广西民族大学学报（自然科学版） 第１４卷第４期 ２００８年１１月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＡＮＧⅪＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＦＯＲ ＮＡＴＩＯＮＡＬＩＴＩＥＳ Ｖ０１．１４ ＮＯ．４ ＮＯＶ．２００８ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） 具滞后的离散广义双线性系统的 稳定控制分析 黎艳萍 ，王汝凉。，郭炜伟 ，李晓霞 （１．广西师范学院数学与计算机科学系，广西南宁 ５３００２３； ２．广西师范学院信息技术系，广西南宁 ５３００２３） 摘 要：针对两类不同形式的滞后离散广义双线性系统的稳定控制问题进行了讨论．首先通过构造广义 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数的方法，对其中一类形式的闭环系统稳定性问题进行分析，给出了系统零解Ｅ一 渐近稳定的充分条件．在此条件基础上，利用等价变换和等价系统的方法，得到了该闭环系统 Ｌｙａｐｕｎｏｖ意义下渐近稳定的充分条件．然后，研究了另一形式的滞后离散广义双线性系统稳定 控制存在的条件，并给出了使闭环系统局部渐近稳定的充分条件． 关键词：广义时滞系统；离散；双线性；Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数；稳定控制 中图分类号：ＴＰ１３；Ｏ２３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—８４６２（２００８）Ｏ３—００３６—０５ Ｏ 引言 近年来，广义系统在电网、经济、航天、和生物工程等领域得到了广泛的应用，并吸引了大量的学者从事这 些方面的研究ｕ ．而双线性广义系统是一类特殊的非线性微分代数系统，它是从物理、化学、生物、生态、经济 等过程中的许多现象进行描述而得到的数学模型 ，具有一定的实际应用背景．随着控制理论的不断发展及向 其他学科的渗透，有关正常的双线性系统的研究已取得不少成果 ．而与正常系统相比，广义系统是一类更 具广泛形式的动力系统，具有更大的保持系统物理等特性的能力．另一方面，由于数字计算机的飞速发展，离散 系统的研究已经引起了工程和科学界人们的关注．所以离散广义双线性系统的研究有～定的实际意义，但关于 这方面的研究结果还较少．文献［９］基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，分别采用广义系统分解与不分解的方法研究了离散 广义双线性系统稳定控制存在的条件，并给出了相应的控制方案以及使闭环系统稳定的条件．文献Ｅ１ｏ］就双线 性离散广义系统的全局渐近镇定性，基于ＬａＳａｌｌｅ不变原理和隐函数定理同时给出了使闭环系统存在唯一解 和全局渐近稳定的充分条件．但在实际的控制系统中，常常不可避免受到滞后因素的影响，它是引起系统不稳 定的一个重要影响，因此对具滞后的离散广义双线性系统稳定性的研究还是很重要的．而对于滞后离散广义双 线性系统的稳定控制问题，至今还没有相关报道．本文通过构造广义Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数的方法，研究了两种不同 形式的滞后离散广义双线性系统的稳定控制问题，给出了其闭环系统渐近稳定的充分条件． －收稿日期：２００８—０８—２０． 基金项目：国家自然科学基金（６０８６４００１）；广西自然科学基金（０６４００７３，０６７９０２１，０６７９０２４）． 作者简介：黎艳萍（１９８２一），女，湖北汉川人，广西师范学院数学与计算机科学系硕士研究生，研究方向：离散广义系统的鲁 棒控制． ３６ ２００８年第４期 ●黎艳萍，王汝凉，郭炜伟。等／具滞后的离散广义双线性系统的稳定控制分析 １ 问题描述与预备知识 考虑如下具有时滞的离散广义双线性系统 ＥＸ（五＋１）一Ａｘ（志）＋Ｆｘ（是一＾）＋ ：Ｎ ｘ（ ）“ （ ）＋Ｂ （五） Ｘ（忌。）一 （走。），一ｈ 惫。 ０ （１） 其中Ｘ（志）∈Ｒ 是状态变量，“（志）∈Ｒ 是输入控制， （是）一（ ｌ（是）， （是），…，“ （ ）） ，Ｅ，Ａ，Ｆ，Ｎ ∈Ｒ ， Ｂ∈Ｒ 是常量矩阵，记Ｂ一（６ ，ｂ。，…，ｂｍ），ｂ ∈Ｒ ，ｉ一１，２，…，ｍ，ｒａｎｋ Ｅ＜，２，ｈ ０为一正整数是滞后量， （志）为初始向量函数．为方便起见，记Ｘ—Ｘ（愚）， 。一Ｕ （￡）． 系统（１）的标称系统为 ＥＸ（是＋１）一ＡＸ（愚）＋ＦＸ（志一 ） （２） 系统（２）的标称系统为 ＥＸ（点＋１）一ＡＸ（忌） （３） 定义ｌ Ｌ３ 系统（２）称为是Ｅ一稳定的，如果对于任意的￡＞０，存在 ＞０，使得当ｌ ｌＥＸ。ｌｌ＜ 时，恒有 Ｉ｝ＥＸ（｜毛）ｌｌ＜￡，其中Ｘ（忌）是满足相容初始条件ＥＸ（点。）一Ｅ （志。），一ｈ 屉。 ０的解． 定义２ 系统（２）称为是Ｅ一渐近稳定的，如果它是Ｅ一稳定的，且有ｌｉｍＥＸ（愚）一０． 定义３［３ 系统（３）称为是容许的，若它是正则，稳定且具有因果性． 定义４Ｃ 称系统（２）是具有因果与滞后自由的，如果存在可逆阵Ｐ，Ｑ，使得ＰＥＱ—Ｉ ｊ，ＰＡＱ： 舶Ｑ一［乏 。］订邈其 。可逆． 弓ｌ理１ 。 对于任意的７２维向量ｚ，Ｙ∈Ｒ删，ｒ∈Ｒ ，必有：２ｚ ｚ＋ｙ＿ ｙｒｙ 引理２ 对于系统（２），如果关于ＥＸ（忌）的二次标量函数Ｖ（ＥＸ（ ））满足如下条件： （ｉ） （ＥｌＸ（志））三三＝（ＥＸ（惫）） Ｖｌ（ＥＸ（五）），这里Ｖ１ ０，且有ｒａｎｋ（Ｅ Ｖ Ｅ）一ｒａｎｋ Ｅ—ｒ； （ｉｉ）／ＸＶ（ｋ）：Ｖ（ＥＸ（志＋１））一Ｖ（ＥＸ（愚）） 一（ＥＸ（志）） Ｗ（ＥＸ（矗）），这里Ｗ＞０，则系统（１）是Ｅ一渐 近稳定的． ２ 主要结果 ２．１ 第一形式的滞后离散广义双线性系统稳定性分析 定理１ 若系统（３）是容许的，且存在可逆对称矩阵Ｍ∈Ｒ 和正定矩阵ｗ满足如下条件： （ｉ）若存在常数 ＞０，ｙ＞０， ＞０使得 （１＋７－ ￣）ＡｒＭＡ—Ｅ ＭＥ＋（ ＋』Ｂ＋７）Ｆ Ｆ ＷＥ，其中 一．；【 （Ｍ） （ｉｉ）Ｘ满足Ｘ∈ ，且Ｘ≠０ 一（ｘ ｆ∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ）ｒＭｒＡＸ（Ｎ Ｘ＋ ）ｒＭ∑（Ｎ，ｘ＋ｂｉ）ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）一ｏ） 则存在控制Ｕ。一一ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）使系统（１）的闭环系统是Ｅ一渐近稳定的． 证明：系统（１）在控制Ｕ 一一ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）的作用下，得到形如 ＥＸ（惫＋１）：Ａｘ十Ｆｘ（忌一 ）一∑（Ｎ ｘ＋ｂ１）ＸｒＡ Ｍ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ） （４） 的闭环系统． 取系统（１）的广义李雅普诺夫函数为：Ｖ（ＥＸ（志））一Ｖ，（ＥｌＸ（是））＋Ｖ （ （愚）） 其中， （ＥＸ（志））＝（ＥＸ（是））ｒＭ（ＥＸ（志）） ３７ 广西民族大学学报ｌ自然科学版） ２００８年１１月 第１４卷 Ｖ２（ｘ（五））：＝＝（ ＋ ＋ｙ）∑Ｘ （忌一ｈ＋ｉ）Ｆ ＦＸ（ｋ—ｈ＋ ） 沿系统（４）的状态轨迹求Ｖ（ＥＸ）对ｋ的差分，得 △、，ｒ（是）＝△Ｖ （愚）＋△、，ｒ （五） 其中，△ （是）：（ＥＸ（志＋１））ｒＭ（ＥＸ（ｋ＋１））一（Ｅｘ（愚）） （ＥＸ（愚））＝ＸｒＡｒＭＡＸ一２∑ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ ｉ薯ｌ ｂｉ）ＸＴＡＴＭ（Ｎ ｘ＋ｂｉ）＋２ＸｒＡ ＭＦＸ（ｋ一＾）＋∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ）ｒＭＡＸ（Ｎ Ｘ＋ｂ１）ｒＭ∑（Ｎ ｘ＋ Ｉ １ 育１ ｂ１）ｘ Ａ Ｍ（Ｎ Ｘ＋ｂ１）＋２Ｘ （五一ｈ）Ｆ Ｍ∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ）“ ＋Ｘ （是一ｈ）ＦｒＭＦＸ（ｋ一，Ｉ）一ｘ ＥｒＭＥＸ 又根据引理１，知； ２ＸｒＡＴＭＦＸ（ 一，１） 厂 ＸｒＡｒＭ ＡＸ＋ｙＸ （是一ｈ）Ｆ ＦＸ（是一＾）； ２Ｘ （忌一ｈ）ＦｒＭ∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ）Ｍ。 ｆ １ ｉ一１ 、 一１ ≤ （忌一ｈ）Ｆ ＦＸ（ｋ一＾）＋ ［Ｍ∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ） ］ ［∑Ｍ（Ｎ Ｘ＋６ ） ］ （是一ｈ）Ｆ ＦＸ（ｋ一＾）＋ ∑（Ｎ。ｘ＋ｂｉ） Ｍ ＡＸ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）ｒＭ ∑Ｍ（ＮｉＸ＋ｂ１）ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ） ｆ １ ｉ＝ｌ 故△Ｖ （五） ＸｒＡｒＭＡＸ一２∑［ＸＴＡＴＭ（Ｎ ｘ＋ ）］ ＋ ＸｒＡｒＭ ＡＸ＋ （ｋ－－ｈ）Ｆ ＦＸ（ｋ－－ｈ）＋ （愚 ｆ罩Ｉ —ｈ）Ｆ ＦＸ（ｋ一＾）一Ｘ ＥｒＭＥＸ＋∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ）ｒＭＡＸ（ＮｉＸ＋ｂｉ）ＴＭ∑（Ｎ ｘ＋ｂ１）ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）＋ ∑（Ｎ ｘ＋ｂ１） ＭｒＡＸ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ） ＭｒＭ∑（Ｎ ｘ＋ｂｉ）ＸｒＡｒＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）＋ （志一ｈ）Ｆ ＦＸ（ｋ一＾） ｌ＝１ ｉ＝１ 而△ （是）一（艿＋卢＋），）∑Ｘ （忌＋１一ｈ＋ｉ）Ｆ ＦＸ（ｋ＋１一ｈ＋ ）一（ ＋｜ｌ９＋ｙ）∑Ｘ （ 一ｈ＋ｉ）Ｆ ＦＸ（ｋ —ｈ＋ ）＝（ ＋卢＋ｙ）Ｘ （ ）Ｆ ＦＸ（ ）一（ ＋卢＋ｒ）Ｘ （愚一ｈ）Ｆ ＦＸ（矗一＾） 所以△ （志）＝△Ｖ （志）＋△ （志） Ｘ￣ＡｒＭＡＸ一２∑［ＸｒＡｒＭ（Ｎ ｘ＋ｂ１）］。＋ ＸＴＡｒＭ ＡＸ＋（１＋ｐ－ ）∑（Ｎ Ｘ＋ ）ｒＭＡＸ（Ｎ Ｘ＋ ｂ ）ｒＭ∑（Ｎ Ｘ＋６。）ＸｒＡＴＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）一Ｘ ＥｒＭＥＸ＋（ ＋ ＋ｒ）Ｘ （忌）Ｆ ＦＸ（ｋ） Ｘ ［（１＋ ３）ＡｒＭＡ—ＥｒＭＥ＋（ ＋ ＋ｙ）Ｆ ＦＩＸ一２∑［ＸｒＡＴＭ（Ｎ Ｘ＋ｂｉ）］。 一ｒＩ（ＥＸ（志）） Ｗ（ＥＸ（是））＜０ 这样由引理２可得：ｌｉｍＥＸ（忌）＝０，即闭环系统（４）是Ｅ一渐近稳定的． 定理２ 若定理１的条件得到满足，且（２）是因果与滞后自由的，则系统（１）的闭环系统（４）是Ｌｙａｐｕｎｏｖ 意义下渐近稳定的． ‘ 证明：由定理１知系统（１）的闭环系统（４）是Ｅ一渐近稳定的，即ｌｉｍＥＸ（志）＝０．由（２）是因果与滞后自由 的，则存在Ｐ，Ｑ使下述式子成立： 艘Ｑ＝［ Ｑ：［２ ］，阡Ｑ一［Ｅｌ ｌ ０２］可逆．其中 可逆． 作变换 （走）＝［ｙｖｌ，（ｋ五）］： （七），则（４）受限等价于如下系统： Ｙ１（志＋１）一ＡｌｌＹ１（忌）＋Ａ１２Ｙ２（愚）＋Ｆｌ１ １（忌一＾）＋Ｆ１２Ｙｚ（愚一＾）＋ｇ１（．），） （５） ３８ ２００８年第４期 ●黎艳萍。王汝凉。郭炜伟。等／Ｊｌ滞后的离散广义双线性系统的稳定控制分析 ０一Ａ２ｌＹ１（志）＋Ａ２２Ｙ２（ ）＋Ｆ２１Ｙｌ（志一＾）＋ｇ２（ ） （６） 由（６）可得Ｙ２（点）一一Ａ２２ ［Ａ２ｌＹ１（忌）＋Ｆｚｌｙｌ（点一＾）＋ｇ２（ ）］ 由ｌｉｍＥｘ（ ）＝０知ｌｉｍｙ１（忌）＝０，ｌｉｍｇ１（ ）＝＝：０， ｉｍｇ２（ ）＝０，］Ｊｋ￣１ｉｍｙ２（量）＝０，ｉ￣１ｉｍＸ（ｋ）＝０，即（４）是 ．．Ｌｙａｐｕｎｏｖ意义下渐近稳定的． ２．２ 第二形式的滞后离散广义双线性系统稳定性分析 考虑如下具有时滞的离散广义双线性系统 ＥＸ（志＋１）一Ａｘ（五）＋Ｆｘ（志一ＩＩ１）＋ （愚）Ｎ （忌）＋Ｂｕ（七） （７） ＝ｉ Ｘ（惫。）一 （志０），一ｈ ｋ。 ０ 其中ｘ（愚）∈Ｒ“是状态变量， （是）∈Ｒ 是输入控制，Ｅ，Ａ，Ｆ∈Ｒ ，Ｂ，Ｎ ∈Ｒ （ ＝１，２，…， ）是常量矩 阵，ｒａｎｋ Ｅ—ｒ＜，ｌ，ｈ三三＝０为一正整数是滞后量， （惫）为初始向量函数．简记毛（量）一 ，Ｘ（忌）＝Ｘ． 系统（７）在控制Ｕ—ＫＸ的作用下，得到形如 ＥＸ（志＋１）一（Ａ＋ＢＫ）ｘ（点）＋Ｆｘ（是一＾）＋ 毛（五）Ｎ‘ＫＸ（忌） （８） ＝ｌ 的闭环系统． 定理３ 如果适当选取矩阵Ｍ，Ｆ和Ｋ，使对正定矩阵 满足 （１＋７－ ）Ｘ１’（Ａ＋ＢＫ）ｒＭ（Ａ＋ＢＫ）Ｘ—Ｘ ＥｒＭＥＸ＋２Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ｒＭＺ＋（ ＋ ＋ｙ）Ｘ Ｆ ＦＸ＋（１＋ ）Ｘ Ｋ ＳＫＸ一一Ｗ１ 式中ｚ一 ｚ。Ｎ。ＫＸ，Ｓ满足如下的集合： ｉ；ｌ 三｛ｘ｝ｓ （∑ｚ Ｎ ）丁Ｍ（∑Ｘ Ｎ ））ｃ Ｒ （９） 其中， ＞０，ｙ＞０， 一 （Ｍ）．Ｓ和Ｍ为正定对称矩阵．则存在反馈控制 ＝ＫＸ，使具有时滞的离散广 义双线性系统（７）的闭环系统（８）是局部渐近稳定的． 证明：设闭环系统（８）的一个广义李雅普诺夫函数仍为：Ｖ（ＥＸ（点））＝Ｖ。（ＥＸ（走））＋ （ （点）） 其中，Ｖ （ＥＸ（志））一（ＥＸ（志）） ｌ＾ （ＥＸ（是）） ｈ－．－Ｉ Ｖ２（ｘ（是））一（ ＋卢＋ｙ）∑ｘ （是一ｈ＋ｉ）Ｆ ＦＸ（ｋ—ｈ＋ ） 求 （Ｅｘ）对ｋ的差分，并考虑式（８），则有： ＡＶ（ｋ）一△ １（忌）＋／ＸＶｚ（ 其中，△ （ ）一（ＥＸ（点＋１））ｒＭ（ＥＸ（志＋１））一（ＥＸ（是））ｒＭ（ＥＸ（忌）） ＝Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ｒＭ（Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋２Ｘ （Ａ＋ＢＫ） Ｘ（愚一＾）＋２Ｘ （Ａ＋ＢＫ） ＋Ｘ１’（ 一ｈ）Ｆ ＭＦＸ（五 一＾）＋２Ｘ （忌一ｈ）ＦｒＭＺ＋Ｚ 一Ｘ ＥｒＭＥＸ 据（９）显然有：ＺＴＭＺ—ｘ Ｋ （∑ Ｎ ） （∑Ｘ Ｎ ）ＫＸ≤ｘ Ｋ ＳＫＸ 进一步，根据引理１，有： ２Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ｒＭＦＸ（五一．Ｉ１）≤ｙ－ Ｘ１’（Ａ＋ＢＫ） ｌＭ。（Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋ｙＸ （走一ｈ）Ｆ ＦＸ（五一＾）； ２Ｘ （是一ｈ）ＦｒＭＺ （忌一ｈ）Ｆ ＦＸ（惫一＾）＋ ｚｒＭ。Ｚ． 因此：△Ｖ ≤Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ｒＭ（Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋２Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ｒＭＺ＋ＺｒＭＺ—Ｘ Ｅ ｌＭＥＸ＋（ ＋ ＋７）Ｘ （忌一 ＾） ＦＸ（志一Ｊ１）＋Ｚ－ Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ＴＭ。（Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋ ＺｒＭ。Ｚ ｈ－－１＾一ｌ 而Ｉ￣Ｖｚ（ｋ）一（ ＋卢＋ｙ）∑Ｘ （愚＋１一｜Ｉｌ＋ｉ）ＦｒＦＸ（ｋ＋１－－ｈ＋ｉ）一（ ＋ ＋ｙ）∑ｘ （志一ＪＩｌ＋ｉ）ＦｒＦＸ（ｋ —ｈ＋ ）一（ ＋卢＋７）Ｘ了’（点）Ｆ ＦＸ（志）一（ ＋ ＋ｙ）Ｘ （ 一ｈ）Ｆ１’ＦＸ（志～ＩＩ１） ３９ 广西民族大学学报Ｉ自然科学版） ２００８年１１月 第１４卷 故：△Ｖ（矗） Ｘ （Ａ＋ＢＫ） Ｍ（Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋２Ｘ （Ａ＋ＢＫ）ｒＭＺ＋ＺＴＭＺ～Ｘ ＥｒＭＥＸ＋７－ Ｘ （Ａ＋ ＢＫ）ｒＭ （Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋ Ｚ Ｍ Ｚ＋（ ＋ｐ＋ｙ）ｘ Ｆ ＦＸ三三三（１＋ ａ）Ｘ ，（Ａ＋ＢＫ）ｒＭ（Ａ＋ＢＫ）Ｘ＋２Ｘｒ（Ａ ＋ＢＫ） ＭＺ—Ｘ Ｅ ＭＥＸ＋（ ＋ ＋ｙ）Ｘ Ｆ ｆＦＸ＋（１＋ｆｌ－ ） Ｋ ＳＫＸ一（１＋ ）（ＸｒＫ ＳＫＸ—ＺｒＭＺ） 如果选择Ｍ，Ｆ和Ｋ，使满足： （１＋ｙ－ ）Ｘ （Ａ＋ＢＫ） Ｍ（Ａ＋ＢＫ）Ｘ—Ｘ Ｅ ＭＥＸ＋２Ｘ （Ａ＋ＢＫ） ’ＭＺ＋（ ＋ｐ＋ｒ）Ｘ Ｆ ＦＸ＋（１ ＋ ３）Ｘ Ｋ ＳＫＸ一一 则对于Ｘ≠０，Ｘ∈ 有： △ 三三三一Ｘ Ｗ Ｘ＜０． 故根据李雅普诺夫判别法，闭环系统（８）是局部渐近稳定的． ３ 结语 本文主要研究了具时滞的离散广义双线性系统稳定控制存在的条件，利用广义Ｌｙａｐｕｎｏｖ’ｓ方法，给出了 使闭环系统渐近稳定的条件．本文有关几类具时滞的离散广义双线性系统的理论分析与证明，可以看作是对离 散广义双线性系统的补充和拓广． ［参 考 文 献］ ［１］ＣＡＭＰＢＥＩ Ｌ Ｓ Ｌ．Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｐｉｔｍａｎ。１９８２． ［２］ＤＡＩＬ．Ｓｉｇｕｌｎａｒ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｈｎ：Ｓｐｒｉｎｇ－－Ｖｅｒｌａｇ，１９８９． ［３］张秀华，张庆灵．非线性微分代数系统的控制理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２００７． ［４］Ｔａｍａｌ Ｂｏｓｅ ａｎｄ Ｍｄ－－Ｑｉｎ ＣｈｅｒＬ ＢＩＢＯ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｂｉｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｒｒ￣Ｊ］．Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ。１９９５，５：１６０—１６６． ［５］曾小龙．一类双线性系统的稳定性［Ｊ］．纯粹数学与应用数学，１９９４，１０（１）：３７～４０． ［６］Ｂｏｕｎｉｔ Ｈ．Ｃｏｍｍｅｎｔｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｆｅｅｄｂａｃｋ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｂｉｌｉｎｅａｒ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００３，１６：８４７—８５１． ［７３Ｈａｍａｄｉ ＪｅｒｂＬ Ｇｌｏｂａｌ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｎｅｗ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓＤ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ ８Ｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００１，４２：３１３－－３２０． ［８］Ｍａｒｔｉｎｅｚ－－ｇｕｅｒｒａ Ｒ，Ｌｅｏｎ—Ｍｏｒａｌｅｓ Ｊ Ｄ．Ｏｂｓｅｒｖｅｒ ｂａｓｅｄ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｏｆ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ—Ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ． Ｌｅｔｔ．１９９６，９（５）：５１—５７． ［９３张秀华，张庆灵．离散广义双线性系统的稳定控制分析［Ｊ］．系统工程与电子技术，２００７，２９（１０）：１６９５—１６９８． ［１ｏ］陆国平，郭军亮，宫俊，等．双线性离散广义系统的可解性和镇定性［Ｊ］．南通大学学报，２００７，６（３）：１—５． ［ｎ］粱家荣．具滞后的离散广义系统的稳定性分析ｌ－Ｊ］．广西大学学报，２０００，２５（３）：２４９—２５１． ［责任编辑苏琴］［责任校对 方丽菁］ Ｓｔａｂｌｅ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｂｉｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙ ＬＩ Ｙａｎ—ｐｉｎｇ ，ＷＡＮＧ Ｒｕ—ｌｉａｎｇ ，ＧＵＯ Ｗｅｉ—ｗｅｉ ，ＬＩ Ｘｉａｏ—ｘｉａ １．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３００２３，Ｃｈｉｎａ ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｎａｎｎｉｎｇ ５３００２３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｔｗｏ ｆｏｒｍｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ．ｄｅｌａｙ ａｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｏｎｅ ｆｏｒｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ Ｅ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌ— ｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｔ，ａｎｏｔｈｅｒ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｕｎｄｅｆｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ Ｌｙａｐｕｎｏｖ’ｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｖｉａ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔａｂｌｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ ｆｏｒ ａｎｏｔｈｅｒ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｋｉｎｇ ａ ｃｌｏｓｅｄ ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｓｔａｂｌｅ ｉｎ ｌｏｃａｌ ｂｏｕｎｄ ｉｓ ａｌｓｏ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｕｌａｒ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｄｉｓｃｒｅｔｅ；ｂｉｌｉｎｅａｒ；Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｔａｂｌｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ４０
