(最新整理)中考中与平行四边形有关的动点问题探究

(完整)中考中与平行四边形有关的动点问题探究

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中考中与平行四边形有关的动点问题探究

例1 2012年福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D,联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

(2）是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由,并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验不是点M的路径．

证这条线段是

满分解答

（1)QB＝8－2t，PD＝4t．

3（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

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过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在

Rt

△

ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝

10． 图3

在Rt△APE中,cosAAE23，所以t10．

APt53当PQ//AB时，CQCP,即CQCBCA68103．解得CQ32．

96所以点Q的运动速度为321016．

9315（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0）． 如图5，当t＝4时,PQ的中点就是PB的中点F（1,4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（6t,t）．经验证，点M（6t,t）在直线EF上．

22所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF＝25．

图4 图5 图6

考点伸展

第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．

设点M的运动路径的解析式为y＝ax＋bx＋c，代入E（3,0）、F（1，4)和（2，2)，

9a3bc0,得abc4, 解得a＝0,b＝－2，c＝6． 4a2bc2.2

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所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．

例2 2012年烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0)、C（3， 0)、D（3， 4)．以

A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

(3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD． 2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1)A(1， 4）．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）＋4，

2

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代入点C（3, 0），可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1）＋4＝－x＋2x＋3． （2）因为PE//BC，所以APAB2．因此PE1AP1t．

PEBC222

2

所以点E的横坐标为11t．

2将x11t代入抛物线的解析式,y＝－(x－1）＋4＝41t2．

2

24所以点G的纵坐标为41t2．于是得到GE(41t2)(4t)1t2t． 因此SACGSAGESCGE444111GE(AFDF)t2t(t2)21． 244所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1． (3）t20或t2085．

13考点伸展

第（3)题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

11E(1t,4t)，F(1t,4)，Q(3,t),C(3,0)．

2222

如图2，当FQ＝CQ时,FQ＝CQ，因此(1t2)2(4t)2t2．

2整理，得t240t800．解得t12085，t22085（舍去）． 如图3，当EQ＝CQ时，EQ＝CQ，因此(1t2)2(42t)2t2．

2

2

2整理，得13t272t8000．(13t20)(t40)0．所以t120，t240（舍去)．

13

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图2 图3

例3 2011年上海市中考第24题

已知平面直角坐标系xOy(如图1），一次函数y3x3的图象与y轴交于点A，点M在正比

4例函数y3x的图象上，且MO＝MA．二次函数

2y＝x＋bx＋c的图象经过点A、M． （1）求线段AM的长；

（2)求这个二次函数的解析式; (3)如果点B在y轴上，且位于点A下方,点C在数的图象上，点D在一次函数y3x3的图象上，且

42

上述二次函四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

图1

思路点拨

1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

满分解答

（1）当x＝0时，y3x33，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．

4如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为3．将y3代入y3x，

222得x＝1．所以点M的坐标为(1,3)．因此AM13．

22c3,35(2)因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3）、M(1,)，所以3解得b，c3．所221bc.22

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以二次函数的解析式为yx25x3．

2（3）如图3，设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m）代入yx25x3，得

232m16m210m3．解得m1或者m＝0(舍去）． 2因此点C的坐标为（2，2）．

图2 图3

考点伸展

如果第(3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

如图4，点C的坐标为(7,27)．

416

图4

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例4 2011年江西省中考第24题

将抛物线c1：y3x23沿x轴翻折，得到抛物线c2,如图1所示． (1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．

2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．

3．根据矩形的对角线相等列方程．

满分解答

（1）抛物线c2的表达式为y3x23．

（2）抛物线c1：y3x23与x轴的两个交点为(－1，0)、（1，0）,顶点为(0,3)．

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抛物线c2:y3x23与x轴的两个交点也为（－1，0）、（1，0)，顶点为(0,3)． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(m,3)，与x轴的两个交点为

A(1m,0)、B(1m,0)，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为(m,3)，与x轴的两个交点为． D(1m,0)、E(1m,0)．所以AE＝(1＋m)－(－1－m）＝2(1＋m）

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

情形一，如图2，B在D的左侧,此时AB1AE2，AE＝6．所以2(1＋m）＝6．解得m＝2．

3情形二，如图3，B在D的右侧，此时AB2AE2，AE＝3．所以2（1＋m）＝3．解得m1．

32

图2 图3 图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM＝m＋3，所以4（1＋m）＝4（m＋3)．解得m＝1（如图4）．

2

2

2

2

考点伸展

第（2）题②，探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB＝2,AB边上的高为3，所以△ABM是等边三角形． 同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时,B、D两点重合． 因为起始位置时BD＝2,所以平移的距离m＝1．

例5 2010年山西省中考第26题

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在直角梯形OABC中,CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3,OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

(1)求点B的坐标；

(2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线

DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以

O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

思路点拨

1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．

2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边．

满分解答

(1)如图2，作BH⊥x轴,垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在Rt△ABH中，AH＝3,BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为（3，6)． （2） 因为OE＝2EB，所以xE22xB2，yEyB4，E（2,4)． 33b5,1设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D（0，5)，E(2,4)，得 解得k，所b5．

22kb4.(完整)中考中与平行四边形有关的动点问题探究

1以直线DE的解析式为yx5．

21（3） 由yx5,知直线DE与x轴交于点F(10,0），OF＝10,DF＝55．

2①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M55的坐标为（5，）,点N的坐标为（－5，)．

22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称,此时点N的坐标为（4，8）． ③如图5,当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P． 由△NPO∽△DOF,得

NPPO5NPPONO，即．解得NP5，PO25．此时51055DOOFDF点N的坐标为(25,5)．

图3 图4

考点伸展

如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．

图5 图6

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例6 2009年江西省中考第24题

如图1，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连结BC,与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．

图1

思路点拨

1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 2．当四边形PEDF为平行四边形时,根据DE=FP列关于m的方程． 3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．

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满分解答

（1）A（－1，0）,B（3，0)，C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1． （2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．

把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为(1，2）． 把x＝1代入yx22x3，得y＝4．所以点D的坐标为（1,4）． 因此DE=2．

因为PF//DE，点P的横坐标为m,设点P的坐标为(m,m3),点F的坐标为(0,m22m3)，因此FP(m22m3)(m3)m23m．

当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到m23m2．解得m12,m21（与点E重合,舍去)．

因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时． ②设直线PF与x轴交于点M,那么OM+BM=OB=3．因此

11FPOMFPBM 22139(m23m)3m2m． 222SSBCFSBPFSCPFm的变化范围是0≤m≤3．

图2 图3

考点伸展

在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗?如果可能，求m的值；如果不可能，请说

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明理由．

如图4,如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此yDyFyPyE．

于是4(m22m3)(m3)2．解得m10（与点CE重合，舍去）,m21（与点E重合,舍去）．

因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．

图4