湖南省衡阳市高三下学期数学一模试卷附解析

一、单项选择题

1.假设复数 满足

，那么

〔 〕

A. B. C. 1 D. 5 2.

、

为

的子集，假设

，

，那么满足题意的

的个数为〔 〕

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

3.衡阳创立“全国卫生文明城市〞活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾〞、“可回收垃圾〞、“其它垃圾〞三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，那么恰好有一袋垃圾投对的概率为〔 〕

A. B. C. D. 4.二项式

的展开式中常数项为-20，那么含

项的系数为〔 〕

A. -6 B. -15 C. 6 D. 15 5.设 A. 6.非零向量

， ，

，那么

B. ，

满足

，

，

的大小关系为〔 〕

D. ，

，那么

在

上的投影为

C. ，

，

的夹角为

〔 〕 A. 2 B. 7.设

、

是双曲线

，且

C. 3 D. 4

的左、右焦点，

为坐标原点，假设

上存在点

，使得 A. 8.函数 ，

是

与

，那么此双曲线的离心率为〔

C. 2 D. 〕，将

的图像向右平移

个单位得到函数

的图像，点

，

B.

〔

图像的连续相邻三个交点，假设 是钝角三角形，那么 的取值范围为

〔 〕 A.

B.

C.

D.

二、多项选择题

9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的效劳范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某 商城统计了5个月的5G 销量，如下表所示： 月份 2021年6月 2021年7月 2021年8月 2021年9月 2021年10月 2 95 3 4 185 5 227 ，那么以下说法正确的选项是

月份编号 1 销量 /部 52 假设 与 线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 〔 〕

A. 5G 的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B.

C. 与 正相关

D. 预计12月份该 商城的5G 销量约为328部 10.设数列

的前 项和为

，假设

为常数，那么称数列

为“桔祥数列〞.那么以下数列

为“桔祥数列〞的有〔 〕 A. 11.抛物线

B. ：

〔

C.

〕，过其准线上的点

作

D.

、

，

的两条切线，切点分别为

以下说法正确的选项是〔 〕 A. 12.函数 A. C.

B.

C. 直线

的斜率为

D. 线段

中点的横坐标为1

，以下结论正确的选项是〔 〕

是偶函数 B. 在区间

上单调递减 D.

最小值为2

的零点个数为5

三、填空题

13.使得“ 14.定义在

〞成立的一个充分条件是________. 上的函数

，

满足

________.

15.设圆锥的顶点为

，三棱锥

为圆锥底面圆

的直径，点

为圆

上的一点〔异于

、

〕，假设

，

的导函数

，那么

的外接球外表积为 ，那么圆锥的体积为________.

16.阿波罗尼期〔约公元前262-190年〕证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数

的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.假设平面内两定点

满足

，那么动点

的轨迹所围成的图形的面积为________；

、

间的距离为4，动点 最大值是________.

四、解答题

17.

中，角

，

，

的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等差数列.

〔1〕假设 〔2〕求 18.

，求 ；

的取值范围.

，

为等差数列. 的前 项和.

.

数列满足

〔1〕证明：数列 〔2〕求数列

19.槟榔芋又名香芋，衡阳市境内主要产于祁东县.槟榔芋富含淀粉、蛋白质、脂肪和多种维生素，可加工成芋兰片，芋丝等副食品，深受广阔消费者喜爱.衡阳市某超市购进一批祁东槟榔芋，并随机抽取了50个统计其质量，得到的结果如下表所示： 质量/克 数量/个 2 5 12 22 6 3 〔1〕假设购进这批槟榔芋100千克，同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这批槟榔芋的数量〔所得结果四舍五入保存整数〕；

〔2〕以频率估计概率，假设在购进的这批槟榔芋中，随机挑选3个，记3个槟榔芋中质量在 的槟榔芋数量为随机变量 20.如图，直四棱柱

，点

在平面

，求

的分布列和数学期望

，底面 上，且

.

，

间

是边长为2的菱形， 平面

.

〔1〕求 〔2〕假设 21.圆 〔1〕求 〔2〕设点

：

的长； 为

的中点，求

与圆

与平面 ：

所成角的正弦值.

的公共点的轨迹为曲线

.

的方程； 为圆

：

上任意点，且圆

在点

处的切线与

交于

，

两点.试问：

是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由.

22.函数 〔1〕当

， 时，求函数

，其中

，

.

的最大值；

〔2〕是否存在实数 ，使得只有唯一的 ，当 的值；假设不存在，请说明理由.

时， 恒成立，假设存在，试求出 ，

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】方法一：两边取模可得： 方法二：由题知 故答案为：C

【分析】先表示出复数 ， 然后利用 复数的运算性质求解即可。 2.【解析】【解答】因为 画出韦恩图如图，

、

为

的子集，且

，

，

.

.

可知， 因为 故

的子集有

， ， 个.

故答案为：D

【分析】根据题意可得出数。

3.【解析】【解答】3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有

种情形，由古典概型计算公式得三袋

， 然后可求出集合N的子集个数为8，从而可得出满足题意的M的个

恰投对一袋垃圾的概率为 故答案为：D.

，

【分析】第一步选投对的一袋，剩下两袋投错只有一种方法，得方法数，再求出任意投放的方法数相除可得概率。

4.【解析】【解答】二项式 当 令

故答案为：A

时，为常数项.那么

，得

，所以含

项的系数

的展开式生的通项公式为

，

.

【分析】求出展开式的通项公式，令次数为0，先求出a的值，然后令次数为4，求出k的值即可。 5.【解析】【解答】易知： 所以

故答案为：C．

【分析】由得a>1,b>0且a+b=2，然后结合根本不等式与中间1比较，用不等式的性质比较大小可得。 6.【解析】【解答】由 所以 所以

在

上的投影为

，可得

．

,

，

，

，显然成立.

故答案为：B

【分析】根据条件从 而在

上的投影为

，

， 结合数量积的定义可得

， 得出答案。 ，

，

，那么

，

，

，所以

，可得

.

，

，

，

7.【解析】【解答】设 在 得 由于 可得 即

所以，该双曲线的离心率为 故答案为：A.

【分析】设

，

中，由

，利用余弦定理结合双曲线的定义得出，推导出

，利用平面向量数量积的计算可得出a2与b2的等量关系，利用双曲线的离线率公式可

求得结果。

8.【解析】【解答】由题意得，

，作出两个函数图像，如图：

， ， 为连续三交点，〔不妨设

是以 ，整理得

，那么 ， ，

为钝角三角形，

，

，

，

在 轴下方〕， 为 的中点，

，

由对称性，那么 由 解得 即 所以 因为 那么 所以 解得 故答案为：B.

【分析】由题意可得么

，由

为顶角的等腰三角形，

，

，

,作出两个函数图像，设为

，可得即可，由

的中点，由对称性，那

，要使

即可得解

的取值范

，可得

为钝角三角形，只需

围。

二、多项选择题

9.【解析】【解答】由表中数据可知 又因为回归方程为 代入回归方程，解得

， ，

，

所以 解得

，

，

由此知5G 的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右， 将 因为

代入回归方程得

，

，所以 与 正相关，

故答案为：BCD.

【分析】利用回归直线方程的性质判断A；通过求得，得到 ，即可求得a值判断B；再有x的系数判断C；取

求得值判断D。

，

，

，

10.【解析】【解答】对于A，

所以 不为常数，A不正确；

对于B，由并项求和法知： 对于C， 所以 对于D， 所以

故答案为：BC.

，C符合题意；

， ，

， ，

，

，B符合题意；

， ， ，

不为常数，D不符合题意；

【分析】利用题中的新定义，对选项进行逐一判断，即可得出答案。 11.【解析】【解答】易知准线方程为 设直线 得 设 故 设

，

，代入 ，当直线与

斜率分别为

，

， 相切时，有

，

，即

是上述方程两根，故

，

，

，∴

，

：

，故答案为：项A不正确.

，易知

.故答案为：项B符合题意. ， .

，其中

，

.那么

：

，即

代入点 故

：

，得

，故

，同理可得 ，

. 故答案为：项C符合题意.

由 意.

故答案为：BCD

，得 ，即 中点横坐标为1. 故答案为：项D符合题

【分析】由抛物线准线上的点的坐标可得参数p的值，可判断A不正确；

设过T得切线的方程与抛物线联立，由判别式为0可得切线斜率的二次方程，可得斜率之积为-1，可判断B正确； 设

， ，代入点

可判断C正确；

将A，B的坐标代入抛物线的方程，做差可得直线AB的斜率，由C可得线段AB的中点，横坐标的值，可判断D正确。

12.【解析】【解答】∵ ， ，∴ 是偶函数，A符合题意； 因为 ，由函数的奇偶性与周期性，只须研究 在 上图像变化情况.

，

，其中

，

.那么

：

，即

可得切线TA方程，同理可得切线TB的方程，进而可得直线AB的斜率，

当 ， ；

，那么 在 上单调递增，在 上单调递减，此时

当 时，

上单调递减，此时

，那么 ，故当 是偶函数，故

在

时， 在

上单调递增，在

，B符合题意. 上单调递增，C不符合题

因 意.

在 上单调递减，又

对于D，转化为

上单调递增，在

实根. 程之根. 就这段图象， 1个零点，由图像知

时，

根的个数问题.因

上单调递减.当

在 上单调递增，在 时，

，

上单调递减，在

， ，显然

无为方，单独

在

内有

，

，

，

在

在

无实根， ，

上变化趋势为先快扣慢，故

内有3个零点，又 ，结合图象，知D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】通过分析函数的根本性质得出结论，以及通过数形结合分析零点个数。 三、填空题

13.【解析】【解答】由于 使得“

，故

等价于

，解得： 的子集即可，

，

〞成立的一个充分条件只需为集合

故答案可以为： 故答案为：

【分析】根据不等式的解法，先求出不等式的等价条件，利用充分条件的定义转化为集合关系即可。 14.【解析】【解答】因为 两边同时求导可得： 故

故答案为：0

【分析】将所给的等式两边同时求导，再令x=-2021即可得到答案。 15.【解析】【解答】设圆锥

的外接球球心为

，那么

在直线

上，

.

， ，

设球 的半径为 ，那么 ，解得 ，即 ，解得

或

.

，可得 .

，

由勾股定理得 即

当 当

时，圆锥 时，圆锥

的体积为 的体积为

.

；

故答案为：24π或8π.

【分析】画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积。 16.【解析】【解答】以经过 图，

，

的直线为 轴，线段

的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，如

那么 ， ，设 ， ，∴ ，

得：

其面积为12π.

，如图当

，故

故答案为：12π；

【分析】以经过 值。 四、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕由等差数列得

，可求得角B； ，

的直线为 轴，线段

.

，点 的轨迹为圆〔如图〕，

位于点 时，

.

最大， 最大值为

最大值是

的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方

，结合P在圆上可得最大

程，可得半径，从而得面积，由利用向量数量积的坐标表示求出

，由正弦定理化边为角，利用 得

〔2〕由余弦定理 及 的范围，从而得B角范围。 18.【解析】【分析】〔1〕将

表示出 ， 用根本不等式得

两边同时除以 ， 即可证数列 为等差数列；

〔2〕利用〔1〕的结论可求出数列 的通项公式，再利用乘公比错位相减求和。

19.【解析】【分析】〔1〕由频率分布表可求得每个槟榔芋的平均质量，从而可估计这批评槟榔芋的数量； 〔2〕

所有可能取值为0，1，2，3 ，分别求出对应的概率，即可得分布列和数学期望。

20.【解析】【分析】〔1〕建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面

的法向量，然后利用点到直线的计算公式求解即可；

〔2〕利用待定系数法求出平面 夹角进行求解即可。

21.【解析】【分析】〔1〕 设公共点为 ， 那么 得到点p的轨迹为椭圆，然后再求椭圆的标准方程即可； 〔2〕 当直线 设

：

斜率不存在时 ，可得

， 当直线

斜率存在，

，

，利用椭圆的定义即可

的法向量，然后将

与平面

所成角转化为两个法向量的

， 把直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m

， 从而可求得

。

与k的关系，利用向量的坐标表示证明

22.【解析】【分析】〔1〕由 〔2〕将

时，

，

得到

恒成立， 转化为

分

，

， 再利用导数法求解；

恒成立， 求导

，

，

四种情况讨论求解。