浅析复函数与实函数的类同与差异

浅析复函数与实函数的类同与差异

夏青 数学112班 11101231号

摘要

复函数与实函数贯穿在我们高中和大学的数学之中，我们通过学习了解了部分实函数和复函数的知识点。我认为复函数是实函数的后继与延伸，二者在某些概念、结论上既有区别，又有着深刻的联系，因此为了更加清楚、明确二者的概念、结论的相同与相异之处，本文做了一点简单说明。

正文

在中学我们主要学习了实函数，大学期间，我们又更加深入地学习研究了实函数，与此同时也进行了复变函数的学习。在实函数与复函数的学习中中，我发现二者有许多相似之处，并且在许多命题、性质中是可以相互推证，彼此呼应的。所以在研究复函数中的命题时，会想到从实函数中寻找可以借鉴的东西，但是毕竟二者之间有区别，有时并不能完全照搬照抄，有的甚至有本质的差别。

复变函数论中的柯西—黎曼方程、柯西积分定理、解析函数的幂级数表达式和敛散性、解析函数的泰勒展式与洛朗展式、留数定理等，它们与我们经常使用的实函数有一定的关系，其相关知识点也能运用在实函数的解题上，下面我们将从几个方面来探究其在实函数上的应用。

1.在解决形如

axecosbxdxaxesinbxdx(a2b20)

的实函数的不定积分时，我们往往采用的是分部积分法，其过程往往复杂且容易出错，但是通过我们学习过的复积分能方便的解决这些问题。

i我们已知ecosisin，我们能不能通过构造一个复积分的问题来解决这个问题。

例1： 计算积分

axecosbxdx a,b,xR

此时我们可以添加一个辅助函数

axesinbxdx

f(x)=ecosbxdx

axg(x)=

axesinbxdx

F(x)=F(x)f(x)ig(x)

F(x)=ecosbxdx+iesinbxdx

axax=

axibxedx

eaxibx=aibc1ic2

eax(aib)(cosbxisinbx)a2b2=

=

eax[acosbxbsinbxi(asinbxbsinbx)]a2b2

此时

(acosbxbsinbx)a2b2f(x)=

ReF(x)eaxc1

g(x)ImF(x)eax(asinbxbsinbx)a2b2c2

由此可以看出复函数积分可以快速解决形如

axecosbxdxaxesinbxdx(a2b20)

的问题，但是其解决的问题只是我们常见问题中的很小一部分，我们常见的积分不只是这种情况，更多的是型如：

ax(cdx)ecosbxdxax(cdx)esinbxdx(a2b20)，

我们也可以借助复变的相关知识解决问题。

例2： 计算积分

ax(cdx)esinbxdx

解法1 我们利用实函数的分部积分方法来解决问题。

解法2

f(x)(ABx)eaxcosbxdxg(x)(ABx)eaxsinbxdx令

F(x)f(x)ig(x)

此时我们得到

F(x)(ABx)eaxcosbxdxi(ABx)eaxsinbxdx(ABx)eax(cosbxisinbx)dx(ABx)e(aib)xdx

此时我们可以知道 f(x)ReF(x)c1 g(x)ImF(x)c2

我们对于F(x)运用分部积分，可以轻松的得到f(x)，g(x)。

f(x)(ABx)eaxcosbxdxI(x)f(x)eaxcosbxdx是在极少某种特殊情况下的看到的，我们经常看到的是形如

（f(x)为任意m阶常数），我们也可以应用构造函数的方法来解决此

类问题，

F(x)I(x)iJ(x)

我们可以得出对于任意的形如

I(x)f(x)eaxcosbxdx，

J(x)f(x)eaxsinbxdx（f(x)为

任意m阶实函数），我们可以轻松利用复变函数知识得出。

2.利用复变函数求定积分

我们已知

0exdx22

eaxdx2a (a0)

24



0sinx2dx0cosx2dx那么

eaxdx2a是否在复函数也适用。下面我们看看一些特殊情况，我们取i=a时，

24-i24，然而

我们可以看出

0cosxdx2-

0sinxdx2=

0exdx22，显然

eaxdx2a，在复函数情况下也能成立。

下面我们来看

例3：

sinx)dxx

I(0

我们知道

I0sinx1()dxx=2sinxeiz(x)dx，取r,R，使Rr0，考虑函数f(z)z沿由

[r,R]，半圆弧

CR:zRei(0),[R,r]及半圆弧

Cr:zrei(0)的反向所组成的闭曲线

C的积分。

根据柯西积分定理得cf(z)dz0，

即

Rrixreeixeizeiz()dx()dz()dx()dz0RxzxzCRC （1）

由引理1知

eizLim()dzoRzCR

由引理2知

eizLim()dzir0zCr：

在式（1）中令r0,R取得极限

sinx1()dxx=2eix()dxx

所以

I0(sinx)dxx= 2

3. 复函数在求不等式中的应用

在复平面上，我们知道其上的亦遵守平面直角坐标系的一些规律，在实数范围内我们

经常利用向量解决一些不等式，那么复函数也能够应用在解不等式上面。

我们已经知道z1z2znz1z2zn。

22acbdab例4：求证不等式 c2d2(a,b,c,dR)

证明： 令

z1aib；

z1a2b2 z2cid:

z2c2d2

z1z2acbdi(adbc)

acbdacbd

z1z2a2c2b2d2a2d2c2b2(acbd)2

我们知道复数模有z1z2znz1z2zn

2222abcd例5： 证明不等式2(ab)(bd) 证明：我们利用复函数知识来求这道题，

设 z1aib；z2cid

z1a2b2，

z2c2d2

zaci(bd)

z(ab)2(cd)2a2b2c2d22ac2bd a2b22ab c2d22cd

z1z22(abacbccd)2(ac)(bd)

例6： 设a，b，c为非负实数，证明

a2b2c2b2a2c22(abc)

证明： 设z1aib z2bic z3cia a，b，c为非负实数

z1z2z3(abc)i(abc)

因为 z1z2z3z1z2z3

a2b2c2b2a2c22(abc)2

=

2abc

=(abc)

例7：设a,b,c为小于1的正数，证明

a2b2(ca)2b2a2(cb)2(ca)2(cb)22

证明：设 z1aib,z2(ca)ib,z3ai(cb),z4(ca)i(cb)，

其中，a,b,c(0,1)。

22ab则

(ca)2b2a2(cb)2(ca)2(cb)2=z1z2z3z4

z1z4z2z3

2ci2

通过上面的三部分的应用，我们可以通过复函数的知识让我们更加方便的解决我们所求得实函数，这是它们的类同之处。但是，复函数与实函数也有很大的差异。首先，它们的研究范围不同。顾名思义，复函数就是以复数为自变量的函数。实函数就是以实教为自变量的函数，因此要认清复数与实数的区别。实数可以比较大小，而复数不可以。复数可以像实数一样进行和差积商的运算，只是在运算过程中有了新的规律，要利用复数模的知识。因此使得复数的代数运算(包括乘幂与方根)有了更快捷的形式，并且有了更优美的性质。

复函数的极限、连续和微分在形式上虽然与实函数中相对应的概念模仿，但却有本质的

差别，而这些差别正是复函数引进解析函数概念以及讨论解析函数的基础。下面我们从微分中值定理、解析函数零点的孤立性、解析函数的无穷可微性这三个方面来讨论它们的区别和差异。

1.微分中值定理

微分中值定理是微分学的重要内容之一，其表现形式常用的有Rolle 中值定理及Lagrange 中值定理，随着数域的扩充，微分中值定理在复数域中不成立。

例 8: 设w = f(z) = e，函数f(z) 在z 平面处处解析，且e具有周期性，2kπi，

zzk∈Z 是其周期。当给定闭区域 ，z1，z2∈D且z1≠z2，容易满足e1 = e2，

zz但(e) ' = e≠0。

zz故Rolle 中值定理在复数域C 上不成立。

11 = {Z│Rez ≥2} ，取z1 = 2( 1+3i) ，

例9: 设f(z) = z3，取闭区域

1f( z2) - f( z1) z1=0，而f'(z) = 3z3 = 0 在区域D 内无解。故z2 =2 (1－3i) ，计算z2 -Lagrange 中值定理在C上不成立。

2.解析函数零点的孤立性

区域 D 内处处可微的复变函数称为区域 D 内的解析函数。在《复变函数论》中，解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质截然相反。

例 10: 设w = f(z) = z2 (e－1) ，它的全部零点为z = 0，zk = (2k+1)πi，k ∈Z。 研

z究发现，对于f(z) 的每一个零点，都存在其零点的一个邻域，使得f(z)在该邻域内无异于该

零点的其它零点，即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。

例11: 设函数，研究f(x) 的可微性及其零点的性质。

解: (1) 由于

故f(x)在x = 0可微且f'(0) = 0。

于是f(x) 在(－∞，+∞) 上处处可微。

111(2) 令f(x)=0可得其全部零点是0，± ，± 2，…，± n其中n=1,2,3…，

以 x =0为聚点，也就是说在点x =0的任意领域内总有异于x = 0 的f(x) 的其它零点。即尽管实变函数f(x)不恒为零且处处可微，零点x = 0却不是孤立零点。

3.解析函数的无穷可微性

在复变函数中，若f(z)在区域 D 内解析，则f(z)在区域 D 内具有各阶导数，并且它们也在区域 D 内解析。复变函数的这一性质称为解析函数的无穷可微性。

实变函数中区间上的可微函数，在此区间上的不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导

数了。

例 12: 设，讨论f(x) 在 x = 0 的高阶导数。

解: 因为

故f(x) 在x = 0 可微且f'(0) = 0。

于是

又不存在，则f'(x) 在x = 0不连续于是f'(x)

在x = 0不可导，即f(x) 在x = 0没有二阶导数，更谈不上有高阶导数了。

例 13: 设，其中c: x2+y2 = 5，

求f(1+i)，f '(1+i)，f'(2－3i) 及f″(1+i)，f″(2－3i)。

解: 根据Cauchy 积分公式及其推论，

并且函数f( z) 在以c 为边界的区域内具有无穷可微性。

于是

参考文献：

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