四川省南充高级中学2020_2021学年高二数学下学期入学考试试题文

文

（时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题总分：150分）共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．sin170sin770cos1630cos770（A．）12B．

121

1”的（aC．32D．322．已知aR，则“a1”是“A．充分非必要条件C．充要条件2）B．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件）2xaya0与直线l2：3．已知直线l1：则实数a的值为（a1xay10互相平行，A．-1B．0C．1D．24．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC2AE，则向量EM=（



ED）11ACABA．2311

C．ACAB

2611

ACABB．6212

D．ACAB

63AB

C

5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是（）A．4B．83C．163D．4236．设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m的是（）A．,mB．m,C．mn,nD．m//n,n7．ABC中，若lgalgclgsinBlg2且B0,A．等边三角形B．等腰三角形

π

，则ABC的形状是（2

D．直角三角形）C．等腰直角三角形8．已知直线kxy2k10恒过定点A，点A也在直线mxny10上，其中m、n均为正数，则A．212

的最小值为（mn

B．4C．6）D．89．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（A．8C．）283414136D．9B．10．设函数f(x)

2x1,x1

，若f(x0)1，则x0的取值范围是（2

x2x2,x1

B．(,1)[1,)D．(,3)[1,)

）A．(,1)(1,)C．(,3)(1,)

xy1



11．若x,y满足约束条件xy1，目标函数zax2y仅在点（1，0）处取得最小值，2xy2

则a的取值范围是（A．（1，2））C．(4,0]

D．(2,4)

B．（4，2）x2y2

12．已知椭圆M:221(ab0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，ab

若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为（）x2y2

A．1

96x2

B．y21

4第Ⅱ卷（非选择题x2y2C．1123共90分）x2y2D．1189二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知cos(

1

)，则sin2__________．4314．已知直线x3ym0与圆C：x2y22相交于A，B两点，O为坐标原点，且

OAOBAB，则实数m的值为________.15．E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10,则异面直线AB与PC所成的角为________.16．设数列an的前n项和为Sn，若Sn1Sn1三、解答题：本题共6小题，共70分.n1AB6，EF7，an3n2，则S20的值为_______.17.(本题满分10分)



已知a4，b8，a与b夹角是120．vv

（1）求ab的值及ab的值；（2）当k为何值时，(a2b)(kab).







18.(本题满分12分)

已知数列an的前n项和为Sn，2Sn3an1．（1）证明数列an为等比数列并求其通项公式；（2）若bn(n1)an，求数列bn的前n项和Tn．19.(本题满分12分)

某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．组别第1组分组[15,25)回答正确的人数5回答正确的人数占本组的概率0.5第2组第3组第4组第5组[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)a

270.9x

0.36b

3y

（1）分别求出a,b,x,y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20.(本题满分12分)

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD的平行四边形，ADC60，AB

PA平面ABCD，E为PD的中点.（1）求证：ABPC；1

（2）若PAABAD2，求三棱锥PAEC的体积.21

AD，221.(本题满分12分)

x2

设椭圆E的方程为2y21a0，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为a,0，a2a11

0,1，OM,，直线OM的斜率为.433

（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T0,tt1，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由22.(本题满分12分)

0､B2，0､C1，3在圆M上.P为直线x6上的动点，PA与圆M已知三点A2，

的另一个交点为E，PB与圆M的另一个交点为F.（1）求圆M的标准方程；（2）若直线PC与圆M相交所得弦长为23，求点P的坐标；（3）证明：直线EF过定点.南充高中2019级高二下期入学考试数学参考答案（文科）1．A【详解】因为cos163cos18017cos17，所以sin17sin77cos163cos77sin17sin77cos17cos77cos7717cos60

2．A【详解】a∈R，则“a＞1”⇒““1

＜1”的充分非必要条件．故选A．a11

＜1”，“＜1”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是aa

1

23．B【详解】解：当a0时，直线l1：即x0，直线l2：即x1，满足l1//l2．当a0时，直线l1:2xa2ya0与直线l2:(a1)xay10互相平行，2a2a，解得实数a．综上，a0，故选：B．a1a14．B【解析】由题意结合向量的加法法则可得：EMECCM

21

ACCB3221

AC(CAAB)32211

ACACAB32211

ACAB.625．A【详解】由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为a，高为x，则斜二测中等腰梯形的腰为2x，而积S法的特点知直观图中底面梯形的高为22x，面积1

aa2xxaxx，由斜二测画2S

11VSh434，故选A.，故四棱锥的体积S22S2224

331

aa2x22x22axx，2S原11

22，S底22S4，VS底h434）（也可用结论直接得出：S直336．D【解析】试题分析：A．,mm，或m，或m与相交，故A不成立；B：由m,，知m或m，从而m不成立，故B不成立；C：mn，nm，或m，或m与相交，故C不成立；D：mn，nm，故D成立；故选D．7．C【详解】由,得lg

a2,lgsinBlg

c2所以得a222aB,所以.所以c2a,所以cosBsinB,sinB,4c222c即accosB,sinAsinCcosB,所以sinBCsinBcosCcosBsinCcosBsinC,所以sinBcosC0,即cosC0,所以C

点睛：判断三角形形状的方法,A,即三角形为等腰直角三角形,选C.24①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABCπ这个结论．8．D【解析】试题分析：kxy2k10变形为kx2y1，所以过定点2,1，代入直线得2mn1



1212n4mn4m

2mn44248，当且仅当时等号成立，mnmnmnmn取得最小值89．B【详解】根据三视图还原几何体如下:设D为AB的中点,则有AB2,CD2,PA2,ACBC,且PA平面ABC,设M为ABC的外心,r为ABC的外接圆半径,则AMCMr,故在AMD中,有AD2MD2AM2,即1(2r)rr如图所示,过M作MN//PA,且MNPA,此时MN平面ABC,设MN的中点为O,则OPOA,故点O即为三棱锥PABC的外接球球心,又2

2

5

,4AO2AM2OM2

4141,所以三棱锥PABC的外接球半径R,416所以三棱锥PABC的外接球表面积S4R

2

41

,故选:B.410．B【详解】当x01时，f(x0)2x011,x00，则x01

22当x01时，f(x0)x02x021，x02x030，有x01或x03，则x01，综上可知：x0的取值范围是x01或x01.故选：B.11．B【详解】由已知可画出可行区域图，如图所示，由目标函数zax2yy

1,0)处取得最小值，且截距而目标函数仅在可行区域顶点A(z

为正号，所以直线2azx，22az

1,0)顺时针旋转到直线AC均可满足题意，而yx的位置可由直线AB绕点A(22kAB2,kAC1，即1

a

24a2.故选B.212.D.【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，AB的中点P

2,1，所以k

AB

kPF

01

1，32b2x12a2y12a2b2y1y2y1y2b2222222

2，又22，所以bx1x2ay1y2，即2222x1x2x1x2abx2ay2ab2y1y2y1y2211bkAB1，，所以21，又c3，而x1x2x1x2222a2a218x2y2∴2，即椭圆方程为：1.故选：D.b918913．17

【详解】cos

439





27

cos22cos211

2499

77,本题正确结果：99又cos2



sin22

sin2

114．2【详解】设AB的中点为C,由题得2|OC||AB|,|OC||AB|,AOB.

22圆心到直线x3ym0的距离为所以|m|2

|-m|1

|m|，1+32122,m2.故答案为2

15．60【详解】根据题意，取AC中点为M，连接ME,MF，如下图所示：因为E,M,F分别为PA,AC,BC中点，故可得EM//PC，MF//AB，故可得EMF即为AB与PC所成的角或其补角.EM2MF2EF21

在EMF中，cosEMF.2EMMF2故EMF120，故AB与PC所成的角为60.故答案为：60.16．310【详解】由条件可得an11n1

an3n2

a2k1a2k6k2①a2ka2k16k5②kN*，由①②可得：a2k1a2k13③a2k3a2k13④可得a2k3a2k1⑤由①得：a2ka2k16k2，由⑤得：a1a5a9La21

所以S20a1a2a3La20a1a2a3La18a19a20

S20a2a3La18a19a20a21S206k2

k110

10458310故答案为：310.217．（1）ab16；ab43（2）k71

【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得ababcos12048()16，222abab2ab42822(16)43.22

（2）因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)ka2b(2k1)ab0，整理得16k128(2k1)(16)0，解得k7．即当k7值时，(a2b)(kab)．

(2n3)3n3

18．（1）证明见解析，an3；（2）Tn．4n1【详解】（1）证明：由已知可得，2Sn3an1，令n1得，a11，所以2Sn13an11（n2），2Sn3an1所以当n2时，，整理得：2SnSn13an3an1，2S3a1n1n1化简得：an3an1（n2），所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：an3n1n1

（2）因为bn(n1)an，所以bn(n1)3，Tn030131232…(n1)3n1，则3Tn031323…(n1)3．n

1

2

3

由错位相加法得，2Tn333…3

123n1

(n1)3n,(2n3)3n333n(32n)3n3n

．所以Tn2Tn(n1)3

132419．（1）【详解】（1）第1组人数第2组人数，所以；（2）2人，3人，1人；（3），所以，，．第3组人数第4组人数第5组人数，所以，所以，所以，，.（2）第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1，所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1,a2，第3组的记为b1,b2,b3，第4组的记为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,c)，(b2,b3)，(b2,c)，(b3,c).其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c).故所求概率为93.15520．（1）详见解析（2）23311

ADBC，22【详解】（1）证明：因为PA面ABCD，又ABÌ平面ABCD所以ABPA，又因为ABCADC60，AB

在ABC中，由余弦定理有：AC2AB2BC22ABBCcos60BC2AB2所以AB2AC2BC2，即：ABAC，又因为PAACA，又PA平面PAC，AC平面PAC，所以AB平面PAC，又PC平面PAC，所以ABPC.1

AD2，所以PAAB2，AD4,因为PA面ABCD21

且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为PA1，2（2）由已知有：PAAB所以VPAECVDAECVEADC

1111

SVADCPA24sin60123323233x221．（1）y21（2）存在；t

542a1

,，【详解】（1）设点M的坐标为x0,y0，OM

33

2y012a1x2，a2，椭圆E的方程为x0，y0，又y1.x04334x2（2）依题意，设直线l的方程为ykxt，代入y21，4得4k1x8kx4t40.2228kt4t24

设Cx1,y1，Dx2,y2，则x1x22，x1x2.4k14k21假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则BCBD.



又BCx1,y11，BDx2,y21，

∴BCBDx1x2y11y21x1x2kx1t1kx2t10，8kt4t24

即k1x1x2kt1x1x2t10，将x1x22，x1x2代入，24k14k122整理得5t22t30，解得t即当t

3

时，存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B.53

t1，58322．（1）xy4；（2）（3）证明见解析.6，3；

220､B2，0､C1，3【详解】解：（1）由于A2，

BC1，3，故得ACBC330，所以AC3，3，

点C在以线段AB为直径的圆上，即圆M的标准方程为：x2y24；0到直线PC的距离（2）圆M的半径为2，直线PC截圆M所得弦长为23，则圆心0，

为22321.设直线PC的方程为：ykx13，即kxy3k0.3kk211，解得：k

3..33x13，3

83

；3

则直线PC的方程为：y

当x6时，得点P的坐标为6，（3）当直线EF斜率不存在时，设其方程为：xm.取Em，4m2，Fm，4m2，由直线AE与BF交点的横坐标为6可得：m

2；32，3即此时直线EF的方程为：x

当直线EF斜率存在时，设EF的方程为：ykxm.ykxm222由2得：k1x2kmxm40.2

xy4

由4km4k1m40得：4k2m24.22222kmm24

设Ex1，y1，Fx2，y2，则x1x22.，x1x22k1k1m24k2且：y1y2kx1x2kmx1x2m.k2122直线AE的方程为：y

y1y

x2，直线BF的方程为：y2x2，x12x222y1y2.x12x22代入点P的横坐标x6得：y2x22

由于xy4，故有：.x22y22222从而：2y1x2

2，即：x1x22x1x22y1y240.x12y2m244kmm24k2即：222240，k1k1k1整理得：4k24km3m20，解得m2k或m

2k

.30，舍；当m2k时，直线EF为ykx2，过点A2，当m

22k220.综上：直线EF过定点，0.时，直线EF为ykx，过定点，3333