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郑州一中高三暑假补课数学试题（理科）

一、选择题（125=60）

1.(13i2)等于 （ ） 1iA 3i B -3i C 3-i D -3+i

2.设随机变量服从B（6，

1），则P（=3）的值是（ ） 25353A. B. C. D.

881616an2cnbnc1an2bnc5,Lim，如果bc≠0，那么Lim23.已知Lim= ( )

nbn2cncnancnanb3A 15 B、

135 C、 D、 15534.从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层随机抽样，则组成此

课外学习小组的概率是（ ）

33446C10C52C10C5A10A52C15A. B. C.6 D. 666C15C15C15A15|r|n5.若r为实常数，则集合{x|xLim,rR} ( )

n1|r|nA、恰有一个元素 B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素

112

6.过抛物线y=x上的点M（,）的切线的倾斜角是 ( )

24A、30

0

B、45

0

C、60 D、90

00

7.有三个相识的人某天各自乘火车外出，火车有十节车厢，那么至少有两人在车厢相遇的概率为（ ）

A.

297297 B. C. D.

14420025183

8.函数f(x)=x-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )

A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，

1） 29．a、b为实数且b－a=2，若多项式函数f(x)在区间(a，b)上的导数f′(x)满足f′(x)＜0， 则一定成立的关系式是（ ）

A．f(a)＜f(b) B．f(a+1)＞f(b－

13) C．f(a+1)＞f(b－1) D．f(a+1)＞f(b－) 2210.甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直到某人投中为止，甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，设甲先投，甲的投篮次数为，则P（=k）等于（ ）

A.0.6k10.4 B.0.24k10.76 C.0.4k10.6 D.0.76k10.24

11.新生儿体重的频率分布直方图如下，则新生儿体重在（2700，3000）的频率为（ ）

A.0.001 B.0.1 C.0.2 D.0.3

频率 组距0.001 体重

2400 2700 3000 3300 3600

12．已知函数yf(x)的导函数的图象如图甲所示， 则yf(x)的图象可能是（ ）

y

O x 甲

y y y

x O x O O

二、填空题（44=16）

y x x O A B C D 13.由于电脑故障，使得随机变量的分布列部分数据丢失（以代替），其表如下：

则其期望为 。  p

1 0.20 2 0.10 3 0.5 4 0.10 5 0.1 6 0.20 x22x3(x1)14.已知函数f(x)x1连续，则a的值为 。

ax1(x1)15.一投资者在甲、乙两个方案里选择一个，其利润X（万元）甲、乙方案分别服从N（6，22）和

N（8，32），要求“利润超过5万元”的概率尽量大，则应该选择 方案。

（）10.8413，（0.5）0.6915） （16.函数f(x)logsin(x2ax3a)(为锐角）在区间（内递减，则a的取值范围 。 2，）

三、解答题: 17.（12分）

张三开车回家途中有6个交通岗，他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

1 3（1）求他在途中至少一次遇到红灯的概率

（2）设为他在途中遇到的红灯次数，求的期望和方差 （3）设表示他在首次停车前经过的路口数，求的分布列

18(12分)

已知aR,求函数f(x)x2eax的单调区间

19.（12分）

某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在甲、乙、丙3个景区选择一个，假设各部门选择每个景区是等可能的

（1）求3个景区都有部门选择的概率 （2）求恰有2个景区有部门选择的概率

20（12分）

2向量a(x,x1)，b(1x,t)，若函数f(x)ab在区间（-1，1）上递增， 求t的

取值范围.

21、（12分）

已知抛物线y=-x+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求切线l的方程

22、(14分)

已知a0,数列{an}满足a1a,an1a2

1,n1,2,. ann（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求Aliman（将A用a表示）； （II）设bnanA,n1,2,,证明:bn1（III）若|bn|bn;

A(bnA)1对n1,2,都成立，求a的取值范围. n2

参考答案

一、选择题：DA DAC BBDBB DD

13、 3.5 14、 3 15、 乙 16、4，4 17、（1）他在每个路口遇到红灯的概率为

12，则他在每个路口顺利通过的概率为，所以他在途33266464665中一次红灯都没有遇到的概率为（）=，所以他至少一次遇到红灯的概率为1-=。

7297297293(4分)

（2）他在6个路口遇到红灯是相互独立的，在每个路口遇到红灯的概率都是

1，则P（=K）312=C(33k6k6k(k=0,1,2,3,4,5,6) ,则服从B（6，），则E=6131124=2（次），D=6=。 3333（8分）

（3）的可能的取值为0、1、2、3、4、5、6

1 3212 P（=1）=（）=

393214 P（=2）=（）2=

3273218 P（=3）=（）3=

38132116 P（=4）=（）4=

324332132 P（=5）=（）5=

37293264 P（=6）=（）6=

21873则的分布列如下：表格略 （12分）

P（=0）=

18.解：函数f(x)的导数：f’(x)=2x e

ax+ax2 e

ax=（2x+ax2）e

ax （2分）

(1)当a=0时，若x＞0,则f’(x) ＞0, 若x＜0,则f’(x) ＜0

∴当a=0时，函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数，在区间(0,+ ∞)内为增函数 （4分） （2）当a＞0时，由2x+ax＞0，解得x＜- 由2x+ax2＜0，解得-2

2或x＞0 a2＜x＜0 a22 ∴当a＞0时，函数f(x)在区间(-∞, -)内为增函数，在区间（-，0）内为减函数在区间

aa(0,+ ∞)内为增函数 （8分）

（3）当a＜0时，由2x+ax＞0，解得0＜x＜- 由2x+ax2＜0，解得x＞-

2

2 a2或x＜0 a22）内为增函数,在区间（-，aa ∴当a＜0时，函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数，在区间（0,-+ ∞）内为减函数 （ 12分）

19、解：4个单位选择3个景区可能出现的结果数是34，这些结果是等可能性出现的。 （2分）

3（1）3个景区都有部门选择的可能出现的结果数为C4，则3个景区都有部门选择的概率3！3C43！4为= （7分） 49331，由（1）知3个景区都有部门选择的概率342744114为，所以恰有两个景区有部门选择的概率为1--= （12）

992727（2）4个部门都选择一个景区的概率为

212（另一种计算是，恰有两个景区有部门选择的结果数为C） （！C4）3C42

2

20：解f(x)ab=x(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t

f/(x)= -3x2+2x+t 由题意在区间（-1，1）上递增，f/(x)> 0在区间（-1，1）上恒成立。

f/(x)>f/(-1)

f/(-1)=-3-2+t0,即t5函数f(x)在区间（-1，1）上递增 （12分）

21．解：设抛物线上的切点P（x0,-x0+2）,(x0>2) 由y=-x+2得y=-2x，k=-2x0

2

/

x2直线l的方程为y-(-x0+2)=-2x0(x-x0)令y=0,得x=0

2x0 令x=0，得y=x18+2

2x1 因此所求三角形面积S=0x0（5分）

4x0S=

/

3(3x02)(x02)4x022

S=0,x0>0得 x0=

/

66当x0=S最小， 33此时k=-

26644266切点P(（12分） ,)所求的切线的方程为y-(x) 333333

22、解：（I）由liman存在,且Aliman(A0),对an1ann1两边取极限得 an

1aa24aa24Aa,解得A.又A0,A.（3分）

A2211得bn1Aa. anbnA（II）由anbnA,an1abn1aA

bn111.bnAAbnAA(bnA)即bn1bn对n1,2,都成立A(bnA)111,得|a(aa24)|. 222（6分）

（III）令|b1|11|(a24a)|.22

3（9分） a24a1,解得a.231现证明当a时,|bn|n对n1,2,都成立.22（i）当n=1时结论成立（已验证）.

（ii）假设当nk(k1)时结论成立,即|bk|

1,那么 k2

|bk|11k

|A(bkA)|A|bkA|2113,即证A|bkA|2对a成立.故只须证明

A|bkA|22|bk1|

aa24由于A22a4a2,3而当a时,a24a1,A2.2

1|bkA|A|bk|2k1,即A|bkA|2.23111故当a时,|bk1|kk1.2222

即n=k+1时结论成立. 根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立. 故|bn|13对n1,2,都成立的a的取值范围为[,).（14分） n22