试题研究 ２０ １ ６年离考一 直线和 范美卿（重庆市育才中学） 张晓斌（重庆市教育科学研究院） 析 摘要：２０ｌ６年高考数学试题中，“直线和圆”的 一、专题基本内容与要求 试题体现出解析几何数与形的基本关系，并在用数解 形、用形解形、用形解数的多个试题和解决问题的方 为分析２０１６年高考数学“直线和网”的命题特 法使用上，体现了数形结合思想的力量．通过分析 点，我们先来看看《（２０１６年普通高等学校招生全围 “直线和圆”的高考试题对学生的基础知识、基本技 统一考试大纲）的说明》（以下统称《考试说明》），其 能、基本思想与方法考查的基本特点，对教师在培养 ｆＩ ｆ“直线和网”的相关内容描述如下． 学生的数学素养方面的尝试提出了几点建议． 关键词：２（）ｌ６年高考；直线和圆；命题分析；数 形关系；模拟题 １．直线与方程 （１）在平面卣角坐标系中，结合具体图形掌握确 定 线位置的几何要素． （２）理解 线的倾斜角和斜率的概念，：擎握过两 高『１ｌ数学解析几何小的“直线和网”部分，主 点的血线斜牢的计算公式． 要内容足直线方程、 的方程、直线 引剜的化嚣关 （３）能根据两条直线的斜率判定这两条Ａ线平行 系、网 同的化 天系．陔部分内容的学习．是高 或垂直． 巾学 运用 两血角坐标系．将思维认识从一维到 （４）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的 二维逐渐丰富的匝要过程，是将函数与方程火系正 确理解 融会 通的过 ，也是不断实践与Ｊ 思数 和彤之间的关系的过程． 线和 是 线与 锥曲 一种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与 次函数的父系． （５）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标． （６）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公 线的根基，也为未来学习窄问解析几何打下基础， 冈此．它的恭础性、重嘤性就小言 喻ｒ．２０ｌ６年 式，会求两平行直线问的距离． 高号数学“直线乖ｆ ”的试题，考 学生通过平ｉｌ可 ２．圆与方程 直角坐标系将 形定位、啦化，利Ｊ＋Ｊ代数（方程、 （１）掌握确定圆的几何要素，：擎握网的标准方程 方程组）手段研究平面简单图形（直线、圆）的基 与－般方程． 本特 及基本父系的能力．考点紧密Ｉ节］绕直线的基 （２）能根据给定直线、网的方程判断直线与网的 本要索、直线力‘程形式、网的方程与网的几何性 位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位 质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系来展 置关系． 开，将数形结合思想、闲数与方程思想渗入考查体 （３）能川直线和网的方程解决一 简单的问题． 现思想性，在学生喜闻乐 的常规题目中体现基础 性，在与其他章节内容的适度融合巾体现综合性， （４）初步ｒ解用代数方法处理几何问题的思想． 根据《考试说明》对“直线和圆”的目标要求， 为体现创新性，存２０１６年“直线和圆”的高考数学 我们可以简单理解为高考试题中“直线和圆”部分考 试题的考查中，也不乏精彩之作． 查的就是对几种关系的考查． 收稿日期：２０Ｉ６—｛）７—０５ 作者简介：范美卿（１９７４—１．男，中学高级教师，主要从事中学数学教育、教学研究 《试题研究 …………………………………………………………………………………………………………………．。 上＝Ｉ。ｌ－Ｉ土 △ ｌ 第一种关系：直线方程、圆的方程是图形与二元 第三种关系：方程与方程的关系．处理这种关系 等式（方程）间的关系，也是数与形的关系，其中有 的方法是通过消元、换元，方程运算求解、变式转 些直线方程还可以是二元变量间的函数关系．处理这 化，由数到数解决问题． 种关系的方法是通过作出图形或转化为方程，由数到 结合解析几何用代数方法解决几何问题的实质， 形或由形到数解决问题． 那么我们就可以找到解析几何试题的显著特点，就是 第二种关系：图形中的点、线、圆之间的关系， 用上面所说的第三种关系解决第二种关系，即用数解 比如点在线上、线外（点到直线距离），点在圆上或圆 决形． 内、圆外，两条直线平行、相交（垂直），直线与圆相 交、相切、相离，圆与圆的各种位置关系，甚至一条 二、专题考点分析 直线与两个圆的关系（两圆相交弦、公切线）等．处 理这种关系的方法是挖掘图形之间的几何关系，由形 到形解决问题． 表１ ２０１６年高考数学一共１９份试卷，“直线和圆”的 内容考查情况如表１所示． 序号 卷别 科别 题型 题号 分值 考点 ｌ ２ 全国Ｉ卷 全国Ⅱ卷 文科 文科 理科 文科 填空题 选择题 选择题 填空题 １５ ６ ４ １５ ５ ５ ５ ５ 直线与圆的位置关系一 到直线的距离公式 圆的方程、点到直线的距离公式 圆的方程、点到直线的距离公式 直线与圆的位置关系 ３ 全国Ⅲ卷 理科 文科 ４ ５ ６ 填空题 选择题 填空题 填空题 选择题 １６ ５ ｌ１ １２ ３ ５ ５ ５ ５ ４ 直线与圆的位置关系 圆的方程、点到直线的距离公式 极坐标、直线与圆的位置关系 圆的方程、点到直线的距离公式 两条平行直线的距离公式 北京卷 天津卷 上海卷 理科 文科 文科 理科 文科 选择题 选择题 填空题 填空题 解答题 ３ ７ １４ １０ １８ ４ ５ ５ ６ １６ 两条平行直线的距离公式 直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系、几何概型 圆的方程 ７ ８ ９ 山东卷 浙江卷 江苏卷 理科 文科 直线方程、圆的方程、两条直线的位置关系、直线与圆的位置 关系圆与圆的位置关系 、文科 １０ 四川卷 选择题 选择题 ９ １０ ５ ５ 平面向量、圆的方程 平面向量、圆的方程 一理科 综观２０１６年高考数学试题，各份试卷的试题难度 般以一道选择题或一道填空题形式呈现，分值为 也不一样，从体现简单识记的基础题，到灵活多样、 ４～６分，只有江苏卷以一道解答题的形式出现，分值 体现数形结合思想、函数与方程思想的综合题均有出 为１６分． 现，对学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观 ２．考点明确，重点突出 从本专题的试题可以看出，在考查直线方程时， 想象等高中数学课程中的核心素养进行检测，有利于 提升学生作为现代社会公民所具备的数学素养，促进 试题集中考查直线方程几种形式的灵活运用；在考查 圆的方程时，试题集中考查圆的标准方程与一般方程 学生自主、全面、可持续地发展． １．题型集中，分值稳定 对圆的位置、大小的几何特征刻画；在考查直线与圆 本专题试题题型多为选择题或填空题，考查内容 的位置关系时，试题集中考查弦长问题，圆心到直线 … … 帼款 嫱啊 试题研究》 。ｊ。置；． 。 。 ｊ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 的距离问题，参数取值或参数范围问题等；在考查两 圆的位置关系时，试题集中考查位置判定、两点距离 １．注重基础考查，波澜不兴 ２０１６年本专题的试题延续了往年的试题特点，围 绕《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标 公式的运用等． 在以上这些考查的内容中，各套试题尤其注重对 准》）的要求，重视本专题基础知识的考查，难度稳 定，题目常规，突出基础性． 直线与圆的位置关系的考查． 例１ （上海卷・文３／理３）已知平行直线 试题中所涉及的考点，例如“过两点的直线斜 ：２ｘ＋ 一１＝０，ｌｚ：２ｘ＋），＋１＝０，则Ｚｌ与Ｚ２的距离 率”“直线方程”“两点间的距离公式、点到直线的距 ｌｌ离公式”“圆的标准方程与一般方程”等都是《考试说 是—明》要求“掌握”的内容．通过对这些内容的考查， ． —１ 突出了“直线和圆”的重点主干知识的考查，目标清 晰、方向准确． ３．文理有别，求同存异 全国Ⅱ卷、上海卷在文科和理科试题中都选用了 相同的试题，全国Ⅲ卷、四川卷虽然试题不同，但却 同根同源，可以看出命题者的良苦用心，试题本身也 有很大的研究价值． 、４．代数几何，相得益彰 众所周知，用几何手段研究几何问题有自身的特 点和难度，用代数的手段解决几何关系就变得轻松而 简单，但为了避免繁杂的代数运算，试题几乎都要将 代数与几何融会贯通，对学生分析问题、合理选择方 法解决问题的能力提出了较高要求． ５．综合性强，渗透思想 直线和圆的知识与高中数学的很多章节都可以很 流畅地结合起来考查，体现在“知识的交会点”处命 题的基本原则，比较常见的就是在解析几何中与圆锥 曲线内容结合起来考查．同时，函数、平面向量、不 等式、概率等章节也常常与直线或圆结合起来考查． ２０１６年“直线和圆”的高考试题，还突出对数形 结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等重要数 学思想的重点考查． 三、命题思路分析 根据｛２０１６年普通高等学校招生全国统一考试大 纲》（以下简称《考试大纲》）、《考试说明》，高考考核 目标与要求除了上面提到的知识要求外，还要对学生 的能力进行考查．在本考点中，常考的能力有：抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意 识、创新意识等．下面重点分析２０１６年“直线和圆” 的高考试题的命题思路，为高考复习找到一些可行的 复习策略，以期在复习中提高学生的综合能力． ２０１６年第９期 答案： ． ） 【评析】以直线的方程形式考查平行位置关系中的 距离问题，是由数到数的问题，学生要通过二元方程 形式确定直线的几何特征、位置关系，并能用代数计 算量化距离，也可转化为点到直线的距离进行解决． 考查学生的识记能力、直观想象、运算能力．此题为 容易题． 例２ （全国Ⅱ卷・文６／理４）圆 ＋Ｙ。一２ｘ一 ８ｙ＋１３＝０的圆心到直线似＋Ｙ一１＝０的距离为１，则 口的值为（ ）． （Ａ）一芸 ｊ （Ｂ）一 斗 （Ｃ） （Ｄ）２ 答案：Ａ． 【评析】以圆的一般方程为条件，考查将一般方程 与标准方程合理互化，并从二元方程关系中寻找圆的 几何特征，如圆心、半径等．同时还考查点到直线的 距离公式，进行代数运算．此题由数到形，再回到 数，即可解决，属容易题．考查的目的在于学生对圆 的方程的几何认识，点到直线的距离公式的识记，基 本运算求解能力． 例３（北京卷・文５）圆 ＋１） ＋Ｙ ：２的圆心到 直线Ｙ＝ ＋３的距离为（ ）． （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）２ 答案：Ｃ． 【评析】从圆的标准方程形式认识圆的圆心和半 径，再熟练运用点到直线的距离公式即可解决．此题 需要学生从代数形式的方程认识圆的位置与大小，并 能在直线的斜截式与一般式间灵活互化，属容易题． ２．体现能力立意，曲尽其妙 《考试大纲》中指出数学学科的考试，按照“考查 基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确定“以 《试题研究 …．。 Ｈ。１．＝【＝』 Ａ 』。ｉ。 能力立意”命题的指导思想，将知识、能力和素质融 例６ （山东卷・文７）已知圆Ｍ： ＋Ｙ 一 为一体，全面检测学生的数学素养．要在高考中对能 ２ａｙ＝Ｏ（ａ＞０）截直线 ＋ｙ＝０所得线段的长度是２√ ， 力进行考查，应当与学生实际相符合，在注重全面性 则圆 与圆Ⅳ： 一１） ＋（ｙ一１） ＝１的位置关系是（ ）． 的同时，强调综合性、应用性．本专题重点在抽象概 （Ａ）内切 、（Ｂ）相交 括能力、推理论证能力、运算求解能力，文字语言、 （Ｃ）外切 （Ｄ）相离 符号语言、图形语言的相互转化能力，要求学生具有 答案：Ｂ． 灵活应用的能力． 【评析】此题与全国Ｉ卷文科第ｌ５题相似度极 例４（天津卷・文１２）已知圆Ｃ的圆心在 轴的 高，都是考查直线与圆的位置关系，增加考查圆与圆 正半轴上，点 （０’ ）在圆ｃ上，且圆心到直线 一 的位置关系．需要学生由数到形，但最终是要判断两 ＾ Ｙ＝０的距离为 ，则圆ｃ的方程为——． 圆的位置关系．此题涉及圆的一般方程与标准方程的 Ｊ 答案： 一砰＋ＹＬ９． 相互转化、点到直线的距离公式、两点距离公式，要 【评析】此题考查圆的方程的求解，需要学生对圆 求学生在代数与几何之间转换娴熟，属中档题． ３．渗透数学思想，点石成金 的位置、大小进行判断，在将文字语言、符号语言转 《考试大纲》中指出，数学学科考试，要发挥数学 化成图形语言的基础上，从数得到形，再从形得到 作为基础学科的作用，要考查学生对数学思想方法和 数．圆的方程的求解常用待定系数法，即要求出圆心 数学本质的理解水平，要考查学生进入高等学校继续 ，６）和半径ｒ，这就要建立一个三元的方程组，而题 学习的潜能．掌握并灵活运用数学思想方法解决高中 目三个已知条件，为构造三元方程组创造了可能．其 数学问题，是学生数学综合素养的展现．因而，此类 实由条件中的“圆心在 轴的正半轴上”，便可得 题目一般具有较大的区分度和良好的选拔性，在高中 ｂ＝ 口＞０；同时由已知圆心到定直线的距离，便可将 数学学习中有意识渗透数学思想与方法，以数学思想 其转化为一元方程分步求解了！此题考查直线与圆的 与方法为指导选练复习题、命好模拟题，都会让学生 位置关系，考查学生综合分析问题、运算求解的能 在高考中有意想不到的收获． 力，属中档题． 例７（四川卷・文９）已知正三角形ＡＢＣ的边长 例５ （全国Ｉ卷・文１５）设直线Ｙ＝ ＋２ 与圆 为２√ ，平面ＡＢＣ内的动点Ｐ， 满足ＪＡ－－Ｐｌ＝１， Ｃ： ＋ 一２ａｙ一２＝０相交于Ａ， 两点，若Ｉ ｆ＝２ ， 则圆Ｃ的面积为 ＰＭ＝ ，则ｌ丽『的最大值是（ ）． 答案：４＇ｒｒ． （Ａ）掣 ４ （Ｂ） ｅ１． 【评析】考查直线与圆的位置关系，需要学生由数 到形，最终量化圆的大小．此题涉及圆的一般方程与 （ｃ） ３７＋６４￣ （Ｄ） 堕 ４ 斗 标准方程的相互转化，直线斜截式与一般式的相互转 答案：Ｂ． 化，点到直线的距离公式，解直角三角形和求圆面积 【评析】此题以平面向量形式呈现，求线段长度的 等，这些考点均为高中数学重要知识，内容繁杂，但 最值，表面上考查以形求形，实际上学生可以考虑由 命题思路清晰，同时对学生的字母运算提出较高要 形化数，再由数求形这一思路．此题考查平面向量、 求，此题为中档题．当然，此题也可由数到数，通过 轨迹方程、圆的方程、函数最值等，是一道综合性强 代数手段（弦长公式）直接求解参数口的值，再由圆 的难题，对学生综合能力提出很高的要求，需要学生 方程得出半径，继而求出圆面积，这虽然体现解析几 能抽象理解、直观想象、逻辑推理、数学运算，并运 何在解决几何问题中的强大功能，但对于学生而言， 用数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想 运算将是不小的障碍． 思考解决问题．按照数形结合思想将图形问题转化为 值得一提的是全国Ｉ卷在２０１５年高考文科试题 代数问题，用代数方法解决几何问题，体现解析几何 中，。‘‘直线和圆”的试题是以解答题形式出现，２０１６年 的实质，当然也可使此类问题迎刃而解． 变为填空题，难度要求、分值在２０１５年的基础上都有 此题是动点问题，也伴随曲线问题，按照这种思 一定程度的降低． 路我们还可以进一步考虑点 的轨迹方程，这是对此 …。缸… 申圈蝴日 试题研究》 题数学本质的理解． 例８ （江苏卷・１８）如图１， 在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知以 点 为圆心的圆Ｍ： ＋Ｙ 一１２ｘ一 §。｝＝｛ ｊ ｊ。』 叁． ．Ｊ． ． ……………………………………………… 。……………………………………………………………………………………………………………………………………… １４ｙ＋６０：０及其上一点Ａ（２，４１． （ｉ）设圆Ⅳ与 轴相切，与圆 外切，且圆心Ⅳ在直线 ＝６ 图１ 【评析】以上两题为全国Ⅲ卷文、理科“姊妹 题”，均考查直线与圆的位置关系．可以看到，两题都 是考查点到直线的距离、弦长问题，理科题目在难度 上更大一些，增加了参数求解，体现了文、理科的差 异性，试题极具针对性． 例１Ｏ（１）（四川卷・文９）已知正三角形ＡＢＣ的 边长为２ ，平面ＡＢＣ内的动点Ｐ， 满足ＩＡ－－ＰＩ＝１， 上，求圆Ⅳ的标准方程； （２）设平行于ＯＡ的直线ｆ与圆 相交于 ，ｃ两 点，且ＢＣ＝ＯＡ，求直线Ｚ的方程； （３）设点Ｔ（ｔ，０１满足：存在圆 上的两点Ｐ和 Ｑ，使得厨＋一ＴＰ：一ｒＱ，求实数ｔ的取值范围． 答案：（１）（ 一６） ＋（ｙ—１） ＝１；（２）Ｙ：２ｘ＋５或 ｙ＝２ｘ－１５；（３）２—２ ≤ｆ≤２＋２ ． 【评析】此题考点涵盖直线方程、圆的方程、直线 与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的 位置关系、平面向量运算、不等式求解等，综合性很 强．此题的设计充分考虑了各个层次的学生，第（１）小 题由形到数，利用圆与圆的外切关系求圆的标准方 程，应该是大多数学生都会解决的问题；第（２）小题涉 及到两直线平行、两点距离公式、点到直线的距离、 弦长问题、解直角三角形问题等，有一定的区分度； 第（３）小题增加难度，既要求学生明确平面向量的意 义，又对图形对称、条件转化、方程整合、不等式求 解等提出了更高要求． ４．文理求同存异，相得益彰 今后高中数学将逐步取消文、理分科，２０１６年高 考全国Ⅱ卷、上海卷在本专题中，文、理科都选用了 相同的试题，其中上海卷题号相同，全国Ⅱ卷中文科 为第６题，理科为第４题，文、理科试题呈现趋同的特 征，部分试卷中“直线和圆”的文、理科试题以精彩 纷呈的“姊妹题”出现，如全国Ⅲ卷、四川卷，呈现 一题多变特色，让人印象深刻，颇有研究价值． 例９（１）（全国Ⅲ卷・文１５）已知直线ｆ： 一１３ｙ＋ ６＝０与圆 ＋ｙ ＝１２交于Ａ， 两点，过点Ａ， 分别作Ｚ 的垂线与 轴交于Ｃ，Ｄ两点，则ＪＣＤ Ｊ＝——． 答案：４． （２）（全国Ⅲ卷・理１６）已知直线Ｚ：，似＋Ｙ＋ ３ｍ一√ ＝０与圆 。＋Ｙ。＝１２交于 ，Ｂ两点，过点Ａ，Ｂ 分别作ｚ的垂线与 轴交于Ｃ，Ｄ两点，若ＩＡＢＩ＝２ ， 则ＩＣＤＩ：——． 答案：４． ２０１６年第９期 ＰＭ＝ ，则Ｉ丽『的最大值是（ ）． （Ａ） （Ｂ） （ｃ） （Ｄ）Ｔ３７＋２ ３￣ 答案：Ｂ． （２）（四川卷・理１Ｏ）在平面内，定点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 满足Ｉ ｌ＝Ｉ丽Ｉ＝Ｉ ｊ，一ＤＡ‘ ＝丽・丽＝ ・ ＝一２， 动点Ｐ，Ｍ满足Ｉ ｌ＝１，砑＝ ，则Ｉ丽Ｉ‘的最大值 是（ ）． （Ａ）４＿３３ （Ｂ） ４（Ｃ）—３７＋ ６１３（Ｄ）—３７—＋ ２ ３￣ —一 答案：Ｂ． 【评析】本专题四川卷试题同样也以“姊妹题”的 形式呈现，考查平面向量、轨迹方程、圆的方程、函 数最值等．理科试题中增加了向量的数量积运算、向 量的夹角问题等，对学生提出了很高要求，需要学生 能抽象理解、直观想象、逻辑推理、数学运算，并运 用数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想 去思考、解决问题． ５．注重适度创新，另辟蹊径 创新试题体现出灵活性、新颖性，与学生的阅读 能力、知识迁移能力、转化能力、分析与解决问题的 能力密切相关．高考试题常常以旧知延伸和新概念题 等形式出现． 例１ １ （浙江卷・文ｌ０）已知０∈Ｒ，方程Ｃｔ２Ｘ ＋ （ｎ＋２）ｙ。＋ ＋８ｙ＋５ａ＝０表示圆，则圆心坐标是， ——半径是——． 答案：（一２，一４１；５． 【评析】此题考查圆的方程．要求学生对圆的一般 方程或标准方程的特点非常清楚，并能进行相互转化． 对于一般的二元方程Ａ ＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ ＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０表 示圆的充要条件是：Ｂ＝０，ａ＝Ｃ， 垒 ＞０，则 《试题研究 ……………………………… 燃。ｉ．＝ｆ＝ Ａ 。ｌ。 容易得出口 ＝０＋２，即口：－１或口＝２．同时，要求学 【评析】此题考查直线和圆的位置关系、直线与圆 生对这两个结果进行检验论证，去伪存真．以圆的代数 锥曲线的位置关系．考点为双曲线的方程与几何性 形式（方程）讨论圆的几何性质，是解析几何的基本任 质、渐近线方程、圆的方程、直线与圆相交的交点问 务．作为高考试题，体现基础性，有一定的创新意识． 题．考查学生综合运用曲线方程求解几何问题，考查 ６．学科章节交会，相辅相成 学生的运算能力，体现数形结合思想． 高考考点繁多，通过有限的试题体现知识覆盖面， 例１５ （山东卷・理１４）在［－－１，１】上随机地取一 在知识的交会点处命题一直是高考试题的一大特点，既 个数ｋ，则事件“直线ｙ＝ 与圆 一 ＋Ｙ ＝９相 有章节内知识的融合，又有章节间（如直线和圆与函 交”发生的概率为——． 数、不等式、三角函数、概率、圆锥曲线）、学科间的综 合，体现对学生综合能力、数学核心素养的考查． 答案： ． 例１２ （北京卷・文７）已知 （２＇５），Ｂ（４＇１）．若点 【评析】此题考查直线与圆的位置关系、几何概 尸 ，ｙ）在线段ＡＢ上，则２ｘ—Ｙ的最大值为（ ）． 型．以线性规划、解析几何、定积分等为背景考查几 （Ａ）一１ （Ｂ）３ 何概型是高考试题常见的考查形式．此题考查方法灵 （Ｃ）７ （Ｄ）．８ 活、思路入口宽，既可以采用方程组有两个．相异解、 答案：Ｃ． 判别式为正值求解，也可以呆用点到直线的距离与半 【评析】此题考查直线的两点式、二元函数的最 径关系求解，还可以利用数形结合思想作图求解，给 值．以直线的方程切入，结合消元思想，体现函数与 学生提供了施展手脚的较大空间，体现了多样性，同 方程的思想．直线方程与一次函数关系紧密，此题设 时与几何概型的综合还体现了交会性． 问看似简单，却颇有深意． 例１６（全国Ｉ卷・理２ｏ）设圆 。＋Ｙ ＋ 一１５＝０ 例１３（全国Ｉ卷・理１０）以抛物线Ｃ的顶点为 的圆心为Ａ，直线２过点 （１，０）且与 轴不重合，Ｚ交 圆心的圆交Ｃ于Ａ 两点，交Ｃ的准线于 Ｅ两点． 圆Ａ于ｅＤ两点，过点 作ＡＣ的平行线交ＡＤ于点Ｅ． 已知ｆＡＢｌ＝４ ，ｌＤＥｌ＝２√ ，则ｃ的焦点到准线的距 （１）证明ｌ Ｉ＋Ｉ胎Ｉ为定值，并写出点 的轨迹 离为（ ）． 方程； （Ａ）２ （Ｂ）４ （２）设点 的轨迹为曲线Ｇ ，直线Ｚ交Ｃ 于 Ⅳ （Ｃ）６ （Ｄ）８ 两点，过点 且与ｚ垂直的直线与圆 交于尸，Ｑ两 答案：Ｂ． 点，求四边形ＭＰＮＱ面积的取值范围． 【评析】此题考查抛物线的方程与几何性质、直线 ２ ，２ 与圆、弦长问题．在高考试题中，经常看到直线与 答案：（１）等＋每＝１（），≠０）；（２）［１２，８ ）． 圆、直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线相结合的题目， 【评析】此题考查圆的方程，椭圆的定义，直线与 考查几何图形的相关性质或长度、角度、面积、定 圆，直线与椭圆的位置关系．直线是解析几何中最简 值、定点、范围及其他探索性问题，一般用代数方法 单的图形，方程多样，应用灵活，常常涉及直线的要 或几何方法来综合考虑．在问题解决过程中，要充分 素（斜率与倾斜角）、直线方程等．直线与圆、直线与 利用平面图形的几何性质，简化运算． 椭圆都可用代数方法研究，但需要结合平面图形的几 ２ ，２ 例１４ （天津卷・理６）已知双曲线鲁一 ＝ｔ２ １ 何性质，使问题简单化． （６＞０１，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 从２０１６年高考本专题的各试题可以看到，“直线 圆与双曲线的两条渐近线相交于Ａ，８，Ｃ，Ｄ四点，四边 和圆”的试题均符合《标准》、《考试大纲》、《考试说 形ＡＢＣＤ的面积为２６，则双曲线的方程为（ ）． 明》的要求，试题题干设计清晰、 简洁，思路既合常 规，又不乏新颖，并在知识点的覆盖，难度、区分度 （Ａ）ｘ＿＿４２￣＿３ｙ２．４＝ｌ （Ｂ）等一等＝ｌ 上有很好的体现，试题通常与高中数学其他章节知识 （ｃ）等一等＝１ （Ｄ）等２一 ｌ 紧密结合，在考查基础知识的基础上，还注重能力立 意，注重对数学思想方法的考查，兼顾基础性、多样 答案：Ｄ． 性、综合性、现实性、思想性等． …。 … 中国数列婧●■ 试题研究》 ．｝＝ｉ。ｊ。Ｔ．｛。 。 ． ＾。 ……………． ……………………… ……………………………………………………………………………………………………………。……………………………………… 四、模拟题欣赏 通过对２０１６年高考“直线和圆”试题的分析，我 们认识到在高三复习过程中，只要按照复习开始制定 的正确计划稳步进行，就可以在高考中取得优异结 Ｊ ｆ Ｉ Ｉ，则ｋ的取值范围是（ ）． （Ａ）（√ ，＋ａ。） （Ｃ）【 ，２ ） （Ｂ）［√ ，＋∞） （Ｄ）【 ，２ ） ６．已知Ｆ ，Ｆ 分别是椭圆的左、右焦点，以Ｆ 果．可以尝试从以下几个步骤着手：在首轮复习中夯 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 Ｎ，若过Ｆ 的直线ＭＦ 是圆Ｆ２的切线，则椭圆的离 实基础、厘清知识结构；在专题复习中突出重点、强 Ｍ，化基本技能；在综合训练中提高能力、融合基本思 心率为（ ）． 想；在模拟考试中查漏补缺，调试应考心态． （Ａ） 一１ （Ｂ）２一 在这四个步骤的复习中，要突出学生在复习中的 主体作用，强调学生在复习中的思维体验，以教师精讲 （ｃ）车 （Ｄ）霉 穿针引线，学生练习固本培元，综合测试铺点盖面，循 ７．抛物线Ｃ： ＝４ｙ的焦点为Ｆ，曲线ｃ上两点 序渐进，螺旋上升，不急躁、不草率、不自命不凡、不 Ａ， 关于点Ｍ（１，２）对称，则以原点Ｏ为圆心、ＯＦ为 妄自菲薄、不轻言放弃，只为一个个孩子的未来发展着 半径的圆与直线ＡＢ的位置关系为（ ）． 想．同时，在复习的例题、习题、试题的选择上，可以 （Ａ）相交且过圆心 （Ｂ）相交且不过圆心 尝试选择多个知识交会的内容或题目，体现广泛性、联 （Ｃ）相切 （Ｄ）相离 １ ２ 系性；突出能力立意的内容与题目，体现综合性；渗透 ８．过双曲线笠２一ｙ， ＝ｌ（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点Ｆ作 思想方法的内容与题目，体现思想性；凸显创新价值的 ｕ Ｄ 内容与题目，体现新颖性；学生意想不到的内容与题 圆 ＋Ｙ。＝｛８。的切线，切点为 ，直线肼交双曲线 目，体现技巧性；易错、易漏的内容与题目，体现严谨 右支于点Ｐ，若砸＝ （ ＋一ＯＰ），则双曲线的离心 性；蕴含数学文化的内容与题目，体现时代性，等等． １．已知直线ｆ ： ＋ ＋６＝０，ｚ，： ＋９ｙ＝０，则 率是（ ）． “ｋ＝－３”是“ｆ。∥ ”的（ ）． （Ａ） （Ｂ）芈 Ｚ （Ａ）充分不必要条件 （Ｃ） （Ｄ）２ （Ｂ）充要条件 答案：１．Ａ ２．４ ３．Ｃ ４．Ｂ （Ｃ）必要不充分条件 ５．Ｃ ６．Ａ ７．Ｄ ８．Ｂ （Ｄ）既不充分也不必要条件 参考文献： ２．设圆 ＋Ｙ ＝４的一条切线与 轴、Ｙ轴分别交 ［１］中华人民共和国教育部制订．普通高中数学 于点Ａ，Ｂ，则ｌＡＢ Ｊ的最小值为——． 课程标准（实验）［Ｍ３．北京：人民教育出版 ３．若向量ａ，６满足：１。Ｉ＝３，ｌａ一２ｂＩ≤１，则ｌｂＩ的 社。２００３． 最大值为（ ）． ［２］教育部考试中心．２０１６年普通高等学校招生 （Ａ）１ （Ｂ） 全国统一考试大纲（理科）［Ｍ］．北京：高等 教育出版社，２０１５． （ｃ）２ （Ｄ）主 ［３］教育部考试中心．＜＜２ｏ１６年普通高等学校招生 ４．设ｉ为虚数单位，ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），已知 ≤２， 全国统一考试大纲（理科）》的说明［Ｍ］．北 则击表示的点在第一象限的概率为（ ）． 京：高等教育出版社，２０１５． ［４］张晓斌，范美卿．２０１５年高考“函数与导 （Ａ） １ （Ｂ）｛ 数”专题命题分析ＥＪ３．中国数学教育（高中 （ｃ） （Ｄ）． 版）。２０１５（７／８）：３２—３９． ［５］郭慧清．２０１５年高考“直线与圆的方程”专 ５．已知直线 ＋＇，一Ｊ｝＝ｏ（ｋ＞ｏ）与圆 ＋Ｙ。＝４交于 题命题分析［Ｊ］．中国数学教育（高中版）， 不同的两点４，Ｂ，Ｏ为坐标原点，且有ｌ ＋ ｌ≥ ２ｏ１５（７／８）：１２２—１２８． ２０１６年第９期
