微分中值定理与导数的应用总结

先回顾一下第一章的几个重要定理

1、limf(x)Af(x)A ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间

xxx0的关系 2、=+o() ，这是两个等价无穷小之间的关系

3、零点定理：

条件：闭区间[a,b]上连续、f(a)f(b)0 (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在 ，使得f()0

4、介值定理：

条件：闭区间[a,b]上连续、[f(a)A][Bf(b)]

结论：对于任意min(A,B)Cmax(A,B)，一定在开区间(a,b)上存在，使得f()C。

5、介值定理的推论：

闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M和最小值m之间的一切值。

第三章 微分中值定理和导数的应用

1、罗尔定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)

结论：在开区间(a,b)上存在 ，使得2、拉格朗日中值定理

f'()0

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导

结论：在开区间(a,b)上存在 ，使得3、柯西中值定理

f(b)f(a)f'()(ba)

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，g(x)0,x(a,b)

f(b)f(a)f'()结论：在开区间(a,b)上存在 ，使得

g(b)g(a)g'()

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。

罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。

拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：

m2(x)f(x1)-f(x2)m1(x)； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样

便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是[x1,x2] 。 5、洛必达法则应用注意

正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。

如果极限是xx0xlimf(x) 那么就在xtt00 附近展开。如果极限是

limf(x)，那么就变形成limf(t)，再在t0附近展开。一般都是

化成t0limf(t)用迈克劳林展开式展开。

那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。

7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数f'(x)0(0) 结论1：f(x) 在闭区间[a,b]上单增（单减）

结论2：f'(x)0或不存在 则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点

8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点） 方法一：条件：区间连续。结论：

x1x2f(x1)f(x2))，则该曲线在(x1,x2)凹 22x1x2f(x1)f(x2))，则该曲线在(x1,x2)凸 22 若f( 若f(方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数 结论1：f''(x)0 在[a,b]凹；f''(x)0 在[a,b]凸；

结论2：f''(x)0或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证

f''(x)、f''-(x)的符号。异号则一定为拐点。

9．函数在区间上的极值点，最值点。 定理1：极值点处的导数f'(x0)0 定理2：

条件：f(x) 在x0 点处连续，在x0附近的去心邻域内可导

结论：f'(x0)0,f'(x0)0 则在x0点取得极大值。f'(x0)0,f'(x0)0 则在x0点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。 定理3：

条件：f(x) 在x0 点处的一阶导数f'(x0)0

结论：f''(x0)0 ，则在x0点取得极小值。f''(x0)0 ，则在x0点取得极小值。f''(x0)=0,则该点可能是极值，也可能不是极值。

总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制

f'(x0)0。

最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。 10、曲率

1d ，曲率半径用a表示，是曲率的导数，即a。 dsK曲率定义是：K所谓曲率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K。 如何推导曲率？ 课本典型题：

2扩展

三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。

微分中值定理这部分看起来特别重要。因为它涉及到几个定理。 罗尔定理常用于以下几种题：

1 f'(x)在（a，b）上是否存在零点？显然，只要找到f(a)f(b)的a和b即可。找到了还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知罗尔定理f(x)(x1)(x2)(x3)，说明f'(x)0有几个实根？范围是什么？等。 拉格朗日中值定理柯西定理2 证明f(x)在（a，b）上是否存在零点？注意1是f'(x)是否存在零点。故可以求出F(x)f(x)dx，这样就成了求F'(x)在(a,b)上是否存在零点。和1一样的方法了。

3 证明f(x)的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x11 证明P(a,b)F(a,b)Q(a,b)，想办法把整个式子都变变形，最重要的是

把F(a,b)变成两个同函数相减的方式，f(b)f(a)的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。 柯西中值定理常用于证明不等式：

F(x)1或1的形式。因为柯西中G(x)1 证明P(x)Q(x) 方法：把原式转换成

值定理实质是两个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成减的形式。然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了

证明函数恒等f(x)g(x)，x(a,b)

证明原则： 1 f'(x)g'(x)，x(a,b)【当然还有个条件就是f,g在(a,b)存在导数】

2 找到任意一点x0(a,b)，使得f(x0)g(x0) 如果x[a,b]还需要验证f(x),g(x)在[a,b]连续

2洛必达法则应用有两个条件

f(x)0lim或者lim g(x)0① lim② limf'(x)A，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不g'(x)能是诸如Alimsin()之类的没具体的玩意。但是注意，如果用洛必达法

x01x则算出就是这类没具体的玩意，也不能证明该函数除法式无极限。只能证明洛必达法则此时适用性太小。 3洛必达法则应用

① 求1的七种类型的未定式极限 ② 确定无穷小的阶是多少

C0,k0，则称β是α的K阶无穷小。 kK阶无穷小的定义：若lim无穷小阶的运算法则：

设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则有： f(x)+g(x)是x的min( n , m )阶无穷小 f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小

f(x)/g(x)是x的abs( n - m)阶无穷小

这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。 泰勒中值定理的来源想象：

任何一个函数f(x)，在0点附近都可以曲线化直的表示成

f(0)f'(0)f''(0)f(n)(0),b1,b2...bn用导数一算，恰好有b0 0!1!2!n!故在x0点处可得泰勒展开公式：

（前提：f(x)在含x0的某个开区间（a , b）上具有（n+1）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项）

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)nRn(x)2!n!当n=0时，f(x)f(x0)f'()(xx0)其中f'()(xx0)是n=0时的拉格朗日余项

拉格朗日余项为：

换成表示为：x0(xx0),(0,1)这样表示很常见 （不要求精确时）可使用佩亚诺余项：

Rn(x)o[(xx0)n]（注意：不是拉格朗日余项的n+1次方）

最开始推导时，x在0处的仿f（x）多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。

使用迈克劳林公式时，对应拉格朗日余项可以改为

f(n1)(x)n1Rn(x)x,(0,1)但是注意这仅是迈克劳林时用。故可

(n1)!以不记这个特殊形式的式子。只记基本的式子 佩亚诺余项x0=0即可。

※常用的麦克劳林公式（泰勒公式涉及大量运算，而却常考这几个式子的变形）

2n1x3x5xsinxx...(1)n1R2n(x)显然n从1开3!5!(2n1)!始

x2x4(1)nx2ncosx1...R2n1(x)显然n从0开始 2!4!(2n)!nx2x3x4n1xln(1x)x...(1)Rn(x)显然n从1开始 234n（1x）1x(1)x22!n!(1)(2)x33!... (1)(2)...(n1)xnRn(x)显然n从0开始 x2xne1x...Rn(x)麦克劳林展开式比较容易，可以现用2!n!x现推导

大体记一下，然后根据推出的前两个值就能想到全部的结论。一般第二个值如果是负的，就说明会有（-1）^（k+1）次方等注意。 扩展：

本节课的“泰勒公式（及其扩展公式）”可以做什么？

1 对型的函数式，可以用泰勒公式求极限，还可以用来确定无穷小的阶。

00①设limf(x)limg(x)0，并有泰勒公式：

xaxaf(x)A(xa)no((xa)n)，其中xa，A为非零常数

g(x)B(xa)mo((xa)m)，其中xa，B为非零常数

A,nmB　　f(x)，显然这个得零是因为f比g更快趋近于0而已 0　　,nm　limg(x)xa　　,nm求极限的情况一般都是两个无关的函数相减。如cosx-ln(1+x)啊，cosx-e^x啊，很多式子还伴随的是除法形式，因为这样能将多余的无穷小系数给约为0.举例中的x是bx，x^t的变形式。

②若求得泰勒公式f(x)A(xa)no((xa)n)，则x→a时，f(x)是x-a的n阶无穷小

2由泰勒公式求f(n)(x0)

其实就是将f(x)用泰勒公式展开后得到第n阶的通项公式，显然为

Anxnf(n)(x0)xn,因此f(n)(x0)显然值为An导出即可。注意的是，有时候并n!n!不能得出f(n)(1)nx2nxnAn，(x0)。而是其他形式，如展开式n阶通项为

n!n!(2n)显然结果是f(1)n(0)(2n)!。得出的结果奇形怪状的都有，有些n是从

n!3,开始的，这时候就还得考虑f'(),f''()等。因此也要注意考虑n。 3由f(x)含佩亚诺余项的泰勒公式可以得到f(bx)，f(xm)的含佩亚诺余项的泰勒公式，其中b为常数，m为自然数，只需令tbx,txm即可。 显然在佩亚诺余项上f(bx)，f(xm)可以随意换项。

4在求f(x)g(x)的三阶麦克劳林式时，显然分别展开3阶的结果为

f(x)g(x)=(A0+A1x+A2x2+A3x3+O[X3])*(B0+B1x+B2x2+B3x3+O[X3])

将其乘开时为取三阶麦克劳林式，只需加阶数3的式子即可

本节在泰勒公式的变形灵活运用上掌握的不好。本节涉及大量运算，但大部分都是前面给出的五个基本公式的变形。因此一定要熟练背诵使用 寻找拐点还是划分单调区间的点，都是找f’’(x)或者f’(x)等于0，或者不存在的点。定义要求是在（开区间）可导，闭区间连续，但是得到的范围就按连续的区间来，即[闭区间] 1根据定义，求极值总结的三种方法： ①基本定义f(x)f(x0) ②f'(x0)两端异号 ③f'(x0)0,f''(x0)0

若f''(x0)0则f(x)在x0处可能是最大最小值也可能没有极值。说不准。

2可导函数求极值（或最值）的步骤： ①求出导数f'(x)

②求出f'(x)=0的驻点和不可导点。（如果是求最值还要求定义域端点）

③得出点后求极值要判断驻点不可导点两端导数是否异号。异号的话则该点为极值点。

（求最值还可以不看导数两旁异号，直接带进去求出所有值就比较出最大最小值了）

3若在（任意的一个）定义区间内只有一个驻点是极值点，那么它也一定是最值点。

本节计算实在不过关。对函数的大量运算掌握不精通。 来源：显然，dsx2limy2

x0参数方程表达式

来源：y''Kd(y'tan)d...，而弧微分中已经求出ds...，故

dxdxds。。就导出来了。这样计算曲率带入公式就很方便了 。d推导参数方程曲率的时候，注意y''''''''(分母是三次方）另外，3'注意结果是绝对值，我在运算时经常忘记变正，带着负号算，特别费力。 求解参数方程的曲率时运算量特别大，一定要一步一步及其谨慎。