暴露思维过程案例分析

不等式exx1”和“ln(x+1)x”的应用

魏立国

江苏省响水中学高数组

内容摘要：“exx1和ln(x1)x,(x1)”

这两个基本结论，在有些不等式放缩中所起的作用，真是妙不可言，本文将试图通过案例来说明它在不等式放缩中的应用。—、不等式

“ex1”和“ln(x1)x””的证明。二、案例分析三、案例反思

x

多少年来，不等式“a式“ex2b2ab2”早已被人们应用得出神入化，对于不等

x1和ln(x1)x,(x1)”的应用却很少有人光顾。其实这两个基本

结论，在有些不等式放缩中所起的作用，真是妙不可言，本文将试图通过案例来说明它在不等式放缩中的应用。

x“e—、不等式

x1”和“ln(x1)x””的证明。

xx“e对于x1”的证明，只须构造函数(x)ex1，则

// /(x)e1，令

x(x)0，x0，x(-,0),(x)＜0，x(0，，)(x＞)，0

/所以，(x)(0)x“ex1”。对于“ln(x1)x””的证明，只需当0.即证得

x“ex1”两边取对数即可。显然，这两个不等式从本质上是相x1＞0时，对

通的。

二、案例分析 案例1：

给定数列｛xn｝，其中x1lga343a,xn1xn22(xn1),(n1,2,)，求证：如果a3，

那么，当n≥

lg时，必有xn13。

1

这道题是1984年高考第八道第（3）小问，据说当年全国没有多少中学老师能做，二十多年来，第（3）小问除了官方提供的一种反证法外，笔者还没有看到有正面证明方法的报道。2009年6月高考前，我为了让学生领略一下反证法证明的精秒，特选此题，让同学们思考。我说哪一位同学会做，同学甲说，先用不动点法，求xn1。

xnn即：

xn1xn122(xn1)xn2xn222(xn1)21(12a)2n2(xn2)x12(x12)2na2n(a2)2n，

xn1，欲证xn13，即

21(12a)2n<3，也就是(12a)2n13”。再向

下怎么做，同学甲也做不下去了，我也认为不好做，正想准备收场，来展示一下反证法的精秒之处。可是一位同学乙说：用老师总结过的ex2a2a2nx1基本结论可以

lna343做。即证(1)2ne，即证，e2n1a13，2n1aln13，a<

2n1ln3。由n≥

ln，

∴a≤3(43)n，即证：3(43)n<

2n1ln3，即3(23)n<

2ln3，①当n≥2时，

lga3432n3()3≤，即

3443<

2ln3，也就是，ln9<3，显然成立。②当n=1时，由1≥

lg2a)2n，a>3，

得4≥a>3，而(1(12a)21413,xn13。

同学乙能从正面做出来，这是我始料未及的。可以说这位同学已把“ex结论运用得出神入化。 说明：案例1的关键如何把“1型。说明同学乙真正把ex2ax1”

”放大为“e2a”,即把“1x”型 放大为“ex”

x1结论用活了。这个案例也告诉我们，老师要相信

学生，学生的潜力是巨大的。

案例2 ： 已知函数求

f(x)exx(e为自然对数的底数)

f(x)的最小值。

2

n设nN*，探究k1(kn)n的整数部分的值，并证明你的结论。

（2008年江苏省姜堰中学最后一卷压轴题） 分析、（1）由

f(x)exx，即，f(x)1 .

(2)该小问看上去无法下手,其实,一道压轴题的前面小问,往往就是下面小问的阶梯,当你无法入手的时候看能否利用前面小问。第(1)问的实质,就是ex项(kn)nx1.对通

如何使用exx1呢？只要根据不等式的基本结构对号入座，kn通项中根

本没有e，只能在谁是1x上下功夫，底数是只能试试看，如把

kn，指数是n，究竟谁写成1x，

knnknnnnkn写成1knn，则，

()(1nkn)(e)e,(kN),你会

*立刻意识到原来的和式可放缩成等比数列前n项和。如把((kn)n11kn)n放缩成

(kn)nen1或(kn)(nnkn11)(nken1)n

ek11或nnnk1，对解题都没有什么实际意义。

1ekn1e1en(n)k1eknnknnk1(en)nk1e(n1)e111111e

ne1＜２，又(n)1k1knkn(n)整数部分为k1n1.

x1应用的意识。即把“

kn案例2的关键是要关注第一小问，要有对不等式ex写成“1案例3. 求证：ne＜2n+12n2”

knn”形式。事实上，本题在分析过程中，足以看出exx1的作用。

1.3,(nN)

*（2008年江苏省响水中学最后一卷压轴题）

1 分析:本题用en1n1没有用。用数学归纳法也不容易找到从nk成立到

nk1也成立的因果关系。对于基本不等式也很难找到解决问题的切入点。这

时候我们就想能否通过构造函数，把离散型变为连续型，利用导数去研究。由

3

1neen，在构造函数时，可以把

x21n看成x，这样可减少求导后的繁琐运算。令

(x)exx21.3.

x(0,1].(x)e1x1n/x，则一眼看出，(x)/＞0，

n(x)(1)e1121.3e2.8＜0,(0,1](n)＜0e＜2n+12n21.3。

说明：案例3的关键学会构造合适的函数，在求导过程中，巧用了不等式

ex1。

x案例4

（2011年清华大学自主招生试题）已知函数令x112，xn1f(xn)f(x)12，f(1)1，f()axb232x。

。

(I)求数列{xn}的通项公式； (II)证明x1x2xn112e。

22n1分析：仅分析第二小问由（1）可知xn12x1x2xn11212211n11，证明x1x212xn112e，即证

12ne，也就是e212nn,e(1)(1122)(1)，

21即

1ln(112)ln(1121121222)ln(11212n12n),由ln(1x)x得，即证1>1212212n12n2(11)1,原命题显然成立。

说明：案例4的关键是将代数式ln(1ln(1x)x12)ln(1122)ln(112n)使用了不等式

进行放缩，让一道清华大学自主招生数学难题，显得平淡无奇。

案例5.

已知函数f(x)=ln2(1x)x21x

求函数f(x)的单调区间。

4

若不等式(1+1n)ne对于任意的nN*都成立

（其中e是自然对数的底数）。求α的最大值。（2008年高考数学湖南卷21题） 分析：（1）本题最常规的解法，对

f(x)/f(x)求导，由

，即

2ln(x1)1x2xx(1x)2222(1x)ln(1x)2xx(1x)22，令

f(x)0/2(1+x)ln(1+x)-2x-x0，(x＞1).但解这个方程，几乎就无法入手，是不是这

个方程初等方法就不能解呢？现在不能下这一结论。至少说我们常人很难解，此时，我们应该换位思考，是不是f/(x)0根本就没有根，这一想法是错误的。因为，我们一眼看出0就是它的一个根，那么是不是只有一根为0呢？是否还有其

它的根呢？显然，接下来的工作，必须研究(x)=2(1+x)ln(1+x)-2x-x2的单调性。 由(x)/(x)0/2ln(x1)222x2[ln(x1)x],

ln(x1)x(0)0，

立刻意识到

x(0,)，而(0)0,当

x(1,0)时，(x)＞当时，

(x)＜(0)0∴当x(1,0)时, 。f(x)单调递增，当x(0,)时,f(x)单调递减。

（2）略 案例6：

已知函数当n当af(x)1(1x)naln(x1),其中nN,a*为常数。

2时，求函数

f(x)的极值。 ，当x21时，对任意正整数n时，有f(x)x1.

（2008年山东高考卷21题） 只分析第（2）小题。当a1(1x)n1时，f(x)1(1x)nln(x1),欲证f(x)x1.即证：

ln(x1)x1.x2由

ln(x-1)立刻意识到，

1ln(x-1)=ln[(x-2)+1]x-2.即证：1.x2n(1x)，显然成立。

x说明：对于案例5利用导数判断函数单调性的时候。不等式“ln(x1)决定性的作用。对于案例6第（2）小问，如果我们脑中有不等式ln(x

5

”起了

1)x这一基本模型，当看到ln(x1)就会立刻意识到ln(x1)x2，那么，第（2）

小问就显得非常简单。

三、案例反思

1、从上面案例可以看出，解决问题最关键的地方都是使用了不等式

“ex1”和“ln(x1)x””“ex1”“ln(x+1)x,(x1＞0)”，所以。而

xx我们可以说它们是多题一解，是一个具有普适性的思考规律。

2、要提高学生的思维水平，有必要引领学生探索发现常见的、具有普适性的思考规律。有助于学生解题少走弯路，更好更快地找到解题捷径。

3、教师要注重在课堂教学中将自身是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思维过程展示给学生，使学生理解和认识知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到思考、分析和解决问题的思想方法和步骤，培养和提高学生思维的能力。 参考文献：《黄河清中学数学问题导学教学策略》

2012年《数学教学》第五期

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