云南省大理市2019-2020学年高三毕业生复习统一检测卷数学(文)试题(教师版)

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合Mxylnx1，Nxx1，则（） A. MNM 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意首先确定集合M，然后考查交集和并集的计算结果即可确定满足题意的选项.

B. MNM

C. MN

D. MNN

，，N1，，所以MN， 【详解】Mxylnx11即MNM，MNN. 故选B．

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22.1i（） A. i 【答案】A 【解析】 【分析】

由题意利用复数的运算法则计算所给的复数即可.

B. i

C. -1

D. 1

22221【详解】1i1i2ii，故选A． 1i1i1i22【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 3.命题p：“sin2221是的充分不必要条件”，命题q：“lgalgb是ab的充分不必要条26B. pq

C. pq

D. pq

件”，下列为真命题的是（） A. pq 【答案】C 【解析】 【分析】

由题意首先确定命题p、q的真假，然后结合复合命题的运算考查所给的复合命题的真假即可.

152k，kZ或2k，kZ，∴不一定成立， 26661反之若，则sin一定成立，

6621sin是的必要不充分条件

26【详解】sin所以命题p是假命题，

lgalgbab0ab，故充分性成立，

反之，若ab，有可能b0，此时lgalgb不成立，

b的充分不必要条件”为真命题，

所以命题q：“lgalgb是a据此可得： pq是假命题，pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题. 故选：C.

【点睛】本题主要考查命题真假的判定，复合命题的真假等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别是2019，2020，则输出的a，b分别是（）

A 2019，2019 【答案】B 【解析】 分析】

首先确定流程图的功能，然后结合输入值确定输出的数值即可. 【详解】由流程图可知其功能为交换输入的实数a,b的值，

由于输人的a，b的值分别是2019，2020，故输出的a，b分别是2020，2019. 故选：B.

【(3)按照题目的要求完成解答并验证． 5.已知函数fxA. -4

B. -1

【答案】A 【解析】 【分析】

【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．

.

B. 2020，2019 C. 2019，2020 D. 2020，2020

2x，x0，若faf10，则实数a的值等于（）

x2，x0，C. 1

D. 4

首先求得f1的值，然后分类讨论确定实数a的值即可，需要注意自变量的取值范围. 【详解】f1212，据此结合题意分类讨论： 当a0时，2a20，解得a1，舍去； 当a0时，a220，解得a4，满足题意.

故选A．

【点睛】本题主要考查分段函数的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.有5个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为（） A. 8 【答案】B 【解析】 【分析】

首先确定放球的方法，然后利用排列数公式即可求得满足题意的放球的种数.

2【详解】很明显两个球只能放在第二个和第四个盒子，故不同的放入种数为A22，

B. 2 C. 6 D. 4

故选：B.

【点睛】本题主要考查排列数公式及其应用，属于基础题. 7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（）

A.

 3B.

 4C.

 2D. 4

【答案】D 【解析】 【分析】

首先确定几何体的空间结构特征，然后结合其空间特征计算其表面积即可.

【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半径为1的球的

3，则其表面积： 4S表33S球S大圆412124， 44故选：D.

【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

18.已知a2，b2100.1，c2log52，则a，b，c的大小关系是（）

B. cab D. bca

A. cba C. bac 【答案】A 【解析】 【分析】

首先利用单调性比较实数a,b的大小，然后利用中间值1比较b，c的大小即可.

1【详解】a21020.12则cba.故选A．

0.1b，b20.1201，c2log52log54log551，

【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

9.已知正数项等比数列an中，a11，且4a1与a5的等差中项是2a3，则a2（） A. 2 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 2

C. 4

D. 2或4

由题意得到关于q的方程，解方程确定数列的公比，然后利用等比数列通项公式即可确定a2的值. 【详解】4a1与a5的等差中项是2a3，所以22a34a1a5，

2442即22a1q4a1a1q，q4q40，

解得：q2，（q2舍去）. 故a2122. 故选B．

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10.若A、B为圆C:x2y23上任意两点，P为x轴上的一个动点，则APB的最大值是（） A. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意首先由几何关系将原问题转化为求解APC最大值的问题，然后结合三角函数的定义确定点P的位置，最后结合特殊角的三角函数值即可求得APB的最大值. 【详解】当PA和PB与圆C相切时，APB最大，

当点P在x轴上运动时，由几何关系易知APB2APC， 且sinAPCB. 60

C. 90

D. 120

2AC，当点P位于坐标原点时，PC有最小值，则sinAPC有最大值. PCAC3,APC60， PC2此时sinAPC据此可得APB的最大值是120. 故选：D.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想，利用三角函数确定最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.函数fx3sinxcosxsinx在区间[212，m]上至少取得1个最小值，则正整数m的最小值是（）

C. 2

D. 1

A. 4 B. 3

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意首先整理函数的解析式为fxAsinxb的形式，然后结合三角函数的性质得到关于m的不等式，求解不等式即可确定正整数m的最小值. 【详解】函数fx3sinxcosxsin2x∴fx的最小正周期T且x311sin2x1cos2xsin2x， 22622， 212时，2x60，

结合fx在区间，m上至少取得1个最小值可得： 12323mT2．09，∴正整数m的最小值是3， ，解得m43124故选B．

【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12.已知直线ykxb的图像恒在曲线ylnx2的图像上方，则A. [1,) 【答案】D 【解析】 分析】

由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定【详解】很明显k0，

否则k0时，函数ykxb单调递减，且x时y， 而ylnx2当x时y，不合题意，

B. (2,)

C. (0,)

b的取值范围是 kD. (1,)

b的取值范围. kk0时函数ykxb为常函数，

而ylnx2当x时y，不合题意，

当k0时，构造函数Hxkxblnx2， 由题意可知Hx0恒成立，注意到：H'xk据此可得，函数在区间2,1kx2k1， x2x2112上的单调性，在区间2,上单调递增， kk则：HxminH1212kblnk0， kblnk12， kklnk1lnk构造函数gk2，则g'k2，还是gk在k1处取得极值，

kkbb结合题意可知：g11，即的取值范围是(1,).

kk故b12klnk，故选：D.

【点睛】本题主要考查导数研究函数的最值，导数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

，C60º，c2，则△ABC最短13.在△ABC中，内角A若A45º，B，C所对的边分别为a，b，c，边的边长是__________________________． 【答案】

26 3【解析】 【分析】

由题意首先求得∠B的大小，然后确定最短的边，最后利用正弦定理即可求得最短边长.

，C60º，可得B75º，∵角A最小，∴最短边是a， 【详解】由A45º由正弦定理

accsinA2sin45º26，可得a． sinAsinCsinCsin60º3【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，三角形中最短的边的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

0处的切线方程为y3x，则a_________________． 14.设曲线yxalnx1在点0，【答案】-2

【解析】 【分析】

由题意首先求得导函数，然后利用导函数与切线斜率的关系得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.

【详解】y'1aa3，解得a2． ，故k1x101【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 15.已知数列an满足a12a23a3nan2n13n，nN，则an_________________．

3,n1【答案】an n143,n2【解析】 【分析】

首先求得a1的值，然后结合递推关系式求解n2时an的通项公式即可确定数列的通项公式. 【详解】当n1时，a12133， 当n2时，由题意可得：

a12a23a3nan2n13n，

a12a23a3n1an12n33n1，

nn1两式作差可得：nan2n132n33综上可得：an4n3n1，故an43n1，

3,n1n143,n2.

【点睛】本题主要考查由递推关系式求数列通项公式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

x2，F2是椭圆C1：y21与双曲线C216.已知F1 4公共焦点，A是C1，C2，在第二象限的公共点，

若F1AF23，则C2的离心率为_________________．

【答案】

32 4【解析】 【分析】

由题意首先求得双曲线中c的值，然后结合椭圆的定义和余弦定理可求得a的值，最后利用离心率的定义即可求得双曲线的离心率.

x2y2：221a1，b10，由题意知cc13， 【详解】设C2 a1b1由椭圆的定义得AF1AF22a4， 在F1AF2中，由余弦定理：

2c212AF12AF222AF1AF2cos3AF1AF23AF1AF2163AF1AF2，

2解得AF1AF243222，∴AF1AF2AF1AF24AF1AF2，

33假设F1，F2分别为左、右焦点，AF2AF1， 则AF2AF1426， 62a1，解得a133所以C2的离心率ec132． a14【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式ec； a2

2

2

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b＝c－a转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosCacosBbcosA3c． （1）求C；

（2）若△ABC的周长为57且c7，求△ABC的面积．

【答案】（1）C【解析】 【分析】

6（2）

9232

(1)由题意结合正弦定理求得cosC的值，然后利用特殊角的三角函数值即可确定∠C的值； (2)由题意结合余弦定理可得ab的值，然后利用(1)的结论和面积公式即可求得△ABC的面积. 【详解】（1）∵在△ABC中，0C，∴sinC0， ∵2cosCacosBbcosA3c，

∴由正弦定理有2cosCsinAcosBsinBcosA3sinC， 整理得2cosCsinAB3sinC，即2cosCsinC3sinC，

∴cosC3，0C∴C.

623， 2（2）由题意ab5，由余弦定理得7a2b22ab∴ab23ab7，即523ab7，

22∴ab1823，

∴SABC111923. absinC18232222【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，余弦定理与面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．

（1）求证：BDPC；

（2）若ABC60且PAAB2，求二面角CPAE的大小．

【答案】（1）详见解析（2）【解析】 【分析】

 6(1)由题意首先证得线面垂直，然后由线面垂直证明线线垂直即可；

(2)首先建立空间直角坐标系，然后结合半平面的法向量计算二面角的余弦值即可求得二面角的大小. 【详解】（1）因为PA平面ABCD，所以PABD， 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD， 因为PAACA，PA，AC平面PAC，

所以BD平面PAC， ∵PC平面PAC， ∴BDPC．

（2）以A为原点，过A作BC的垂线为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，

00，P0，，02，B则：A0，，3，1，0，D0，，20，C333，1，0，E，0， 2，233，3，0，AE，0AP0，，02 ∴BD32，，2设平面PAE的法向量为nx，y，z，

nAP0，，1，0， 则可以推出n3nAE0，，3，0， 又平面PAC的法向量为BD3，BD∴cosnnBDnBD3， 2所以二面角CPAE的大小为：

． 6【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，利用空间向量求解二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19.我市幸福社区在“9．9重阳节”向本社区征召100名义务宣传“敬老爱老”志愿者，现把该100名志愿者的成员按年龄分成5组，如下表所示: 组别 1 年龄 人数 10 20,25 2 25,30 30,35 35,40 30 3 20 4 30 5

40,45 10 （1）若从第1，2，3组中用分层抽样的方法选出6名志愿者参加某社区宣传活动，应从第1，2，3组各选出多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，宣传决定在这6名志愿者中随机选2名志愿者介绍宣传经验． （i）列出所有可能的结果；

（ii）求第3组至少有1名志愿者被选中概率. 【答案】(1)答案见解析；(2)(i)答案见解析；(2)【解析】 【分析】

(1)由题意利用分层抽样的定义和抽样比即可确定所需抽取的志愿者人数；

(2)首先列出所有可能的结果，然后结合列出的结果和对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】(1)由题意结合分层抽样的定义可知：

3. 5101人；

103020303人； 第2组应抽取的人数为：6103020202人. 第3组应抽取的人数为：6103020第1组应抽取的人数为：6(2)(i)设第1组的志愿者为a，第二组的志愿者为b,c,d，第三组的志愿者为e,f， 则所有可能的结果为：ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef.

(ii)结合(i)中的结果可知共有15种可能的结果，其中不满足题意的结果为：ab,ac,ad,bc,bd,cd，共6种， 则第3组至少有1名志愿者被选中的概率p163. 155【点睛】本题主要考查分层抽样的定义与应用，列举法的应用，对立事件概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7x2y231，20.已知椭圆C：221ab0过点，且离心率． e2ab2（1）求椭圆C的方程； （2）已知斜率为

11，设直线PA与PB的倾的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为2，2斜角分别为，，证明：．

x2y2【答案】（1）1（2）详见解析

82【解析】 【分析】

(1)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.

714221，b【详解】（1）由题意得a b23e12，a2解得a28，b22，

x2y2所以椭圆的方程为C：1．

82（2）设直线l：y1xm， 21yxm，2由2消去y得x22mx2m240，4m28m2160， 2xy1，28解得2m2．

设Ax1，y1，Bx2，y2，

2则x1x22m，x1x22m4，

由题意，易知PA与PB的斜率存在，所以，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2， 则tank1，tank2，

2．

要证，即证tantanBtan， 只需证k1k20， ∵k1y11y21，k1， x12x22故k1k2又y1y11y21y11x22y21x12，

x12x22x12x2211x1m，y2x2m， 2211x1m1x22x2m1x12 22所以y11x22y21x12x1x2m2x1x24m12m24m22m4m10，

∴k1k20，．

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21.已知函数fxe2x2mxmxR，mR．

（1）讨论函数fx的单调性；

（2）若m1，不等式fxlnxln2bx对一切x0恒成立，求实数b的取值范围 【答案】（1）答案见解析（2）b2e4 【解析】 【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式分类讨论即可确定函数的单调区间；

上恒成立，据此设出导函数的零点，结合导函数(2)原问题等价于e2x2x1lnxln2bx在0，的性质讨论函数的最值，得到关于b的不等式即可确定其取值范围. 【详解】（1）fx的定义域是R，f'x2e2x2m．

①m0时，f'x0，fx在R上单调递增： ②m0时，f'x2e2x12m0，解得xlnm，

211，lnm上递减； fxf'x0xlnm当时，，则在22当x11上递增． lnm时，f'x0，则fx在lnm，222x（2）当m1时，fxe2x1，

依题意知不等式fxlnxln2bx，

上恒成立， 即e2x2x1lnxln2bx在0，即e2xlnxb2xln2e在0，上恒成立，

2x设gxelnxb2x，g'x2e2x1b2， x2x0令g'x02e11b20，2e2x0b2x00， x0x0上递增， 易知gx在0，x0上递减，在x0，则gxmingx0e即2x01e2x02x0lnx0b2x012x0e2x0lnx01ln2e，

ln2x00，设t2x00，则htt1etlnt0，

11h'ttet0，则ht递增，又h10，故0t2x01，0x0，

t22x0∴b22e12e2，解得b2e4． x0【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．



x1

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

y2

极轴的极坐标系中，圆C的方程6cos． （1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

2t，2

（t为参数），以原点O为极点，x轴为2t，2

2，（2）若点P的直角坐标为1，圆C与直线l交于A，B两点，求弦AB中点M的直角坐标和PAPB的值．

【答案】（1）直线l的普通方程为xy30，圆C的直角坐标方程为x3y29（2）弦的中点

2M3，0，PAPB1

【解析】 【分析】

(1)消去参数t可得直线的参数方程，利用极坐标化直角坐标的方法可得圆的直角坐标.

(2)联立直线的参数方程和圆的直角坐标方程，结合参数方程的几何意义和韦达定理即可确定中点坐标和

PAPB的值.

x1【详解】（1）由y22t，2（t为参数），得直线l的普通方程为xy30． 2t，222又由6cos得圆C的直角坐标方程为xy6x，即x2y26x0，

x32y29．

2t，2代入圆C的直角坐标方程， 2t，2x1（2）直线l的参数方程y22222t32t9，即t242t10． 得122t1t242，t，t由于360，故可设12是上述方程的两实数根，则

tt1，12，2，A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 又直线l过点1弦的中点M对应的参数t0t1t24222， 22，0 代入参数方程中得其直角坐标为M3PAPBt1t2t1t21．

【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义，参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.已知a，b，cR*，a2b2c21． （1）求证：abbcac1；

a4b4c4（2）求证：2221．

cab【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】

(1)由abbcac2ab2bc2ac结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；

2a4b4c4(2)由题意利用均值不等式首先证得222a2b2c22，然后结合题意即可证得题中的结论，

cab注意等号成立的条件.

a2b2c2b2a2c22ab2bc2ac【详解】（1）abbcac 22a2b2c21，abc3取等号． 3a4b4c4a4b4c4222222（2）222abc2c2a2b

cabcaba42b42c4222c22a22b2a2b2c22，

caba4b4c43所以2221，abc取等号．

cab3【点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.