上海数学试卷（理）
一、填空题（56分）：
1．计算：2．若集合
（为虚数单位）。
，
，则
。
3．函数4．若数值表示）。
的值域是 。
是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函
5．在的二项展开式中，常数项等于 。
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、
，则
为公比的等比数列，体积分别记为 。
7．已知函数
是增函数，则的取值范围是 。 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为9．已知
是奇函数，且
（为常数）。若在区间上
的半圆面，则该圆锥的体积为 。
，若
，则
。
10．如图，在极坐标系中，过点若将的极坐标方程写成
的直线与极轴的夹角的形式，则
。
，
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。
12．在平行四边形中，，边、的长分别为2、
1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围
是 。
13．已知函数函数14．如图，且
大值是 。 二、选择题（20分）： 15．若
A．16．在
（与
的图象是折线段，其中、、，
）的图象与轴围成的图形的面积为 。 是四面体
中互相垂直的棱，
，若
，
，其中、为常数，则四面体的体积的最
是关于的实系数方程
B．中，若
C．
，则
的一个复数根，则（ ）
D．
的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 17．设
，
，随机变量
取值
的概
率均为
，若记A． C．
，随机变量取值
的方差，则（ ）
与
的大小关系与
的概率也均为
分别为 B． D．
的取值有关
18．设，，在中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100 三、解答题（74分）：
19．（6+6=12分）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，求：
（1）三角形（2）异面直线
20．（6+8=14分）已知函数（1）若（2）若（
的面积； 与
，是的中点，已知，，
所成的角的大小。
．
，求的取值范围；
是以2为周期的偶函数，且当）的反函数。
时，有，求函数
21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位
置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船
处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
恰好在失事船正南方向12海里
；②定位后救援船即刻沿
直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为（1）当
时，写出失事船所在位置
．
的纵坐标．若此时两船恰好会合，求
救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系（1）过
的左顶点引
中，已知双曲线
：
．
的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三
角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交（3）设椭圆证：
23．（4+6+8=18分）对于数集定义向量集
，则称
（1）若
，且
具有性质
．例如
，其中
，若对任意具有性质，求的值；
．
，存在
，
，
到直线
：
于
、，若
的距离是定值。
两点，若与圆、
分别是
、
相切，求证：上的动点，且
； ，求
，使得
具有性质
（2）若（3）若公式。
具有性质具有性质
，求证：，且
、
，且当时，；
的通项
（为常数），求有穷数列
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