井陉县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|A．(1,1)

B．(1,1]

C．[1,2)

D．[1,2]x20}，则A(CRB)等于（ ）x1【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.

2． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ 120.51x）

yzA．1　

3． 函数A．{x|1＜x≤4}

B．{x|1＜x≤4，且x≠2}

B．2

C．3

D．4

的定义域为（

）

C．{x|1≤x≤4，且x≠2}D．{x|x≥4}

4． 如果集合 A,B，同时满足AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1,就称有序集对

A,B为“ 好集对”. 这里有序集对A,B是指当AB时，A,B和B,A是不同的集对， 那么

“好集对” 一共有（ A．个

）个

B．个

C．个

展开式中x﹣3的系数为（

）

D．个

5． 487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320B．﹣4320C．20

D．﹣20

6． 已知两条直线L1:yx,L2:axy0，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,时，的取值范围是（ A． 0,1

）

内变动123B．3,3

3C．3,11,3

D．1,37． 已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（

）

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A．B．C．D．

8． 函数f（x）=tan（2x+），则（

，，，，

）

）是增函数）是减函数）是减函数）是增函数

）

A．函数最小正周期为π，且在（﹣B．函数最小正周期为

，且在（﹣

C．函数最小正周期为π，且在（D．函数最小正周期为

，且在（

9． 命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是（ A．∀x∈R，x2﹣x+2≥0

B．∃x∈R，x2﹣x+2≥0

C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0　

10．已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　

x2y2

11．已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2a，则双曲线C的离心率为（ ）被双曲线C截得劣弧长为321042436A． B． C． D．555512．“pq为真”是“p为假”的（ A．充分不必要

）条件

C．充要

D．既不充分也不必要

B．必要不充分

二、填空题

值为 13．设平面向量aii1,2,3,，满足ai1且a1a20，则a1a2 .【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.

，a1a2a3的最大

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14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为　　．的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在

15．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是　　．　

16．设f（x）是（x2+

）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[

，

，

]上恒成立，则实数m的取值范

围是　　　　　　．　

17．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是　　　　　　．　

18．若关于x，y的不等式组．　

（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k=　　　三、解答题

19．已知f（α）=（1）化简f（α）；

（2）若f（α）=﹣2，求sinαcosα+cos2α的值．

，

20．计算：（1）8（2）

+（﹣

）0﹣

；

lg25+lg2﹣log29×log32．

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21．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．

22．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转（Ⅰ）求点A的坐标；

后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．

（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，　

]的值域．

23．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

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24．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

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井陉县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】C

2． 【答案】A

【解析】解：因为每一纵列成等比数列，所以第一列的第3，4，5个数分别是，，第三列的第3，4，5个数分别是，，．

又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，，所以y=

，

，．

．

第5行的第1、3个数分别为所以z=

．

+

=1．

所以x+y+z=+故选：A．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．　

3． 【答案】B

【解析】解：要使函数有意义，只须，

即，

解得1＜x≤4且x≠2，

∴函数f（x）的定义域为{x|1＜x≤4且x≠2}．故选B　

4． 【答案】B【解析】

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试题分析：因为AB1,2,3,4，AB=1,A1,B1，所以当A{1,2}时，B{1,2,4}；当

A{1,3}时，B{1,2,4}；当A{1,4}时，B{1,2,3}；当A{1,2,3}时，B{1,4}；当A{1,2,4}时，B{1,3}；当A{1,3,4}时，B{1,2}；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.

考点：元素与集合的关系的判断.

【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]

5． 【答案】B

解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7），∴a=6，∴

展开式的通项为Tr+1=

，

﹣

+…+

﹣1，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴

故选：B．.6． 【答案】C【解析】1111]

试题分析：由直线方程L1:yx，可得直线的倾斜角为45，又因为这两条直线的夹角在0,直线L2:axy0的倾斜角的取值范围是3060且

000展开式中x﹣3的系数为=﹣4320，

，所以12450，所以直线的斜率为

tan300atan600且tan450，即考点：直线的倾斜角与斜率.7． 【答案】B

【解析】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=

3a1或1a3，故选C.3第 7 页，共 16 页

从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax与

∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B　

8． 【答案】D

【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+在（

，

）上，2x+

∈（

），它的最小正周期为，

，

）单调递增，

），函数f（x）=tan（2x+

故选：D．　

9． 【答案】B

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是∃x∈R，x2﹣x+2≥0．故选：B．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．　

10．【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．　

11．【答案】B

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考点：双曲线的性质．12．【答案】B【解析】

试题分析：因为p假真时，pq真，此时p为真，所以，“pq 真”不能得“p为假”，而“p为假”时p为真，必有“pq 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.

二、填空题

13．【答案】2，21.

222【解析】∵a1a2a12a1a2a21012，∴a1a22，222而a1a2a3(a1a2)2(a1a2)a3a32221cosa1a2,a31322，∴a1a2a321，当且仅当a1a2与a3方向相同时等号成立，故填：2，21.

14．【答案】　2

　．

【解析】解：如图所示，连接A1C1，B1D1，相交于点O．则点O为球心，OA=

．

x．

+x2=

，

设正方体的边长为x，则A1O=

在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：解得x=

．

∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=故答案为：2

．

=2．

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15．【答案】　

【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=1）

令3﹣x=t，t∈（2，3），∴S=立；故答案为：

．=

=

，当且仅当t=即t=2

时等号成

=

，（0＜x＜

　．

16．【答案】　[5，+∞）　．　

【解析】二项式定理．

【专题】概率与统计；二项式定理．

=x3，【分析】由题意可得 f（x）再由条件可得m≥x2 在区间[]上的最大值，可得m的范围．【解答】解：由题意可得 f（x）=由f（x）≤mx在区间[由于x2在区间[

，

，

x6

=x3．

，

]上恒成立，，

]上恒成立，求得x2在区间[

，

]上恒成立，可得m≥x2 在区间[

]上的最大值为 5，故m≥5，

即m的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问

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题，属于中档题．17．【答案】　

　．

，

【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2∴m+n≥6，则d=故答案为：

．

≥3

．

，

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．　

18．【答案】　﹣1或0　．

【解析】解：满足约束条件

的可行域如下图阴影部分所示：

kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x，y的不等式组

（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，

可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1综上k=﹣1或0故答案为：﹣1或0

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【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx﹣y+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）f（α）=

=

=﹣tanα；…5（分）（2）∵f（α）=﹣2，∴tanα=2，…6（分）∴sinαcosα+cos2α====

．…10（分）

20．【答案】 【解析】解：（1）8+（﹣

）0﹣

=2﹣1+1﹣（3﹣e）=e﹣

．

（2）lg25+lg2﹣log29×log32

==

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=1﹣2=﹣1．…（6分）

【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．　

21．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＝－x2＋ax＋a2ln xa

－2（x＋）（x－a）

2

＝.

x

2a的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋x①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－a，2

由f′（x）＞0得0＜x＜－a.

2

此时f（x）在（0，－a）上单调递增，2

a

在（－，＋∞）上单调递减；

2

②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a，由f′（x）＞0得0＜x＜a，

此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a，∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]，∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，①由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增，∴f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（e）＝－e2＋ae＋e2≤e2，即a≤e，②由①②可得a＝e，故存在a＝e，满足条件．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，

）．

∴tanθ=tan（α+）==，

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∴由解得，

∴点A的坐标为（，）．

（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x==

sin（2x+

）

∈[

，

]，

sin2x+

cos2x

由x∈[0，∴sin（2x+

]，可得2x+）∈[﹣

，1]，

，

]．

∴函数f（x）的值域为[﹣

【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．　

23．【答案】

【解析】

【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；

【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为　

24．【答案】

【解析】

【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，

，即x+2y﹣6=0．

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所以．

，

，

．

，

．，即

．

，B（3，3，0），C（0，3，0），

由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则令

，则=

．

为平面BDE的法向量，

因为AC⊥平面BDE，所以所以cos

．

．

．…（8分）

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，

所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当

时，AM∥平面BEF．…（12分）

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