智力魔板

由智力魔板编写的数学问题

［题27］数字1,2,3,4,5按图所示放在一，二，三，四，五的位置上， 二 三 四 图一 2 3 4 图二

上面一，二行上的三个数字看成一个圈，上圈．第二，三行上的三个数成一个圈，下圈．所有五个数字看成一个大圈，

三个圈可以分别转动，试问在转动过程中，仍按一二三四五的顺序，可以写成多少个互不相等的五位数？

比如，初始位置可写出的五位数是12345. 顺时针转动大圈一格，可写出23451 再逆时针转动下圈一格，写出23145. ［供题人］

［直觉］显然，光转动一个圈，并不难解决问题，同时转动几个圈，如何处理呢？两种转向，对于解答又有何种影响？

［解］即一的位置，五个数都能占据，所以有五个可能．二的位置其余四个数都能占据．为了说明这一点，只需说明保持1不动，3可以移动到二即可．下面说明这一点．

将图二大圈按顺时针旋转一个位置成为图三． 3 4 5 图三

将图三上圈按顺时针旋转一个位置成为图四．

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一 五 1 5 2 1

4 2 5 图四

3 1 将图四大圈按逆时针旋转一个位置成为图五．

3 4 2 图五

即一的位置，五个数都能占据，所以有五个可能．二的位置其余四个数都能占据． 当一二位置占好以后，另外三个数在下圈转动只有三个可能， 所以共有54360,从而可以写出六十个不同的五位数．

（以下再给一种解法．

五个元素占据五个位置共有5!=120种可能，

然而转大圈一步以后形成新的排列是偶排列，转上圈一步以后形成新的排列也是偶排列，转下圈一步以后形成新的排列也是偶排列，所以不管怎么转动形成新的排列总是偶排列，而偶排列占总数的一半，所以有

1 5 5!） 60种．

2［背景］作者说明了拟出这一数学趣题的经过：

1992年夏天，市场上流行一种智力魔板，有十六个位置，十五个滑动块组成，如图所示，板上附一图画，如唐老鸭，兰精灵，神斗士之类，玩耍时，让孩子们把画面打乱，然后再按右下角的图案恢复之，此玩具曾风靡一时，作者见到此玩具时后，就从数学角度提出问题，图案打乱后，究竟共有多少种恢复方式？本问题就是这个模型化简到三行两列的一种情况．

［引伸］显然，本题可以推广到多少圈相交的情况，此时，各圈分别转动起来，该如何一般地计算它的排列种数？

数学奥林匹克备选题集 浙江教育出版社(p73--75)

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