2020届湖北省武汉市新洲区高三上学期10月联考数学(理)试题(解析版)

试题

一、单选题

1．设集合Mxx2k1,kZ，集合N{xx4k1,kZ}，则（ ） A．M=N 【答案】A

【解析】由kZ，从而k可以表示成k2n，或k2n1,nZ，这样代入集合M便可得到Mx|x4n1,nZ，从而便可看出集合M是表达形式同集合N的相同，这样既可判断集合M,N的关系. 【详解】

因为kZ，所以k2n，或k2n1,nZ，

所以Mx|x4n1或x4n1,nZx|x4n1,nZ， 又Nx|x4k1,kZ， 所以M=N， 故选A. 【点睛】

该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.

2．已知复数z满足z(12i)3i，则共轭复数z的模为（ ） 7A．

5N B．MM C．ND．NðZM

B．1

C．2

D．2

【答案】C

【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果. 【详解】

由z(12i)3i， 得z3i(3i)(12i)32i6i17i， 12i(12i)(12i)555第 1 页 共 22 页

所以zz故选C. 【点睛】

1492， 2525该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.

3．“x1y20”是“x1且y2”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B

【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】

由题可知x1y20，可以解得x1或y2， 则从x1y20不能推出x1且y2， 即不能满足其充分性，

而由x1且y2能推出x1y20， 即能证明其必要性满足，

所以“x1y20”是“x1且y2”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】

该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.

4．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn(modm)，例如

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

103(mod7). 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定

理》，执行该程序框图，则输出n的值等于（ ）

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A．29 【答案】D

B．30 C．31 D．32

【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】

由题中的程序框图可知：

该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被3除余2，②被5除余2， 所以应该满足是15的倍数多2， 并且是比26大的最小的数， 故输出的n为32， 故选：D. 【点睛】

该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.

5．已知x3ln2,y2ln3,z2，则x,y的大小关系是（ ） A．xyz 【答案】C

【解析】首先对x,y分别取以e为底的对数，可以发现xy，利用指数函数的单调性，可知yz，从而得到其大小关系. 【详解】 因为x3ln2B．yxz C．xyz D．yzx

,y2ln3，

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所以lnxln3ln2ln2ln3，lnyln2ln3ln3ln2，所以xy， 又y2ln3212z，所以x故选：C. 【点睛】

该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.

6．设A、B 、C为三角形三内角，且方程

yz，

(sinBsinA)x2(sinAsinC)xsinCsinB0有两相等的实根，那么角B（ ） A．B60 【答案】D

【解析】根据方程有两相等实根可得判别式0，在依据正弦定理把角换成边，化简

B．B60

C．B60

D．B60

3b2得ac2b，代入余弦定理得cosB再根据ac2b两边平方，得出b21，

2ac与ac的关系，进而推断出cosB的范围. 【详解】

依题意有(sinAsinC)4(sinBsinA)(sinCsinB)0， 根据正弦定理得：(ac)4(ba)(cb)0， 即a2acc4(bcacbab)0， 化简得：a2c24b22ac4ab4ac0， 整理得：(ac2b)0， 即ac2b，

222222a2c2b2(ac)22acb23b22ac3b2所以cosB1，

2ac2ac2ac2ac因为(2b)(ac)4ac，所以b2ac，

223b231所以11，

2ac22又因为1cosB1，所以

1cosB1， 2第 4 页 共 22 页

所以0B60o， 故选D. 【点睛】

该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.

7．某同学研究曲线C:x3y31的性质，得到如下结论：①x、y的取值范围是R；②曲线C是轴对称图形；③曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为的结论序号为（ ） A．①② 【答案】D

【解析】把方程变形可得x,y的取值范围，在方程中x,y互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果. 【详解】

因为曲线C的方程xy1，所以y1x13131313，

112. 其中正确8B．①③ C．②③ D．①②③

式子中x的范围为R，对应的y的范围为R，所以命题①正确； 在xy1中，令xy,yx，方程不变，

所以曲线C的图象关于直线yx对称，所以命题②正确； 设曲线C上点的坐标为A(x,y)， 因为x3y31，

所以(xy)1，即xy3xy3xy1，

所以xy3xy(xy)1，即xy3xy(xy)1， 所以xy3x3y31，

1111又1xy2xy，所以xy，所以xy13x3y3，

441313111313323131323131313131313131311131313131313(xy)212则OAdxy，当且仅当xy时取等号， 2216822所以曲线C上的点到原点的距离的最小值是所以正确命题的序号是①②③，

2，所以命题③正确； 8第 5 页 共 22 页

故选D. 【点睛】

该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目. 8．若在直线l上存在不同的三点A、B 、C，使得关于x的方程

uuuvuuuvuuuvv，则方程解集为（ ） xOAxOBBC0有解（Ol）

2A． C．1,0 【答案】B

B．1

1515,D． 22【解析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x. 【详解】

uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuurr2xOAxOBBC0，即xOAxOBOCOB0，

2所以x2OAxOBOBOC， 因为A,B,C三点共线，

2所以x(1x)1，解得x10,x21，

uuuruuuruuuruuur当x0时，x2OAxOBBC0等价于BC0，不合题意， 所以x1，即解集为1， 故选B. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目. 9．将函数f(x)2sin(2x)(uuuruuuruuurruuurr2)的图象向右平移

12个单位长度后所得的图象

yf(x)关于轴对称，则在0,上的最小值为（ ）

2A．3 【答案】A

【解析】首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于y轴对称，得到

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B．1

C．2

D．0

6k2,kZ，结合题中所给的条件2，求得3，求得函数解析

式，利用x[0,]时，2x【详解】

2ππ2π[,]，从而确定出函数的最小值. 33312函数f(x)2sin(2x)的图象向右平移对应的解析式为y2sin[2(x个单位长度后，

12)]2sin(2x6)， ,kZ，

因为其函数图象关于y轴对称，所以有因为6k22，所以3，

所以f(x)2sin(2x当x[0,]时，2x故选A. 【点睛】

3)，

2ππ2π[,]，所以当2x时，f(x)取得最小值3， 33333该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于

y轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv 10．已知O为ABC的外心，且AC4,AB23，则AO(ACAB)等于（ ）

A．2 【答案】A

B．4

C．6

D．8

uuuruuur【解析】根据点O为ABC的外心，且AC4,AB23，所以uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAO(ACAB)AOACAOABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurACAOcosAC,AOABAOcosAB,AO，得到答案.

【详解】

uuuruuur因为点O为ABC的外心，且AC4,AB23， uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur所以AO(ACAB)AOACAOAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurACAOcosAC,AOABAOcosAB,AO uuur1uuuruuur1uuur1ACACABAB(442323)2，

222故选A. 【点睛】

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该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.

aa2e1c11．已知实数a、b、c、d满足，则1（e是自然对数的底数）

bd3(ac)2(bd)2的最小值为（ ）

A．10 【答案】B

ax【解析】由已知可得ba2e,d4c,则可知点(a,b)在曲线yx2e,点(c,d)B．18 C．8 D．12

在曲线y4x上,进而可得(ac)2(bd)2表示的是曲线yx2e到曲线

xy4x上点的距离最小值的平方,接下来结合已知进行解答即可.

【详解】

aa2e1cQ实数a,b,c,d满足1, bd3ba2ea,d4c.

点(a,b)在曲线yx2ex,点(c,d)在曲线y4x上,

(ac)2(bd)2的几何意义就是曲线yx2ex上的点到曲线y4x上点的距

离最小值的平方.

Qy12ex求出yx2ex上和直线y4x平行的切线方程, y12ex=-1 令y12ex=-1,解得x0, 切点为(0,2),该切点到直线y4x的距离

d|024|112232,就是所要求的两曲线间的最小距离,故(ac)2(bd)2的最小

值为d218. 故选:B. 【点睛】

本题考查简单函数的导数,点到直线的距离公式,考查了学生分析问题的能力与转化与划归问题的能力,难度一般.

12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a（a0），向此平面任投一

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根长度为l(la)的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p，则圆周率的近似值为（ ） A．

2p alB．

al 2pC．

2l paD．

pa 2l【答案】C

【解析】首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是P2l，从中解出a2l，从而得出答案. pa【详解】

根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是P所以故选C. 【点睛】

该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.

二、填空题

13．已知f(x)为奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于直线yx2对称，若g(1)7，则f(5)_________. 【答案】3

【解析】首先根据题意确定出函数yg(x)的图象上的一点(1,7)，从而确定出点(1,7)关于直线yx2的对称点在函数yf(x)的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出f(5)3，利用奇函数的定义求得f(5)3，得到结果. 【详解】

根据题意有，点(1,7)在函数yg(x)的图象上，

且点(1,7)关于直线yx2的对称点在函数yf(x)的图象上，

2l， a2l， pa第 9 页 共 22 页

设点(1,7)关于直线yx2的对称点为(m,n)，

n71m5m1则有，解得，所以有f(5)3，

n7m1n3222因为函数f(x)是奇函数，所以有f(5)3， 故答案是：3. 【点睛】

该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.

sinx,2x0214．已知f(x)，若关于x的方程f(x)k有四个实根

lnx,x0x1,x2,x3,x4，则这四根之和x1x2x3x4的取值范围是_________.

【答案】0,e12 e【解析】作出f(x)的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出

x1x2x3x4关于x3的函数，从而得出答案.

【详解】

作出f(x)的函数图象，如图所示：

设x11x31x4e， e因为lnx3lnx4，所以lnx3x40，所以x3x4所以x1x2x3x42x3x4x31，

12， x3第 10 页 共 22 页

设g(x)x1112,x(,1)，则g'(x)120， xex1所以g(x)在(,1)上单调递减，

e所以0g(x)e12， e12)， e所以x1x2x3x4的取值范围是：(0,e故答案是：(0,e【点睛】

12). e该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.

15．已知ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，

sinA1cosA，sinB2cosBcosA4，SABC6，则a__________. 5【答案】26 【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinBsinC，由正弦定理可得2abc，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理即可解得a的值. 【详解】 因为

4sinA1cosA，cosA，SABC6， sinB2cosB5所以2sinAsinAcosBsinBsinBcosA，

所以2sinAsinBsinAcosBsinBcosAsinBsin(AB)sinBsinC 所以由正弦定理可得：2abc， 并且有sinA1cosA由余弦定理可得

231，6bcsinA，所以bc20，

25b2c2a2(bc)22bca24a22bca23a22bc3a2404cosA2bc2bc2bc2bc405，

整理得a224，解得a26（负值舍去）， 故答案是：26. 【点睛】

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该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.

16．定义在区间(0,)上函数f(x)使不等式2f(x)xf'(x)3f(x)恒成立，（f'(x)为f(x)的导数），则【答案】4,8 【解析】令g(x)f(2)的取值范围是__________. f(1)f(x)f(x),h(x)，求出g(x),h(x)的导数，得到g(x),h(x)的单32xx调性，可得g(2)g(1),h(2)h(1)，由f(1)0，即可得到4【详解】 令g(x)f(2)8，得到结果. f(1)f(x)， 3xf'(x)x33x2f(x)xf'(x)3f(x)则g'(x)， 64xx因为xf'(x)3f(x)，即xf'(x)3f(x)0， 所以g'(x)0在(0,)恒成立， 即g(x)在(0,)上单调递减， 可得g(2)g(1)，即

f(2)f(1)， 81由2f(x)3f(x)，可得f(x)0，则

f(2)8； f(1)f(x)f'(x)x22xf(x)xf'(x)2f(x)令h(x)，h'(x)， x2x4x3因为xf'(x)2f(x)，即xf'(x)2f(x)0，

所以h'(x)0在(0,)上单调递增，可得h(2)h(1)，

f(2)f(2)4， f(1)，则即

f(1)4即有4f(2)8， f(1)故答案是：(4,8).

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【点睛】

该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.

三、解答题

17．已知ABC是圆O（O为坐标原点）的内接三角形，其中A(1,0),B(,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.

123)，2

（1）若点C的坐标是(,)，求cosCOB的值； （2）若点C在优弧»AB上运动，求ABC周长的取值范围. 【答案】（1）343；（2）23abc33 103455uuuruuur【解析】（1）由点C,B的坐标可得OC,OB的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；

（2）根据题意，可求得AOB120，AB3，ACB60，利用正弦定理可得

2ab2sinA2sinA23sinA，由题意求得角A的范围，从而可

63求得3ab23，进而得到三角形的周长的取值范围. 【详解】

uuuruuur3413（1）根据题意可得OC(,)，OB(,)，

5522uuuruuuruuuruuurOCOB343343cosCOBcosOC,OBuuuruuur

101010OCOB第 13 页 共 22 页

（2）∵AOB120，AB3，∴ACB60

∴

ab32 sinAsinBsin60∴ab2sinA2sin2A23sinA，

630A2，3ab23 3∴23abc33. 【点睛】

该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.

18．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，

AC2，BD23，且AC、BD交于点O，E是PB上任意一点.

（1）求证ACDE；

（2）已知二面角APBD的余弦值为成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）3，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所4313 13【解析】（1）利用线面垂直的性质得PDAC，利用菱形的性质得BDAC，利用线面垂直的判定定理得AC平面PBD，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到

ACDE；

ruuuruuuruuu2（）分别以OA，OB，OE为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设urPDt，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为n11,0,0，平面PAB的法向量

uur233n3,1,为2，根据二面角的余弦值为，可求出t3，从而得APBDt4第 14 页 共 22 页

到点P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成角的正弦值. 【详解】

（1）∵PD平面ABCD，∴PDAC 又∵四边形ABCD为菱形，∴BDAC 又BDIPDD，∴AC平面PBD

DE平面PBD，∴ACDE

（2）连OE，在PBD中，OE//PD，∴OE平面ABCD

分别以OA，OB，OE为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

uuuruuuruuur

设PDt，则A1,0,0，B0,3,0，

tC1,0,0，E0,0,，P0,3,t.

2ur由（1）知，平面PBD的一个法向量为n11,0,0

uuvuuuvuurn2AB0uvuuuv 设平面PAB 的一个法向量为n2x,y,z，则由un2AP0uur23x3y03,1, 即，令y1，则n2tx3ytz0因二面角APBD的余弦值为

3， 4∴

uruurcosn1,n233124，∴t3 42tuuurr3uu233,1,设EC与平面PAB所成角为，∵EC1,0,，n2， 23第 15 页 共 22 页

∴

uuuruursincosEC,n23319444323313. 1341323【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.

19．若aR，函数f(x)xax在区间0,1上的最大值记为g(a)，求g(a)的表

2达式并求当a为何值时，g(a)的值最小.

1a,a2212a【答案】ga,221a2，当a24a1,a221时，ga取最小值.

【解析】分类讨论，分a0时和a0时两种情况，当a0时，fxxax在区

2间[0,1]上为增函数，求出最大值，当a0时，结合函数的图象，再进一步分类，确定

1a,a2212a出函数的最大值点，进而求得ga,221a2，然后确定g(a)的最小

4a1,a2值点. 【详解】

（1）a0时，∵0x1，∴fxxax，fx单调递增.

2∴gaf11a （2）当a0，如图所示，

aa221令fx，得x或xa

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①当

a1，即a2时，gaf1a1 221a，即22a②当12③当

2aa21a2时，gaf

2421a1，即0a2221时，gaf11a

1a,a2212a综上，ga,221a2

4a1,a2显然当a2【点睛】

21时，ga取最小值.

该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.

x220．已知椭圆2y21(a1)，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和

aC、D. 记得到的平行四边形ACBD的面积为S.

（1）设A(x1,y1),C(x2,y2)，用A,C的坐标表示S； （2）设l1与l2的斜率之积与直线CA、CB的斜率之积均为【答案】（1）2x1y2x2y1；（2）S22 【解析】（1）首先利用题中的条件确定直线l1的方程xy1yx10，利用点到直线的距离公式求得点C到直线l1的距离d，利用面积公式求得S2SABC2x1y2x2y1，得到结果；

（2）设出直线方程l1:yK1x，l2:yK2x，利用两点斜率坐标公式求得

1，求面积S的值. 2KCAKCB22y2y12y2y12122，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得2，x2x1x2x12a2第 17 页 共 22 页

利用已知条件可得KCAKCB11，从而求得a22，从而确定出椭圆的方程，2a22联立方程组，进一步应用面积公式求得S42K1214K1228K1212K2218，从而得

到S22，得到结果. 【详解】

（1）直线l1:xy1yx10.

dx1y2x2y1xy21212，则AB2AO2x1y12 ∴S2SABCABd

2x12y12x1y2x2y1x12y12 2x1y2x2y1

（2）设l1:yK1x，l2:yK2x； ∵KCAKCB2y2y1y2y1y2y122 x2x1x2x1x2x12222yy1x12x212∴ 又∵2y122，y22222x2x1aaa∴KCAKCB11 ∴a22 2a2x2∴椭圆方程为y21

2yK1x222x2Kx2 联立x212y122∴x1222x，同理可得22

12K1212K2第 18 页 共 22 页

又∵S2x1y2x2y12K2K1x1x2

22∴S24K2K1x1x2

22∴S4K2K1212K12K

212224141S24K1将K2代入2K1得 212K112K112K21S22K421124K128K1212K2218，

∴S22. 【点睛】

该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.

21．有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第n站的概率为Pn.

（1）求P0，P1，P2；

（2）写出Pn与Pn1、Pn2的递推关系2n99）； （3）求玩该游戏获胜的概率. 【答案】（1）

11311；（2）PnPn1Pn22n99；（3）199

32224【解析】（1）结合题设条件能够求出P01，P111113，P2； 22224（2）依题意，棋子跳到第n站有两种可能：第一种，棋子先到n2站，又掷出反面，其概率为

11Pn2；第二种，棋子先到n1站，又掷出正面，其概率为Pn1，由此能够22得到Pn与Pn1,Pn2的递推关系；

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（3）由PnPn1111Pn1Pn2，知数列PnPn1是以为首项，为公比

222的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果. 【详解】

11113，P2 22224（2）依题意知，棋子跳到第n站有两种情况：

（1）依题意得P01，P1第一种，棋子先到n2站，又掷出反面，其概率为

1

Pn2； 21Pn1. 2第二种，棋子先到n1站，又掷出正面，其概率为

∴Pn11Pn1Pn22n99 22（3）由（2）知，PnPn1∴PnPn1是以11Pn1Pn2，且P1P0 2211为首项，为公比的等比数列. 22P99P0P1P0P2P1P3P2LLP99P98

1111LL

222299112112100211100 3211132991. 299111PP1或10098 23299又P99P1001001 ∴P∴玩该游戏获胜的概率为1【点睛】

13该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目. 22．已知函数f(x)axa2lnx(aR). x（1）若f(x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；

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3m,n，分别为f(x)的极大值和极小值，若Smn，求S的取值范围. 516 【答案】（1）1,；（2）0S4ln35（2）设a【解析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，f(x)是定义域上的增函数，转化为

2x恒成立，从而求出a的取值范围； 2x133（2）将S表示为关于x1的函数，由44a20且a，得a1，设方程

55fx0，即afx0，即ax22xa0得两根为x1，x2，且0x1x2，利用韦达定理可得

121022x，从而得到1x11，根据题意可得x1x21，x1x2，由1x1a3a32x1a2a2ax2lnxax2xa0，由得，将其代入上边Smn12111x1x11x12111lnx12，之后令x12t，则t1，从而有式子可得S429x112gtt111lnt，t1，则S4gt，利用导数研究函数可得结果. t129【详解】

a2ax22xa （1）fx的定义域为0,，fxa22xxx∵fx在定义域内单调递增，∴fx0，即ax22xa0对x0恒成立. 则a2x恒成立. 2x1∴a2x2x1 ∴a1 ∵2x21x1max所以，a的取值范围是1, （2）将S表示为关于x1的函数， 由44a20且a33，得a1 55设方程fx0，即ax22xa0得两根为x1，x2，且0x1x2. 则mfx1，nfx2，∵x1x21，x1x2∴2x12 a1210 ∴1x11 x1a33第 21 页 共 22 页

Smnax1aa2lnx1ax22lnx2 x1x2ax1aaa2lnx1ax12lnx12ax12lnx1 x1x1x12∵ax12x1a0

2x1x121x1211lnx142lnx12 ∴a2代入得S42x11x11x1122令x1t，则

1t111t1，得gtlnt，t1，则S4gt 9t12922gtt12tt111g1gtg0 ∴gt而且,1上递减， 从而99即0gtln3【点睛】

416 ∴0S4ln3. 55该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.

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