孤立奇点处留数的计算方法

廖为

【摘 要】通过对函数f（z）在∞点留数的计算，求解函数f（z）在某区域内含有有限个孤立奇点时的积分值，为有理函数f（z）在∞点的留数计算提供了一个非常简洁的方法。%Through calculating residue of function f(z)at point ∞ in order to solve integral value of fimction f(z)contains finite iso-late singularity in a area, which provided a very brief method of residue calculation of rational function f(z)at point ∞. 【期刊名称】《科技创新与生产力》 【年(卷),期】2012(000)012 【总页数】2页(P105-106) 【关键词】留数;留数定理;围线积分 【作 者】廖为

【作者单位】内江师范学院数学与信息科学学院,四川内江1112 【正文语种】中 文 【中图分类】O174.5

留数定理是复变函数理论中十分重要的结论，它的价值在于：一些在实值函数理论中难以解决的积分问题在转化为复变函数积分后，借助留数可以较容易地解决[1-2]。同时，在流体力学与空气动力学中广泛出现的围线积分的计算往往依赖于留数，

因此，如何有效计算留数越来越受到相关学者与工程工作者的重视[3]。 本文主要通过对函数f（z）在无穷远点处留数的求法研究，应用柯西留数定理解决某些使用通常留数求法难以计算的积分问题。 1 函数f（z）在扩充z平面上有限多个孤立奇点间的关系

定理1：如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1，a2，…，an，∞，则f（z）在各点的留数总和为零，即

证明：设f（z）的有限个孤立奇点为a1，a2，…，an，∞。以原点为中心，做半径为R的充分大的圆周C，使得C的内部包含a1，a2，…，an，由柯西留数定理得 又因 所以

留数定理将计算围线积分的整体问题化为计算各孤立奇点处留数的局部问题。根据这个方法，若ak（k=1，2，…，n）中有一些点ai的留数不易计算时，可以考虑求∞处的留数，从而求出有限多个孤立奇点的留数和，再利用柯西留数定理求解出函数f（z）在某区域内的积分值。 2 函数f（z）在z=∞点留数的计算方法 定理2：

证明：令t=1/z，于是φ（t）=f 1/（）t=f（z），且z平面上无穷远点的去心领域被变成t平面上原点的去心领域（如r=0规定1/r=∞）；圆周被变成圆周从而

易证 所以

定理3：设∞是f（z）的m阶极点， 则

证明：当∞是f（z）的m阶极点时，存在R＞0，使

两端求导m+1次则剔除了非负幂项 或从而由 可知

定理4：设∞是f（z）的可去奇点，则

事实上这是定理3中m=0的特殊情形。 定理 5：设f（z）=P（z）/Q（z），其中

且 P（z）和 Q（z）是互质的多项式，r是包含 Q（z）的所有零点（即f（z）的所有有限奇点）在其内部的任一围线或复围线，则有以下结论： 1）当 m-n≥2时 2）当 m-n=1时

3）当 m-n≤0 时，设 P（z）=R（z）Q（z）+r（z），其中 R（z），r（z）为 z

的多项式，且 r（z）的次数小于m，则而上式的右端又可以转化为1）或2）的情况。

证明：根据定理2的无穷远点留数计算方法，则

1）当m-n≥2时，z=0是可去奇点，因此

2）当m-n=1时，z=0是一阶极点，根据“若a为 f（z）的一阶极点，φ（z）=（z-a）f（z），则φ（a）”可得

3）当m-n≤0时，由已知P（z）=R（z）Q（z）+r（z），所以

令其中K为足够大的正常数，使得f（z）的所有孤立奇点都在C的内部，则有

结论3）提供了求有理函数f（z）在∞点的留数的一个很好的方法，使用起来非常方便，当分子的次数比分母的次数高时，可以用综合除法转化为1）和2）两种简单的情况。

【相关文献】

[1]史济怀,刘太顺.复变函数[M].2版.合肥:中国科学技术大学出版社,1998. [2]普里瓦洛夫.复变函数引论[M].北京:人民教育出版社,1956.

[3]王见勇.无穷远点的留数计算及留数定理的推广[J].高等数学研究,2004,7(1):22-53.