第２５卷第１期 湖南工业大学学报 ＶＯ１．２５ Ｎｏ．１ ２０１１年１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｊａｎ．２Ｏ１１ Ｐ～混合误差下半变系数模型的相合估计 李强，陈志彬 （湖南工业大学理学院，湖南株洲４１２００７） 摘 要：讨论了误差序列是 混合序列的变系数模型。给出变系数模型系数函数的局部多项式估计，并证 明了该模型系数函数估计是弱相合估计。 关键词：半变系数模型； 混合；局部多项式估计；弱相合 中图分类号：０２１２．７ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－９８３３（２０１１）０１￣５０－０３ Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｍｉ—Ｖａｒｙｉｎｇ—Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ ｕｎｄｅｒ Ｊｐ—Ｍｉｘｉｎｇ Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ Ｌｉ Ｑｉａｎｇ，Ｃｈｅｎ Ｚｈｉｂｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｕｚｈｏｕ Ｈｕｎａｎ ４１２００７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｓｅｍｉ—ｖａｒｙｉｎｇ—ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ｍｏｄｅｌｓ ｗｈｏｓｅ ｅｒｒｏｒ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｉｓ￣－ｉｍｘｉｎｇ．Ｇｉｖｅｓ ｈｔｅ ｌｏｃａｌ ｐｏｌｙｏｍｉｌａ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｍｉ—ｖａｒｙｉｎｇ—ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ｍｏｄｅｌｓ．Ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｔｅ ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｗｅａｋ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｍｉ—ｖａｒｙｉｎｇ—ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ｍｏｄｅｌｓ； 一ｍｉｘｉｎｇ；ｌｏｃａｌ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｍｅｔｈｏｄ；ｗｅａｋ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ． Ｔ．Ｊ．Ｈａｓｔｉｅ和Ｒ．Ｊ．Ｔｉｂｓｈｉｒａｎｉ口 于１９９３年提出了变系 １ Ｐ混合误差的定义 数模型。Ｊ．Ｆａｎ等人心 在检验函数系数是否真的变化 时，提出了半变系数模型，其定义如下： 设｛ Ｉ ｉ＝１，２，…， ，…ｊ是概率空间（ ， ，Ｐ）上的 】，＝∑ （ ） ＋∑卢 Ｚｊ＋ｓ， （Ｉ） 随机变量序列， ＝ （ ｌｉ∈ＳｃＮ）为 一域，在 中给 ｉ＝Ｉ ｉ＝Ｉ 定 一域 ，Ｒ，令 式中：】，为响应变量；Ｕ∈Ｒ，随机误差ｓ独立于协变 ＪＤ ，Ｒ）＝ｓｕｐ｛ｌｃｏｒ（ｘｒ）ｌｌｘ Ｌ２（Ｆ），ＹＥ ））， （ ， ， ２，・一， ，ｚ ，ｚ２，’ 。，ｚ ），¨．￡∽）＝０，Ｄ（ ＝ 仃 ； ．（・）， １，２，…，Ｐ乃术 数系数； ．乃常数 其中，ｃｏ０ｒ ，（ ＝ ＝＿ 为相关系数。 半变系数模型是一类应用较广泛的模型，例如， 当Ｐ＝１，Ｘｉ １时，式（１）就成为部分线性模型。文 Ｂｒａｄｌｅｙ 引入如下相依系数：对ｋ≥０令 献【３—７】等都对此进行了讨论。吕士钦等人研究了误差 （Ｉｊ｝）＝ｓｕｐ｛ｐ（￣ｓ，簖）Ｉ有限子集Ｓ，ＴｃＮ，Ｈ．ｄｉｓｔ（Ｓ，Ｔ）≥七）， 独立时，半变系数模型ＰＬＳ估计（ｐｒｏｆｉｌｅ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ 显然Ｏ （ １） （ １，且 （０）＝ｌ。 ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ）的一致收敛速度盯 ，本文在此基础上讨论Ｊ９ 定义１ 对随机序列｛ Ｉｉ＝１，２，…，”，…Ｊ，如果存 混合误差条件下半变系数模型估计的相合性。 在ｋ∈Ｎ使 （ ） １，则称｛ ｝是 混合序列。 收稿日期：２０１０－１２－０９ 基金项目：湖南省教育厅科学研究基金资助项目（１０Ｃ０６５６），湖南工业大学教学改革基金资助项目（０９Ｅ６６） 作者简介：李强（１９７５一），男，湖南湘潭人，湖南工业大学讲师，博士，主要从事非参数估计和高维数据分析方面的研究， Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｑｄｒ２００８＠１２６．ｃｏｍ 第１期 李强，等 混合误差下半变系数模型的相合估计 ５ １ 独立序列是 混合序列的特殊情形。ｐ混合序列要 求对某距离为ｋ的任意有限子集之间的相关度不大， 这是一种很弱的相依性要求，因此Ｐ混合序列是一类 应用广泛且很有研究价值的随机变量序列。自文献【８】 引入Ｐ混合概念以来，它引起了许多学者的兴趣。近 年来， 混合序列极限理论的研究已取得不少成果 。 从而得： ）＝ ，｛ｏ：ｗ．ｏ３～ （】，一 ）。 ～ ３ 主要假设 ； 首先给出证明需要的一些假设： Ａｌ 函数系数 （・）（ ｌ，２，…，ｐ）有连续的二阶导数； Ａ２ 随机变量 有有界支撑 ，其密度函数ｐ（・） ２系数的ＰＬＳ估计 假设 ｛（ ， ， ，…， ， ， ，…，Ｚｔ．， ），ｋ＝１ ２一， ｝ 是模型（１）的随机样本，对任意给定的 ，模型（１） 可记作： ＝∑ （ ） ＋ ，ｋ＝ｌ，２，…， 。 （２） 其中， ＝ －￣，８ｓＺｋ：。若 ）（ １，２，…，ｐ）有连续的二 阶导数，则在 。附近可记为 ，（“）≈ （“０）＋ （ ｏ）（“一ｇｌｏ）三ａ，＋６『（ 一ｇｏ）．１－ｌ，２，…，Ｐ。 根据局部线性方法的思想，求解 ｒ ］２ 然 【 一善 ｊ （Ｇ－Ｕｏ）， 其中， ： ＋ （ＵＩ一 ）；Ｋ （’）是核函数，ｈ＝ｈ 是正 数序列，称为窗宽，且当ｎ一∞时，ｈ一０，ｎｈ—ｏ。。 令 ＝（ ， ，…， ） ，￡＝ 。，￡ ，…， ） ， ＝（ ，Ｘｚ，…，Ｘｎ）ｒ， ＝（ ， ，…， ） ，Ｚｉ＝（Ｚｆ。，Ｚｉ：，…， ）。， ＝ｄｉａｇ（Ｋ （Ｕ．一“），Ｋ （Ｕ 一”），…，Ｋ （ 一“））， ｙ（甜）：ａｌ（ ），口 （ ），…， （”）， ６ｌ（“），ｈｂ２（ｕ），…，ｈｂｐ（”）） 『．ａＴ（ｕ．）ｘ。 Ｘ ｘ 且 ：Ｉ【 －（ ） ， ＝ ； ｘ ＴＵ１－－Ｕ Ａ Ｔ 则式（２）可记作：ｙ－ ＝Ｍ＋ｚ， （４） 可得式（３）的解为： （“）＝［ Ｔ Ｄ ）～ｏ：ｗ（ｒ一 ）。 Ｍ的估计为： ｆ ｏ］｛ ． 。 Ｄ ＴＷｕ （Ｙ．Ｚｆ１）Ｉ Ｍ＝Ｉ ； Ｉ（ｙ—ｚ ）垒 ｌ ｉｘ：ｏｌ［ｏ￣ ｗ． ）一 Ｔ （ｒ－２１３）Ｉ Ｓ（Ｙ一 ）， （５） 将 入式（４）得：（，一ｓ）ｒ＝（，一 ） ＋ ， （６） 对线性模型（６）应用最小二乘法，可得： ：ｆ （Ｊ— ） （，一ｓ）２ ｝ （Ｊ— ） （，～Ｓ）Ｙ， 于是 （“）可修正为： （“）＝（ Ｔ Ｄ ） （Ｙ－Ｚ／￣）， Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续； Ａ３ 核函数 （・）是一有界对称的，且为有界紧支 撑的概率密度函数； Ａ４ Ｅ（ＸＸ ＩＵ＝“）对任意的“∈Ｑ非奇异， Ｅ（ ＝“），Ｅ（ｘｘＴＩｕ：“） ￣Ｅ（ＸＺ Ｉｖ－－－Ｕ）都是 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续的； Ａ５存在ｓ＞２，￣－ＥＩＩＸＩＩ ＜＂￣ｆｌｌｚｌｌ ＜ｏ。； Ａ６当ｎ ｏｏ时，ｈ Ｏ，ｎｈ．÷ｏ。，ｈ＝ｎ～，０＜ｌ＜１１２； Ａ７ 设（ｓｆ１ｉ＝ｌ，２，一・， ）为 混合同分布序列， Ｅ（ｓ ）＝０，Ｅ（ｅ ）＝ 。， （ 一 ）（ 】 Ｃ，ｃ为常数。 ４结论及证明 引理１【ｌ２ 设｛ Ｉ ｉ＝１，２，…， ）为 混合随机变量 序列，Ｅ（ ）：。，Ｅ（１ Ｉ吾）＜ｏｏ，。＜ａ＜ｌ，Ｉ ｌ≤ 坨一， ０＜６≤２／ ，∑ ２ｆ＜ｃｎ一，０＞０，ｃ为常数，则 Ｚａｎ ０。 证明参见文献【ｌ２ｌ中定理２的证明。 引理２在假设Ａ１～Ａ６成立的条件下，有 一 山０。 证明 由文献［１３】中定理４．１易得。 引理３在假设Ａ１～Ａ７成立的条件下，有 Ｃ以山０， 其中， ， ＝ 一∑（ （ 一 ）（ ＋ ｆ￣＝ ’ｚｏ．（ ，））（＼ ， Ｊ 。 证明令 ＝ ， ： ＋ｃ ，其中 。喜ｆ＿ｌ ｌ，＝ｌ （哪）（、 竿ｎ “ ， Ｉ ｎ 喜 （ｌ ）（、 ， 卜 。的证明见文献【７】，下面只需证 ５２ 湖南工业大学学报 ２０１１正 一。。－＠ｖ ｉ＝ｎ－ＪＸｉＫｈ（Ｕｉ （ ＝∑ ｓ，，在引理１中，令 ：１， ０＜ ＝１／２－Ｉ＜１／２＜２／ ＝２，由假设Ａ６和Ａ７可知 、ｆ， ｎ２）＝∑ｖ．ｉｅ 满足引理１的条件，故有： ｆｚｌ ｎ ＝∑ ｓｉ＝ｌ ０。从而， ２）＝∑ ￡ｉ＝１ — ０。 同理可证，Ｃ ｎ２。）＝∑ ｆｓ，— ０。 ｉ＝ｌ 引理４在假设Ａ１～Ａ６成立的条件下，有 一—— — ０，Ａ ． ｐ（ ）厂（ ） —— — ０， 其中， 一 了ＸｉＫｈ（Ｕｉ＂ｌｄ ｊ＝ｌ（ （ ） （ （州 ） ］Ｊ ， ｎ 。 Ｆ（ｕ）＝Ｅ（ＸＸ ＝ ）， Ｊ （“） 。 证明类似文献【１３】中引理７．２的证明。 定理１在假设Ａ１～Ａ７成立的条件下， （“）一 （“）——巴 ０， 从而＆ｆ（甜）一 ｆ（“）—— ０。ｉ＝１，２…，Ｐ。 证明 （ ）一 （材）： ｛ Ｔ Ｄ ） （ｙ一 一 ’，）＝ ｛ （ 一 ｙ）＋（ 一 ＋ ）＝ （Ａ．，ｏ－４．３）－ 斟 由引理２—４可知，Ａ 有界，且 ＿ ０ ＝Ｄ （ ）—— ０， ＝０，１。定理得证。 ． 参考文献： 【１】 Ｈａｓｔｉｅ Ｔ Ｊ．Ｔｉｂｓｈｉｒａｎｉ Ｒ Ｊ．Ｖａｒｙｉｎｇ—Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｊ． Ｒｏｙ．Ｓｔａｔｉｓｔ．Ｓｏｃ．Ｓｅｒ．Ｂ，１９９３．５５（４）：７５７—７９６． ［２】 Ｆａｎ Ｊ，Ｚｈａｎｇ Ｗ Ｙ．Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ Ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ Ｂａｎｄｓ Ａｒｅ ｎａｄ Ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ Ｔｅｓｔｉｎｇ ｉｎ Ｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｆｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］． Ｓｃａｎｄｉｎａｖｉａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２ｏｏＯ，２７（４）：７１５—７３１． 【３】 李志强，薛留根．缺失数据下的半参数变系数模型的借补 估计［Ｊ］．应用数学学报，２００９，３２（３）：４２２－４３０． Ｌｉ Ｚｈｉｑｉａｎｇ，Ｘｕｅ Ｌｉｕｇｅｎ．Ｔｈｅ Ｉｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ｏｆ Ｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｖａｒｙｉｎｇ－Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｍｉｓｓｉｎｇ Ｄａｔａ ［Ｊ１．Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｅ Ａｐｐｌｉｃａｔａｅ Ｓｉｎｉｃａ，２００９，３２（３）： ４２２－４３０． ［４］吕士钦，张日权，卢准炜．删失数据下半变系数模型估计 的渐近正态性［Ｊ】．应用概率统计，２００９，２５（６）：６４１－６４８． Ｌｖ Ｓｈｉｑｉｎ，Ｚｈａｎｇ Ｒｉｑｕａｎ，Ｌｕ Ｚｈｕｎｗｅｉ．Ｔｈｅ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ｏｆ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｎ Ｓｅｍｉｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｈｔ Ｃｅｎｓｏｒｅｄ Ｄａｔａ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｎａｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２００９，２５（６）：６４１—６４８． ［５】Ｌｖ Ｓｈｉｑｉｎ，Ｚｈａｎｇ Ｒｉｑｕａｎ，Ｌｕ Ｚｈｕｎｗｅｉ．Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ｏｆ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ｐｒｏｆｉｌｅ Ｌｅａｓｔ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｏｉｌ Ｓｅｍｉｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｆｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００９，２６（２）：３１５—３１９． 【６】 富伯亭，郑刘锁．半变系数模型的Ｍ估计【Ｊ］．工程数学学 报，２００９，２６（４）：６０９—６１７． Ｆｕ Ｂｏｔｉｎｇ，Ｚｈｅｎｇ Ｌｉｕｓｕｏ．Ｍ—Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｎ Ｓｅｍｉ—Ｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００９，２６（４）：６０９—６１７． ［７］吕士钦，张日权，蒙家福．半变系数模型ＰＬＳ估计的一致 收敛速度【Ｊ１．太原科技大学学报，２００６，２７（６）：４３２－４３４． Ｌｖ Ｓｈｉｑｉｎ，Ｚｈａｎｇ Ｒｉｑｕａｎ，Ｍｅｎｇ Ｊｉａｆｕ．Ｔｈｅ Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｒａｔｅｓ ｏｆ Ｐｒｏｆｉｌｅ Ｌｅａｓｔ—Ｓｑｕａｒｅｓ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｎ Ｓｅｍｉｖａｒｙｉｎｇ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔａｉｙｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００６，２７（６）：４３２－ ４３４． ［８ Ｂｒ８】ａｄｌｅｙＲＣ．ＥｑｎｉｖａｌｅｎｔＭｉｘｉｎｇＣｏｎｄｉｉｔｏｎｓｆｏｒＲａｎｄｏｍＦｉｅｌｄｓ 【Ｒ】．Ｃｈａｐｅｌ Ｈｉｌｌ：Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｒｅｐｏｒｔ，１９９０． 【９】吴群英．混合序列的概率极限理论【Ｍ】．北京：科学出版 社，２００６：２０６－２４７． ＷｕＱｕｎｙｉｎｇ．ＬｉｍｉｔＴｈｅｏｒｙｏｆＭｉｘｉｎｇＳｅｑｕｅｎｃｅｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ： Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，２００６：２０６—２４７． ［１Ｏ】蔡光辉，郭宝才． 混合序列的对数律和强大数律［Ｊ】．科技 通报，２００６，２２（３）：２８６—２８９． Ｃａｉ Ｇｕａｎｇｈｕｉ，Ｇｕｏ Ｂａｏｃａｉ．Ｌａｗ ｏｆ Ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ａｎｄ Ｓｔｒｏｎｇ Ｌａｗ ｏｆＬａｒｇｅ Ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｆｒ Ｐ Ｍｉｘｉｎｇ Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ［Ｊ］．Ｂｕｌｌｅｔｉｎ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｎａｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００６，２２（３）：２８６—２８９． ［１１】ＬｕＺｈａｏｙａｎｇ，ＸｕＷｅｉ，ＮｉｕＹｕｊｕｎ．ＭａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚＳｔｒｏｎｇＬａｗｓ ｆｏｒ Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｓｕｍｓ ｏｆ Ｐ—Ｍｉｘｉｎｇ Ｒａｎｄｏｍ Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ 【Ｊ】．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００９，２６ （２）：３２０－３３０． 【ｌ２】吴群英．混合序列加权和的完全收敛性和强收敛【Ｊ］．应用 数学，２００２，１５（１）：１－４． Ｗｕ Ｑｕｎｙｉｎｇ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｏｒ Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｓｕｒｎｓ ｏｆ Ｍｉｘｉｎｇ Ｒａｎｄｏｍ Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ Ａｐｐｌｉｃａｔａ，２００２，１５ （１）：卜４． 【１３】Ｆａｎ Ｊ Ｑ，Ｈｕａｎｇ Ｔ．Ｐｒｏｆｉｌｅ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｎ Ｓｅｍｉ— ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｖａｒｙｉｎｇ—Ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ Ｐａｒｔｉｌａｌｙ Ｌｉｎｅａｒ Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］． Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，２００５，１ １（６）：１０３１—１０５７． （责任编辑：廖友媛）
