流，我们可以把传输

线的每个单位长度的电阻用RlRL表示，此处l为传输线的长度，由于引起功率损耗的电

流和传输线产生的磁场的电流相同，所以，我们就可以这么认为：将传输线的单位长度电

ˆRjLZll 阻与单位长度电感串联，阻抗表示为：l其中，

Rl是两根导线单位长度的电阻，

LlˆZ为单位长度的电感，l为传输线单位长度上

的串联阻抗。

由平行板传输等效电路可以求得：

(z)VdjLlI(z)Za

现在也可以写为:

(z)V(RljLl)Iz

对于平行板传输线，其单位长度的电阻Rl为Rl2(ca)，只要cad

Cl若两导体之间媒质的电导率为d,则媒质的复数电容率为：

dˆ1j

用ˆ代替Clad中的，得到：

Cˆl1jdaadaddjd 继而可以求得:

dIzaaadzjdjddVdadjdVGljClV

da公式中的

Gld为平行板传输线单位长度的电导。

V(z)将公式

z(RljLl)I和dIzdzjadjdadVdadjadVGljClV对z微分即得：d2Vˆdz2ZlYˆlVl

和

d2Idz2ZˆlYˆlIl

公式中YˆlGljCl为传输线每单位长度的并联导纳 公式

d2Vd2IˆˆˆYˆZlYlVlZllIl22dz和dz的解为

zVˆeˆzVˆeˆzV

和

ˆˆzVˆˆzVzIeeˆˆZcZC

ˆZlˆYl其中，公式中的

ˆZc，就是特性阻抗

ˆYˆˆZllj是传播常数方程。其中，是沿着线的衰减常数，是相位常数。

设L,C,R,G分别为单位长度的电感，电容，电阻，电容

并满足方程：

vjRjLzt

jvGvCzt

可得:

2j2jjLC22LGRCRGj0tzt

继而可得：

jz,tezAei(tz)Aei(tz)

其中公式中是新好的角频率，是衰减系数，是相位系数

单位长度传输线电感上的电压：

ziLezAei(tz)Aei(tz)t

uL为除去衰减因子，定义：

(z,t） (z,t)

j(z,t)(z,t)ez

u(z,t)(z,t)2z0ez

其中Zo是传输线的长度，可得：

(z,t） Aei(tz)Aei(tz)

Lz0zLz0Lz2i20AeitzAeitztt

(z,t)2ez2tLz0

和是正则变量，所以满足：

Ht Ht

可以得到：

H2Lz0

可得：

H(,)2Lz02f()

HfLz02可得：

积分可得：

f()1Lz022

得哈密顿量为：

H2Lz02Lz0212

令

,ih2就可以实现量子化。

文献引用

1电磁场与微波第二版，毕岗主编，浙江大学出版社

2Liang K M 1978 Mathematical Physics(Beijing Higher Education Preses)p154

3王忠纯 介观耗散传输线的量子化

4电磁场与电磁波（第二版）Bhag Singh Guru Huseyin R.Hiziroglu著 机械工业出版社