2019年江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学
高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数z满足（z+i）i＝2﹣3i，则|z|＝（ ） A．
B．3
C．10
2
D．18
2．（5分）已知集合M＝{y|y＝|x|﹣x}，N＝{x|y＝ln（x﹣x）}，则M∩N＝（ ） A．R
B．{x|x＞1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x≥1或x＜0} 的离心率e
，则p是q的（ ）
3．（5分）已知命题p：m∈（0，2），命题q：双曲线A．充分不必要条件 C．充要条件
4．（5分）已知数列{an}是等比数列，若ma是（ ） A．（2，6）
B．（2，5）
C．（3，6）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
，且公比q
，则实数m的取值范围
D．（3，5）
5．（5分）小华爱好玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知实数x，y满足，则Z＝的最小值是（ ）
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A． B．2 C． D．﹣2
7．（5分）某四面体三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）已知f（x）＝，若关x于的方程a＝f（x）恰有两个不同实根，则实数a的取值
范围是（ ）
A．（﹣∞，）∪[1，2） C．（1，2）
9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣
B．（0，）∪[1，2） D．[1，2）
）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x+φ）+1（|φ|＜
）的图象的对称轴完
全相同，则下列关于g（x）的说法正确的是（ ） A．最大值为3 B．在（C．（D．x＝﹣
）单调递减 ）是它的一个对称中心 是它的一条对称轴
10．（5分）下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120； ②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；
③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8； 则可以判定数学成绩优秀同学为（ ）
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A．甲、丙 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙
11．（5分）已知曲线C1是以原点O为中心，F1F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，则△AF1F2的面积是（ ） A．
B．2
ax﹣1
C．
﹣lnx﹣ax，a
D．4
，函数f（x）的最小值M，则实数M的最小值
12．（5分）已知函数f（x）＝xe是（ ） A．﹣1
B．﹣ C．0 D．﹣
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）若二项式（x+
）展开式的常数项为15，则实数m的值为 ．
6
14．（5分）若函数f（x）＝ln（e+1）+ax为偶函数，则
x
＝ ．
15．（5分）在△ABC中，a、b、c所对的角为A、B、C，满足条件：cosA•（b﹣2c）＝a•（2cosC﹣且|
+2
|＝6，则边长a的值为 ．
sinB），c＝2b
16．（5分）已知在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝表面积为 ．
，则三棱锥A﹣BCD外接球的
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{an}满足a（1）求证：数列{（2）设bn＝
（n∈N*）
}是等差数列；
，求数列{bn}的前n项和为Tn．
，BC＝2，四边形BDEF为平行四边形，点F
18．如图所示多面体EF﹣ABCD，其底面ABCD为矩形且AB＝2在底面ABCD内的投影恰好是BC的中点．
（1）已知G为线段FC的中点，证明：BG∥平面AEF； （2）若二面角F﹣BD﹣C大小为
，求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．
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19．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称RMM）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6．而在分量极重的国际数学奥林匹克（IMO）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点．某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：
男生 女生 合计 不应下“禁奥令” 10 应下“禁奥令” 5 合计 50 若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人． （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；
（2）现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考公式与数据：K＝
P（K≥k0） k0 22
0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 20．已知椭圆E：
，F1、F2为其左右焦点，B1、B2为其上下顶点，四边形F1B1F2B2的面积
为2．
（1）求椭圆E的长袖A1A2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
（2）对于（1）中确定的椭圆E，设过定点M（﹣2，0）的直线l与椭圆E相交于P，Q两点，若
，
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当时，求△OPQ面积S的取值范围．
（其中a为常数且a∈R）
21．已知函数f（x）＝
（1）若函数f（x）为减函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围，并说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cosθ，若极坐标系内异于O的三点A（ρ1，φ），B（ρ2，φ+在曲线M上． （1）求证：
＝ρ2+ρ3；
），C（ρ3，φ﹣
）（ρ1，ρ2，ρ3＞0）都
（2）若过B，C两点直线的参数方程为（t为参数），求四边形OBAC的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数|ax﹣1|≤|x+3|的解集为{x|x≥﹣1}． （1）求实数a的值； （2）求
的最大值．
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2019年江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高考数
学模拟试卷（理科）（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：复数z满足（z+i）i＝2﹣3i， 则zi﹣1＝2﹣3i， 所以z＝所以|z|＝故选：B．
2．【解答】解：M＝{y|y≥0}，N＝{x|x＜0，或x＞1}； ∴M∩N＝{x|x＞1}． 故选：B．
， ＝3
．
3．【解答】解：由双曲线的离心率e，解得：或，解得：0＜m
＜2或﹣4＜m＜﹣2，即命题q：0＜m＜2或﹣4＜m＜﹣2， 又命题p：m∈（0，2）， 即p是q的充分不必要条件， 故选：A．
4．【解答】解：因为数列{an}是等比数列， 所以
，
＝
，a4•a9＝
，
所以m＝＝q﹣2，
3
又知道q，
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所以q∈（5，8）， 所以m∈（3，6）． 故选：C．
5．【解答】解：如图，连接OB，OA， 易得；△OBM与△OAN全等， 所以S四边形MONB＝S三角形AOB＝
＝1，
3
即正方形ABCD和OPQR重叠的面积为1， 又正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形面积为7， 故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是， 故选：A．
6．【解答】解：作出实数x，y满足
对应的平面区域如图：
Z＝设k＝
＝1+，
，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，﹣3）的斜率，
由图象知CD的斜率最小， 由
即C（3，﹣2），
＝，
则CD的斜率k＝即z＝故选：C．
的最小值为：，
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7．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
由几何体的图形，
得到：AE＝2，CD＝BC＝2，AB＝
，AD＝3，BD＝2
，
所以：四面体最长的棱长与最短的棱长的比为． 故选：D．
8．【解答】
解：关于x的方程a＝f（x）恰有两个不同实根等价于直线y＝a与函数y＝f（x）的图象有两个不同的交点， 由直线y＝a与函数y＝f（x）的图象的位置关系可得：
当直线y＝a与函数y＝f（x）的图象有两个不同的交点时，实数a的取值范围是0故选：B．
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或1≤a＜2，
9．【解答】解：∵两个函数的图象的对称轴完全相同， ∴两个函数的周期相同，即ω＝2， 则f（x）＝2sin（2x﹣由2x﹣
＝kπ+
），
+
，即f（x）的对称轴为x＝+
）+φ＝mπ，
+
，k∈Z，
得x＝
同时也是g（x）的对称轴即2（得kπ+
+φ＝mπ，
，
则φ＝（m﹣k）π﹣∵|φ|＜
，∴当m﹣k＝1时，φ＝π﹣＝，
则g（x）＝3cos（2x+当
＜x＜
时，
）+1，则最大值为3+1＝4，故A错误， ＜2x+
＜
，此时f（x）不单调，故B错误，
，1）是g（x）的一个对称中心，故C错误，
+
＝﹣
，故D正确，
当x＝时，g（）＝3cos
+
+1＝1，即（
g（x）的对称轴为x＝故选：D．
，k∈Z，则当k＝﹣1时，对称轴为x＝﹣
10．【解答】解：在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120， 所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127， 故甲同学数学成绩优秀，故①成立；
在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127， 可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128， 故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；
在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8 设x1＜x2＜x3＜x4，
则[（x1﹣128）+（x2﹣128）+（x3﹣128）+（x4﹣128）+（135﹣128）]＝19.8， ∴（x1﹣128）+（x2﹣128）+（x3﹣128）+（x4﹣128）＝50，
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴（x1﹣128）≤50， 得|x1﹣128|≤5
，∴x1≥128﹣5
＞120，∴丙同学数学成绩优秀，故③成立．
2
∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学． 故选：A．
11．【解答】解：设A在抛物线的准线x＝﹣c上的射影为M， 抛物线的焦点为（c，0），方程为y＝4cx， 由抛物线的定义可得|AM|＝|AF2|＝， |AF1|＝，在直角三角形AMF1中， 可得|MF1|＝
＝
， ），
2
可设A的坐标为（m，
由m+c＝，即m＝﹣c，
则6＝4c（﹣c），解得c＝1或c＝， 在三角形AF1F2中，若A（，
），F2（1，0），
则AF2的斜率为
＝2
＞0，满足∠AF2F1为钝角；
若A（1，
），F2（，0），
则AF2的斜率为
＝﹣2
＜0，不满足∠AF2F1为钝角；
可得c＝1，
则△AF1F2的面积是•2c•故选：C．
＝
．
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12．【解答】解：∵函数f（x）＝xe∴g′（x）＝e由e
ax﹣1
ax﹣1
ax﹣1
﹣lnx﹣ax，a
ax﹣1
，
﹣），
+axe
ax﹣1
﹣a﹣＝（ax+1）（e
，
﹣＝0，解得：a＝
， ，
设p（x）＝则p′（x）＝
2
当x＞e时，p′（x）＞0，当0＜x＜e，p′（x）＜0，
从而p（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增， p（x）min＝p（e）＝﹣当a≤﹣
，a≤
2
2
2
2
， ，即e
ax﹣1
﹣≤0，
在（0，﹣）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）单调递减， 在（﹣，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）单调递增， ∴g（x）min＝g（﹣）＝M， 设t＝﹣∈（0，e]，M＝h（t）＝h′（t）＝
2
﹣lnt+1，（0＜t≤e），
2
2
﹣≤0，h（x）在，∈（0，e]上单调递减，
2
∴h（t）≥h（e）＝0，∴M的最小值为0． 故选：C．
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二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．【解答】解：二项式（x+令6﹣
）展开式的通项公式为Tr+1＝
4
6
•m•
r
，
＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为•m＝15，则实数m＝±1，
故答案为：±1．
14．【解答】解：若函数f（x）＝ln（e+1）+ax为偶函数，即f（﹣x）＝f（x）， 可得ln（e+1）+ax＝ln（e+1）﹣ax＝
x
﹣x
x
﹣ax＝ln（e+1）﹣x﹣ax，
x
∴2ax＝﹣x对任意实数x恒成立，所以a＝﹣，
＝＝（lnx+x）|＝（e+1）﹣（1+0）＝e．
222
故填：e．
15．【解答】解：∵cosA•（b﹣2c）＝a•（2cosC﹣∴由正弦定理可得：sinBcosA+∵B为三角形内角，sinB≠0， ∴cosA+
sinA＝2，可得：sin（A+
∈（
，．
2
2
sinB），可得bcosA+asinB＝2acosC+2ccosA，
sinAsinB＝2sinAcosC+2sinCcosA＝2sin（A+C）＝2sinB，
）＝1， ），
∵A∈（0，π），A+∴A+∵
+2＝
，可得：A＝
＝6，两边平方可得：
2
2
+4
2
+4•＝36，可得：c+4b+4bccosA＝c+4b+2bc＝36， ，c＝2
，
＝3．
2222
∵c＝2b，可得：4b+4b+2b•2b＝36，解得：b＝∴由余弦定理可得：a＝故答案为：3．
＝
16．【解答】解：由题意可知△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，BC⊥CD． 设BD的中点为M，△ABD的中心为N，
过M作平面BCD的垂线，过等边△ABD的中心N作平面ABD的垂线， 则两平面垂线的交点O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心．
第12页（共18页）
连接AM，CM， ∵BC＝CD＝
，AB＝BD＝AD＝2，
，CM＝BM＝1，
∴AM⊥BD，CM⊥BD，且AM＝
∴∠AMC为二面角A﹣BD﹣C的平面角， 在△AMC中由余弦定理可得cos∠AMC＝
∴∠AMC＝150°，∴∠ONM＝150°﹣90°＝60°， ∵MN＝AM＝∴OB＝
，∴OM＝2MN＝＝
2
＝﹣，
，
．
，即三棱锥外接球的半径为r＝
．
∴外接球的表面积S＝4πr＝故答案为：
．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【解答】解：（1）由可得
从而可得数列{（2）由（1）知则＝所以：＝
．
第13页（共18页）
．
为常数，
}是﹣1为首项，﹣为公差的等差数列；
，
，
，
，
18．【解答】证明：（1）连结AC交BD于H，连结GH， ∵GH为△ACF的中位线，∴GH∥AF，
∵GH⊄平面AEF，而AF⊂平面AEF，∴GH∥平面AEF． 又BD∥EF，BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， ∴BD∥平面AEF，
∵BD，GH相交，∴由它们确定的平面BDG∥平面AEF， ∵BG⊂平面BDG，∴BG∥平面AEF．
解：（2）以BC的中点，O为原点，以OC，BC的垂直平分线、OF为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设F（0，0，a），B（﹣1，0，0），C（0，0，1），D（1，2∴
＝（2，2
，0），
＝（1，0，a），
，0），
又设平面BDEF的法向量为＝（x，y，z）．
由，取x＝﹣，得＝（﹣），
平面ABCD的法向量为＝（0，0，1）， ∵二面角F﹣BD﹣C大小为解得a＝． ∵
＝
＝（3，0，），且＝（﹣
，，
），
．∴由cos
＝
＝
＝，
∴sinθ＝＝＝，
故直线AE与平面BDEF所成角的正弦为．
第14页（共18页）
19．【解答】解：（1）填写列联表如下，
男生 女生 合计 所以K的观测值为k＝
2
不应下“禁奥令” 20 10 30 ＝
应下“禁奥令” 5 15 20 ≈8.3333，8.3333＞6.635
合计 25 25 50 所以有99%的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关．
（2）由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应该下“禁奥令”，ξ所有可能取值有1，2，3，4；
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝；
所以ξ的分布列是
ξ P 1 2 ＝2.4（人）．
3 4 所以E（ξ）＝
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20．【解答】解：（1）依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，即2bc＝2， 因为长轴A1A2＝2a＝2此时b＝c＝1，a＝
，
，此时椭圆E的方程为
+y＝1，
2
≥2＝2，
故长轴A1A2的最小值为2
（2）依题意，可设l：x＝ty﹣2，联立
2
得（t+2）y﹣4ty+2＝0，
22
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由△＞0，解得t＞2， 且y1+y2＝
，y1y2＝
，
可得y1＝λy2，
且易知M（﹣2，0），由
∴，
则λ+∵∴λ+∴＜∴
+2＝， ，
+2∈（，
＜
2
） ，
＜t＜4，满足△＞0，
∴S＝S△OMQ﹣S△OMP＝|OM|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝
＝，
设m＝∴t＝m+2， ∴S＝
＝
2
，则m∈（，），
，
∵m+在m∈（，）递减，
第16页（共18页）
故S关于m递增， ∴S∈（
，）．
（其中a为常数且a∈R）．
21．【解答】解：（1）f（x）＝f′（x）＝a﹣
．
若函数f（x）为减函数，则f′（x）≤0，即a≤设u（x）＝
，
对x∈（0，+∞）上恒成立．
∵u′（x）＝，∴u（x）在区间（0，）上递减，在（，+∞）上递增．
∴u（x）min＝u（
）＝﹣，
∴a≤﹣，解得a≤﹣e．
3
3
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e）． （2）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）＝
2
．
设h（x）＝ax﹣（a﹣1）x﹣lnx，则原命题等价于函数h（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围， h′（x）＝ax﹣（a﹣1）﹣＝
．
∴当a≥0时，函数h（x）在区间（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增， ∴若函数h（x）有两个不同的零点，
则必有h（1）＝﹣a+1＜0，即a＞2，此时，在x∈（1，+∞）上有h（2）＝2a﹣2（a﹣1）﹣ln2＝2﹣ln2＞0． 在（0，1）上，∵h（x）＝a（x﹣2x）+x﹣lnx， ∵﹣1＜x﹣2x＜0，∴h（x）＞﹣a+x﹣lnx．
2
2
∴h（）＞﹣a+﹣ln（）＝＞0．
第17页（共18页）
∴函数h（x）在区间（0，1），（1，+∞）上各有一个零点，故a＞2合题意；
当a＝﹣1时，h（x）在区间（0，+∞）上递减，∴函数h（x）至多一个零点，不合题意； 当﹣1＜a＜0时，∵函数h（x）在区间（0，1）递减、（1，﹣）递增、（﹣，+∞）递减， ∴函数h（x）的极小值为h（1）＝﹣a+1＞0，∴函数h（x）至多一个零点，不合题意； 当a＜﹣1时，∵函数h（x）在区间（0，﹣）递增、（﹣，1）递增，（1，+∞）递减． ∴函数h（x）的极小值为h（﹣）＝
+（a﹣1）﹣ln（﹣）＝1﹣
+ln（﹣a）＞0．，
∴函数h（x）至多一个零点，不合题意． 综上所述，实数a的取值范围是（2，+∞）．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【解答】解（1）由ρ1＝2cosφ，ρ2＝2cos（φ+﹣
）＝2
cosφ＝
ρ1；
2
2
2
），ρ3＝2cos（φ﹣），则ρ2+ρ3＝2cos（φ+
）+2cos（φ
（2）由曲线M的普通方程为：x+y﹣2x＝0，联立直线BC的参数方程得：t﹣解得t1＝0，t2＝
；平面直角坐标为：B（，
；又得ρ1＝
．
＝
为所求． ），C（2，0）
＝0
则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝
即四边形面积为SOBAC＝ρ1ρ2sin[选修4-5：不等式选讲]
+ρ1ρ3sin
23．【解答】．解（1）由两边平方得：（1﹣a）x+（2a+6）x+8≥0的解集为{x|x≥﹣1}．
当（1﹣a）＝0时得a＝±1且x＝﹣1为方程（1﹣a）x+（2a+6）x+8＝0的一解，经检验a＝﹣1不合题意，舍去，a＝1符合题意 综上a＝1得为所求． （2）由（
+
）＝16+2
+
2
2
2
2
2
22
＝16+2
）的最大值为32． 为所求．
即当t＝＝4时，则（且，则
+
最大值为4
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