第二章综合能力检测

编撰 许世君

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的)

1．已知点F1(－4,0)、F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为( )

x2y2x2y2y2x2y2x2

A.－＝1(x≥3) B.－＝1 C.－＝1(y≥3) D.－＝1 979797972．(2010·四川文，3)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1

B．2 C．4

D．8

x2y2x2y2

3．椭圆＋2＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )

9kk3A．k>3 C．k＝2

B．2x2y2

4．F1、F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2

ab的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( )

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 y2x|x|

5．直线y＝x＋3与曲线－＝1( )

94A．没有交点

B．只有一个交点 C．有两个交点

D．有三个交点

x2y2x2y2

6．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)与双曲线2－2＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和

abmn(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是( ) A.3

3

B.21

C. 24

1

D. 2

7．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A．(1,0)

1

B．(，0) C．(－1,0)

16

1

D．(0，－)

16

8．已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若

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△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是( )

A．4x＋6y－28＝0 B．5x－6y－28＝0 C．6x＋5y－28＝0 D．6x－5y－28＝0 1

9．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点

2合，则此椭圆方程为( )

x2y2

A.＋＝1 43

x2y2x22

B.＋＝1 C.＋y＝1 862

x22

D.＋y＝1 4

x2y2

10．过点C(4,0)的直线与双曲线－＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k

412的取值范围是( )

A．|k|≥1 C．|k|≤3

B．|k|>3 D．|k|<1

x2y2

11．(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭

43→→

圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( )

A．2 C．6

B．3 D．8

ab2212.已知F1,F2是椭圆x2y21(ab0)的左、右两焦点，e为半焦距，若该椭圆上存在

一点P使csinPF2F1，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )

asinPF1F2

A．[21,1) B．(0,21) C．(2,1) 2D．(21,1)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) x2y2

13．双曲线－＝1上一点P到它的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距

259离为____________．

x2y2

14．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为________．

5m15．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.

16．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2(5，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是________．

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) x2y2

17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1的一个

ab3

焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，6)，求

2抛物线方程和双曲线方程．

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18.（本小题满分12分）

已知两点A(0,3)，B(0,3). 曲线G上的动点P(x,y)使得直线PA、PB的斜率之积为.

(I)求G的方程；

(II)过点C(0,1)的直线与G相交于E、F两点，且EC2CF，求直线EF的方程.

x2y2

19．(本小题满分12分)(2010·辽宁理，20)设椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的右焦点为F，过

ab→→

F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.

(1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|＝

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3415

，求椭圆C的方程． 4

20.（本小题满分14分）

已知两点F1(2,0)、F2(2,0)，曲线C上的动点P(x,y)满足PF1PF2|PF1||PF2|2. (I)求曲线C的方程；

(II)设直线l:ykxm(k0)，对定点A(0,1)，是否存在实数m，使直线l与曲线C有两个不同的交点M、N，满足|AM||AN|? 若存在，求出m的范围；若不存在，请说明 理由.

21.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程（2）若直线L:y=kx+m与椭圆C相较于A、B两点，（A、B不是左右顶点），且以AB为直径 的圆过椭圆C右顶点D,求证：直线L过定点，并求出该定点

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