人教版初二上册数学培优暑期讲义教师版[全册]

八年级数学培优班

暑期讲义

姓名:_____________

学校:_____________

班级:_____________

第十一章 全等三角形及其应用

【知识精读】

1. 全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，相互重合的极点叫做对应极点。相互重合的边叫对应边，相互重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方式：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应极点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻觅对应元素的方式 （1）依照对应极点找

若是两个三角形全等，那么，以对应极点为极点的角是对应角；以对应极点为端点的边是对应边。通常情形下，两个三角形全等时，对应极点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法即可写出对应的元素。 （2）依照已知的对应元素寻觅

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观看，想象图形的运动转变状况，确信对应关系。

通过对两个全等三角形各类不同位置关系的观看和分析，能够看出其中一个是由另一个通过以下各类运动而形成的。

翻折

如图（1），BOC≌EOD，

BOC能够看成是由EOD沿直线AO翻折180取得的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，

COD能够看成是由BOA绕着点O旋转180取得的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，

DEF能够看成是由ACB沿CB方向平行移动而取得的。

5. 判定三角形全等的方式：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2） 推论：角角边定理

6. 注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封锁图形之间的大体工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，假设证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

【分类解析】全等三角形知识的应用 （1） 证明线段（或角）相等

【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC别离位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既能够取得BF=FC.

证明：在ΔACD和ΔABE中，

AE=AD ∠A=∠A AB=AC.

∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)

∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB－AD=AC－AE 即 BD=CE

在ΔDBF和ΔECF中

∠B=∠C ∠BFD=∠CFE（对顶角相等） BD=CE

∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）

∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行

【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足别离为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

DEAFCB

分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具有，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD. 证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）

∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的概念） 在ΔABF与ΔCDE中， AF=CE （已知） ∠DEC＝∠BFA （已证） DE=BF （已知） ∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）

∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

分析：

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.那个地址注意利用BF是ΔACD中位线那个条件。

证明：取CD中点F，连接BF

1

∴ BF= AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

2

∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC

∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角） ∴ ∠3＝∠2

在ΔCEB与ΔCFB中，

BF=BE ∠3＝∠2 CB=CB ∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)

1

∴ CE=CF= CD （全等三角形对应边相等）

2即CD=2CE （ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

C41AE23BDF

在ΔAEC与ΔBEF中，

AE=BE ∠1＝∠2 （对顶角相等） CE=FE ∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵ ∠ACB+∠CBF=180o,

∠ABC+∠CBD=180o, 又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等） 在ΔCFB与ΔCDB中，

CB=CB ∠CBF=∠CBD BF=BD ∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE 说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线取得原线段一半的线段。例如上面折道理题也可如此处置，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用那个方法的重要前提），然后证CE=BF. (4)证明线段彼此垂直

【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系别离如何？证明你的结论。

COEADB

分析：此题没有直接给出待证的结论，而是让同窗们先依照已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观看，能够猜想：AO=BC，AO⊥BC.

证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中

AD=DC ∠ADO=∠CDB=90o OD=DB ∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等） ∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等） ∴ ∠COE+∠OCE=90o ∴ AO⊥BC 五、中考点拨：

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．

求证：∠F＝∠A．

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．

证明：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B， ∵EB＝ED， ∴∠ACB＝∠EDB． ∴ED∥AC． ∴∠BED＝∠A． ∵BE＝EA． ∴BD＝CD．

又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF ∴△BDE≌△CDF， ∴∠BED＝∠F．

∴∠F＝∠A．

说明：证明角（或线段）相等能够从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

【例2】如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，而且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

EFABCD

分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。

证明：过D点作DF∥AC交BE于F点 ∵ △ ABC为等边三角形 ∴ △BFD为等边三角形 ∴ BF=BD=FD ∵ AE=BD ∴ AE=BF=FD

∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB ∴ EF=AC

在△ ACE和△DFE中，

EF=AC（已证） ∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等) AE=FD (已证) ∴ △AEC≌△FED（SAS）

∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）

题型展现：

【例1】如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题即能够解决．

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．

∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴ △AED≌△ACD， ∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．

∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B， ∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB． 即 ∠B＝∠EDB． ∴ EB＝ED，即ED＝DC， ∴ AB＝AC＋DC．

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的经常使用方式有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部份等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方式是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部份与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，事实上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．

【实战模拟】

1. 以下判定正确的选项是（ ）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 （C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

3. 如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。 求证：CEF是等边三角形。

N M F 1 E C 2 A B

4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。 1

求证：AD< (AB+AC)

2

5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G． 求证：BD＝CG．

【试题答案】 1. D 2.证明：

∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O， ∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。 ∴ △BOD≌△COE（ASA）． ∴ OB＝OC

3. 分析 由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明CEF是等腰三角形。先证CAN≌MCB，得1=2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF是等边三角形的结论。

证明：在CAN和MCB， ∵AC=MC，CN=CB， CAN=MCB=120，

∴ACN≌MCB中， ∴ FCB和CEB中，

∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB， ∴CFN≌CEB，∴CF=CE，

又∵ECF=60， ∴CEF是等边三角形.

4. 分析： 关于线段不等的问题，一样利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也确实是将线段相等地转化，而转化的通常方式利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可取得△ACD≌△EBD．

证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE

在ACD与EBD中

∴ ACD≌EBD（SAS）

∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）

在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边） ∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）

说明：一样在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。

5.分析：由于BD与CG别离在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB 证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，

∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F ∴∠AEC＝∠CFB＝90° 又∠ACB＝90°

∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF ∴ Rt△AEC≌Rt△CFB ∴CE＝BF

在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF， 由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG， ∴ Rt△BFD≌Rt△CEG ∴ BD＝CG

第十二章 轴对称

1.若是一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部份能完全重合，那么就称如

此的图形为轴对称图形，这条直线叫做那个图形的对称轴。这时，咱们就说那个图形关于这条直线（或轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，若是它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线确实是对称轴。两个图形中通过翻折以后相互重合的点叫做对应点，也叫做对称点。 注意：

1、 一个轴对称图形的对称轴不必然只有一条；

2、 两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图

形。

3、 成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。 题型一:轴对称图形的判定

【例1】如图，我国要紧银行的商标设计大体上都融入了中国古代钱币的图案，以下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )

① ② ③ ④

A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①② 分析：图形沿一条直线折叠-----彼此重合-----轴对称图形------判定

触类旁通：

一、以下图形中，不是轴对称图形的是( )

A．角 B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形 二、以下图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A. 两条相交直线 B. 线段

C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段 3、以下英文字母属于轴对称图形的是（ ）

A、N B、S C、L D、E

4、以下说法中，正确的选项是( )

A．两个全等三角形组成一个轴对称图形 B．直角三角形必然是轴对称图形

C．轴对称图形是由两个图形组成的

D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形

题型二：找轴对称图形的对称轴

【例2】等腰三角形的对称轴_______条.

触类旁通：

一、以下说法中，正确的个数是（ ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形必然成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 二、轴对称图形的对称轴的条数（ ）

（A）只有一条 （B）2条 （C）3条 （D）至少一条 3、正五角星的对称轴的条数是( )

A．1条 B．2条 C．5条 D．10条 4、以下图形中有4条对称轴的是( )

A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 常见图形及其对称轴： 名称 线段 角 长方形 正方形 圆 平行四边形

小结： 轴对称 区①指两个图形而言； 别 ②指两个图形的一种形状与位置关系。 轴对称图形 ①对一个图形而言； ②指一个图形的特殊形状。 是否是轴对称图形 是 是 是 是 是 不是 对称轴有几条 ２条 １条 ２条 ４条 无数条 ０条 对称轴的位置 垂直平分线或线段所在的直线 角平分线所在的直线 对边中线所在的直线 对边中线所在的直线和对角线所在的直线 直径所在的直线 联①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合； 系 ②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

一、线段垂直平分线的概念：

（１）垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； （２）线段的垂直平分线能够看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 二、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两头点距离相等。 3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意: （１）“线段垂直平分线上的点到这条线段两头点距离相等”的作用是：证明两条线段相等； （2“到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上； （3）“若是到两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。”的作用是：垂直平分线的判定。

题型一:线段垂直平分线的性质

【例3】 如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点

AE，△BCE的周长等于50，求BC的长.

D B

图-1

点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形转变，但结论不变.

A

D

BE

图-2 触类旁通：

一、如图1,在△ABC中, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,假设∠BEC=70°，那么∠A=？

ECC点评：此题变式求角的计算方式，应用了两个定理.依照一样的方式,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.

【例4】如图3，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于

A点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

DM(1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判定△AEN的形状.

触类旁通：

BENC图-3

1.如图4，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, ACA的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判定△AEN的形状.

图-4

2.如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，假设AB=12cm，BC=10cm, ∠A=49º，求△BCE的周长和∠EBC的度数.

ADMBENC

DEBC【例5】如图，D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，假设∠ABC＝50° 求∠ADC

触类旁通：

BADC1.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，求∠CBE

C

ADEBA 2.如图，△ABC内有一点D，且D为直线AB、AC垂直平分线的交点， 若∠DAB=20°，∠DAC=30°，那么∠BDC的大小是（ ） A．100° B．80° C．70° D．50°

BDC题型二:线段垂直平分线的判定

【例6】如下图，Rt△ABC中，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，

C CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。(用概念法和判定定理法两种方式) E F

A D B

【经典例题回忆】此刻你有什么加倍简练的证明进程吗？

【例7】 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于点E，

ADF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，求证：AD垂直平分EF。

EBGDFC触类旁通：

如下图，AB>AC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB于E，

DFAC于F，求证：BF=CG。

BEFDACG

一、轴对称的性质：

（１）关于某条直线对称的图形是全等形；

（２）若是两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线； （３）两个图形关于某直线对称，若是它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； （４）若是两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。

二、轴对称作（画）图： （１）画图形的对称轴 （２）若是一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线确实是该图形的对称轴。

（３）画某点关于某直线的对称点的方式 （４）画已知图形关于某直线的对称图形 注意：

（１）全等的图形不必然是轴对称的，轴对称的图形必然是全等的。

（２）性质（４）的作用是判定两个图形是不是关于某直线对称，它是作对对称图形的要紧依据。

【例8】如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，以下结论中： ①ΔABC≌ΔA’B’C’； ②∠BAC’≌∠B’AC； ③l垂直平分CC’； ④直线BC和B’C’的交点不必然在l上，正确的有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

触类旁通：

一、如图，ΔABC与ΔA/B/C/关于直线l对称，那么∠B的度数为（ ）

A．50° B．30° C．100° D．90°

lA50F A A'E BB'30B C'CC

D

二、如图六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，假设∠AFC+∠BCF=150°，那么∠AFE+∠BCD的大小是（ ）．

Ａ．150° Ｂ．300° Ｃ．210° Ｄ．330°．

【例9】如图，点P在∠AOB内，点M、N别离是点P关于AO的对称点、BO的对称点，M假设△PEF的周长为15，求MN的长

等腰三角形专题讲解

【知识精读】

（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边而且垂直于底边，这确实是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

OFNBEPA 推论2：等边三角形的各角都相等，而且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭露了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是尔后证明两角相等经常使用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是尔后证明两条线段相等，两个角相等和两条直线相互垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论

定理：若是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，若是一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭露了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中经常使用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线能够把顶角和底边折半，因此常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，尽管顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都能够，有时需要作顶角的平分线，有时那么需要作高或中线，这要视具体情形来定。 【分类解析】

【例1】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝＝∠E，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 因此∠1＝

B A D 1 M C E 11∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，因此∠1221∠ABC 2 又因为CE＝CD，因此∠CDE＝∠E 因此∠ACB＝2∠E 即∠1＝∠E

因此BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

因此M是BE的中点 （等腰三角形三线合必然理）

【例2】如图，已知：ABC中，ABAC，D是BC上一点，且ADDB，DCCA，求BAC的度数。

B A D C

分析：题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠ABAC是无法求出来的。因此需要考虑ADDB和DCCA在题目中的作用。现在图形中三个等腰三角形，组成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为ABAC，因此BC 因为ADDB，因此BDABC；

因为CACD，因此CADCDA（等边对等角） 而 ADCBDAB 因此ADC2B，DAC2B

因此BAC3B

又因为BCBAC180

即BC3B180 因此B36 即求得BAC108

说明1. 等腰三角形的性质是沟通此题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步表现。

2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这种题目的经常使用方式。 【例3】已知：如图，ABC中，ABAC，CDAB于D。求证：BAC2DCB。

D B A 1 2  3 E C

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观看图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB的关系。 证明：过点A作AEBC于E，ABAC 因此121BAC（等腰三角形的三线合一性质） 2 因为1B90

 又CDAB，因此CDB90

 因此3B90（直角三角形两锐角互余） 因此13（同角的余角相等） 即BAC2DCB 说明：

1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条经常使用的辅助线；

2. 对线段之间的倍半关系，常采纳“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方式，

对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，此题还能够有其它的证法，如构造出DCB的等角等。

4、中考题型：

1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE别离为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，那么图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

E B A 36° F C D

分析：由已知条件依照等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，应选择C。

2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F别离是垂足。求证：AE＝AF。

E B A F C D

证明：因为ABAC，因此BC 又因为DEAB，DFAC 因此BEDCFD90 又D是BC的中点，因此DBDC 因此DEBCFD(AAS) 因此BECF，因此AEAF

说明：证法二：连结AD，通过AED AFD证明即可

五、题形展现：

【例1】如图，ABC中，ABAC，A100，BD平分ABC。

求证：ADBDBC。

1 B 2 A D C  E F

分析一：从要证明的结论动身，在BC上截取BFBD，只需证明CFAD，考虑到

12，想到在BC上截取BEBA，连结DE，易患，那么有ADFD，只需证明

DECF，这就要从条件动身，通过角度计算能够得出CFDFDE。

证明一：在BC上截取BEBA，BFBD，连结DE、DF 在ABD和EBD中，BABE，12，BDBD

ABDEBD(SAS)ADDE，BEDA100DEF80

又ABAC，A100 ABCC 12 而BDBF BFDBDF1(180100)40 214020 211(1802)(18020)80 22DEFDFE80DEDFDFE80，C40 FDCDFEC804040

FDCC 即ADBDBC

DFFCADDEDFFCBCBFFCBDAD分析二：如图，能够考虑延长BD到E，使DE＝AD，如此BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于220，只需证明EBCE80

 1 B 2  A D E 3 6 4 5 F C

易证EDCADB1801002060，BDC120，故作BDC的

角平分线，那么有ABDFBD，进而证明DECDFC，从而可证出E80。

证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分BDC交BC于F。 由证明一知：1220，A100 那

么

有

31801002060，6360，BDC18060120

DF平分BDC4560

 345660，在ABD和FBD中 12，BDBD，34 ABDFBD(ASA)

DFDE ADFD，BFDA100，而ADDE， 在DEC和DFC中，DEDF，56，DCDC DECDFC(SAS)

EDFC180BFD18010080 在BCE中，220，380 BCE80，EBCE

ADBDBC BCBE， 说明：“一题多证”在几何证明中常常碰到，它是培育思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要擅长从不同角度去试探、去体会，进一步提高自身的解题能力。

【实战模拟】

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部份的差为3cm，那么腰长为（ ） A. 2cm

B. 8cm

C. 2cm或8cm

 D. 以上都不对

2. 如图，ABC是等边三角形，CBD90，BDBC，那么1的度数是________。

A C 2 1 B 3 D

3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

 4. ABC中，ABAC，A120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，

求证：DE1BC。 2

B A E D O 1 2 C 【试题答案】 1. B

2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为ABC是等边三角形

ABC60 因此ABBC， 因为BDBC，因此ABBD 因此32

在ABD中，因为CBD90，ABC60 因此ABD150，因此215 因此12ABC75

3. 分析：第一将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E别离为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。



分析：欲证此题结论，事实上确实是证明OBOC。而OB、OC在ABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有1、2的两个三角形全等。

证明：因为在ABC中，ABAC 因此ABCACB（等边对等角）

又因为D、E别离为AC、AB的中点，因此DCEB（中线概念） 在BCD和 CBE中，

DCEB(已证)DCBEBC(已证) BCCB(公共边)因此BCDCBE(SAS)

因此12（全等三角形对应角相等）。

因此OBOC（等角对等边）。 即点O在BC的垂直平分线上。 说明：

（1）正确地明白得题意，并正确地翻译成几何符号语言是超级重要的一步。专门是把“在

底边的垂直平分线上”正确地明白得成“OB＝OC”是关键的一点。

（2）事实上，此题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E别离为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判定AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方式是和此题解法差不多的。

4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观看图形，考虑取BC的中点。

证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。

E B A 3 1 2 D F  C

在ABC中，ABAC，BAC120 因此BC30 因此1260，BF1BC（等腰三角形三线合一性质）。 23 1

因此360（邻补角概念）。 因此13

又因为ED垂直平分AB，因此E30（直角三角形两锐角互余）。

1AB（线段垂直平分线概念）。 21又因为AFAB（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。

2因此ADAF AD在RtABF和RtAED中，

13(已证) AFAD(已证)AFBADE90因此RtABFRtAED(ASA) 因此EDBF 即ED说明：

（1）依照题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项大体功；

（2）直角三角形中30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。

第十三章 实数

【知识要点】

一、实数：有理数和无理数统称为实数。

1BC。 2一、实数有以下两种分类方式：

（1）按概念分类 （2）按大小分类

正实数正有理数实数有理数0有限小数或无限循环小数0负实数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数二、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如3的相反数为3，倒数

为133，3的绝对值为33。 33、实数与数轴上点的关系：

实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都能够用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都能够用一个实数表示。 4、实数的运算：

（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。

（2）涉及无理数的计算，可依照问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。 二、二次根式：一样地，式子aa0叫做二次根式，其中a叫做被开方数。 一、二次根式的性质： （1）(a)2a(a0)；

a2（2）aa0a二、最简二次根式：

(a0)(a0)； (a0) （1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。

（2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2。

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，若是被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。 4、二次根式的运算：

（1）．二次根式的运算法那么：

acbc(ab)c(c0)； ab

ab(a0,b0)；

aba(a0,b0)； (a)nan(a0)； b（2）．分母有理化 （3）．二次根式的混合运算 三、非负性及应用： 一、非负数包括正数和零

二、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下：

①假设a是实数，那么a0；

②假设a是实数，那么a3、非负数有如下性质：

2n2

0（n为正整数），当n=1时，a≥0；

③2na（n为正整数）在实数范围内成心义，那么a0，现在a0； ①有限个非负数之和是非负数；

②有限个非负数之和是零，那么每一个非负数是零。 【典例解析】

一、无理数的识别与估算方式

2例1 、（1）在实数，，3.33335哪些是无理数？

，3，0.412，…，π，256中，哪些是有理数，（2）估算243的值（ ）

A．在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间

二、实数的大小比较方式

例二、（1）比较大小：7__________50（填“”“”或“” ） （2）已知a35，b211，那么a、b的大小关系为_________

（3）比较大小：当实数a0时，1a_______1a.（填“”或“” ）

3、实数有数轴的关系

2

例3、如右图：数轴上点A表示的数为x，那么x－13的立方根是（ ）

A.5－13 B.－5－13 C.2 D.－2

4、实数的运算

例4、（1）

（2）

23322512；

36； 2666120010（3）222.5364（4）432333391；

21175。 33

五、实数性质的利用

例五、（1）化简：mm2 (m0) ；

（2）实数a，b在数轴上所对应的点的位置如下图，那么2a___________0；a＋

b__________0；

－｜b－a｜________0；｜2a｜－｜a＋b｜＝________。

例六、（1）已知yx22x5，求yx的值。

(x2)2005（2）已知75的整数部份为a，小数部份为b，那么ab=________ 【课堂检测】

一、在2.71,16,2.5,0,,3,中，属于有理数的是 _____属于无理数的是 ___

二、（1）1•27 ；3••5813133 。

（2）117122718 。 642 （3）假设ab0则aba= 。 （4）计算

232 。

33 12（2）35 26。 23、比较大小（1）4、以下语句中不正确的选项是（ ）

A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽； B．8的立方根是±2； C．绝对值等于6的实数是6 D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。 五、与23相乘，结果为1的数是（ ） A．3

B．23

C．23

D．23

六、以下计算正确的选项是（ ） A

233253 B

822

55262．

626

7、数轴上表示实数x的点在表示1的点的左侧，那么式子（ ） A．正数 八、化简

B．-1

C．小于-1

x222x12的值是

D．大于-1

352，甲、乙两同窗的解法如下：甲：

352 乙：（ ）

35252352525252； 525252，关于他们的解法，正确的选项是

A．甲、乙的解法都正确 确

B．甲正确、乙不正

C．甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确 九、计算或化简：（1）32321664； 6（2）1x（3）

x221x2；

439； 3282332；

22（4）12111（5）已知a，求a4a4

aa32

（6）已知x1313,y,求x2y2的值。 222210、已知y=x88x+18,求代数式xy的值。

1一、细心观看右图和认真分析以下各式，然后解答问题：

(1)212， s11； 22； 23；…… 2(2)213， s2(3)214， s3（1）请用含n的（n为正整数）的等式表示上述转变的规律；

（2）推算出OA5 ，OA10 ；s4 ，s9 ；

（3）求出s1s2s10的值。

第十四章 一次函数

变化的世界 一次函数 函数

性图

质 像 一元一次方程

一元一次不等 式 二元方程一 函数

在某转变进程中，存在 个变量x、y，y随x的转变而发生转变，关于x在其取值范围内，每一个确信的值，y都有 的值与之对应，咱们称y是x的函数。 练习：函数y＝x1中自变量的取值范围是＿＿，y=

2221中x的取值范围是 x1二 一次函数和正比例函数

1．概念： 假设两个变量x，y间的关系式能够表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的 （x为自变量），专门地，当b=0时，称y是x的 . （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要依照函数的 来确信.

（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必需是不为零的常数，b可为任意常数.

练习：已知函数y(m2)xm3n2；

（1）假设是一次函数，应知足什么条件？ （2）假设是正比例函数，应知足什么条件？ 二、一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．此直线与y轴的交点（ ），与x轴的交点（ ）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0， ），（1， ）即可. 3、一次函数性质 （1）性质

函数 k b 位置 Y随x的变化 草图

（2）点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

A.若是点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必知足解析式y=kx+b；

B.若是x0，y0是知足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点必在函数的图象上． （3）确信正比例函数及一次函数表达式的条件

A.由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．

B.由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确信两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件一般是两个点或两对x，y的值． 4.一次函数与方程（不等式）

(1). 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着紧密的关系，解决此类问题关键是找到函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）与x轴的交点（ ），•直线y=kx+b在x轴的上方，也确实是函数的值大于零，x的值是不等式 （k≠0）的解；在x轴的下方也确实是函数的值小于零，x的值是不等式 （k≠0）的解；在x轴上也确实是函数值等于零，x的值是方程 的解。 (2) 一次函数与二元一次方程组的关系

两个函数的交点确实是对应的二元一次方程组的解，现在两个函数的值 ；图像在上方的函数的值较 。

热身训练

1．以下各式y是x一次函数的为（ ） A y=

1

+3 B y=x2+2x+5 C y=2x D y=x

2x+35

E y=a+3F

2．如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）

3．函数y=－x的图象

是一条过原点及（2，___ ）的直线，这条直线通过第_____象限，当x增大时，y随之________ 4. 函数y=2x－4，与x轴的交点是 ，当x____，y<0；.当x_______，y>0。 5．函数y=-3x+5上取x1=1，x2=2，比较大小：y1_______y2；

函数y=(m2+1)x+2 （m为常数）有x1=—1，x2=2，比较大小y1_______y2； 6．某一次函数图像过一、三、四象限，那么：k___0，b___0 7．如右图，判定那些点属于该直线A.（1，3）B.（-1，1）C.（2，-2）D.（−，-1） 21

大体训练 一、填空题

1． 小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是______________， x的取值范围是__________ 2． 函数y=－2x＋4的图象通过_________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_________

3． 一次函数y=kx＋b的图象通过点（1，5），交y轴的点的纵坐标是3，那么k=____，b=____

4．假设点（m，m＋3）在函数y=－ x＋2的图象上，那么m=____

5、直线y=3-9x与x轴的交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为________． 6、假设直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，-2），那么k= ；b= . 二、选择题

1．一次函数y=x-1的图像不通过( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图像过第二、四象限,那么( ) 随x的增大而减小 随x的增大而增大

C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小 D.不论x如何转变,y不变

3.结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是( ) =1 ≤y<4 =4 >4 4．如右图，判定直线k，b值范围 A. k>0，b<0 B. k<0，b<0 C. k>0，b>0 D. k<0，b>0 三、 解答题

1．已知y与x-2成正比例关系，且当x=3时，y=6，求函数的表达式

二、已知一次函数的图象通过点A（－1，3）和点（2，－3），（1）求一次函数的解析式；（2）判定点C（－2，5）是不是在该函数图象上。

3．假设函数y=4x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为8，求解析式

4、已知一次函数y =（m + 4）x + m + 2（m为整数）的图象不通过第二象限，求m的范围 ；

5、一次函数y = kx + b的图象通过点A（0，2），B（-1，0）假设将该图象沿着y轴向上平移2个单位，那么新图象所对应的函数解析式是什么？

6．已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）假设点（a ，2）在那个函数的图象上，求a .

7、 一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点

N的纵坐标为1，求那个一次函数的解析式

8、 某单位为减少用车开支预备和一个体车主或一家出租车公司

签定租车合同．设汽车每一个月行驶xKm，个体车主的月费用是y1元，出租车公司的月费用是y2元，y1、y2别离与x之间的函数关系图像，如图，观看图像并回答以下问题；

（1）每一个月行驶的路程在什么范围内时，租用公司的车更省钱

（2）每一个月行驶的路程在什么范围内时，租两家的车的费用相同？

（3）若是那个单位估量每一个月行驶的路程在2300Km，那么那个单位租哪家的车比较合算？ 综合训练

一、如图，已知直线l1通过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线l2通过点B，且与x轴交于点P（m，0）．

（1）求直线l1的解析式；

（2）假设△APB的面积为3，求m的值．

二、为了鼓舞市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每一个月用水量，x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2．

（1）求出当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；

（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少? 图2

3、近两年某地外向型经济进展迅速，一些闻名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人材需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：

［信息一］招聘对象：机械制造类和计划设计类人员共150名．

［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，计划设计类人员为1000元/月． 设该公司招聘机械制造类和计划设计类人员别离为x人、y人． （1）用含x的代数式表示y；

（2）假设公司每一个月付给所招聘人员的工资为p元，要使本次招聘计划设计人员很多于机械制造人员的2倍，求p的取值范围．

4、我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可贮存240吨，D仓库可贮存260吨；从A村运往C、D两处的费用别离为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用别离为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑桔运输费用别离为yA元和yB元．

（1）请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数关系式； 收

D 总计 地 C 运

地

A

B 总计 x吨

240吨

260吨 200吨 300吨 500吨

（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B村的经济经受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情形下，请问如何调运，才能使两村运费之和最小？求出那个最小值．

第15章 整式的乘除与因式分解

一、基础知识 1.同底数幂的乘法：a相加。

2.幂的乘方：(am)namn，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：(ab)nanbn，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式别离乘方，再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法：

（1）单项式的乘法法那么：一样地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘多项式法那么：单项式与多项式相乘，确实是依照乘法分派律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)

（3）多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

5.乘法公式：

（1）平方差公式:平方差公式能够用语言表达为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特点是：公式的左侧是两个一次二项式的乘积，而且这两个二项式中有一项为哪一项完全相同的，另一项那么是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.

（2）完全平方公式：完全平方公式能够用语言表达为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特点是：左侧是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左侧的“和”或“差”来确信. 在完全平方公式中，字母a、b都具有普遍意义，它们既能够别离取具体的数，也能够取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.

（3）添括号时，若是括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；若是括号前面是负号，

manamn，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数

括到括号里的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有： (1)．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.

11abab(2)．ab＝［(a+b)2－（a2+b2）］＝［(a+b)2－(a－b)2］＝.

2422(3)．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2. (4)．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

利用上述的恒等变形，咱们能够迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，而且还会收到事半功倍的成效.

6.整式的除法：aaamnmn22，（a0，m，n都是正整数，而且mn），即同底数幂相

除，底数不变，指数相减。

（1）a01(a0)，任何不等于0的数的0次幂都等于1.

（2）单项式相除，把系数与同底数幂别离相除作为商的因式，关于只在被除式里含有的字

母，那么连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加。 7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把那个多项式因式分解，也可称为将那个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

8．经常使用的因式分解方式：

（1）提公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(abc)是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方式叫做提公因式法。

i 多项式各项都含有的相同因式，叫做那个多项式各项的公因式。

ii 公因式的组成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法：

（1）经常使用公式 平 方 差： ab(ab)(ab)

完全平方： a2abb(ab)

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①(ab)（3）十字相乘法

2xpxq中，若是能把常数项q分解成两个因式 ⅰ 二次项系数为1的二次三项式

a,b的积，而且ab等于一次项系数中p，那么它就能够够分解成

2n22222（n为正整数） (ba)2n；②(ab)2n1(ba)2n1．

xpxqxabxabxaxb

222axbxc中，若是能把二次项系数a分解成两ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式

个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，而且a1c2a2c1等于一次项系数

b，那么它就能够够分解成：

ax2bxca1a2x2a1c2a2c1xc1c2a1xaa2xc2。

（4）分组分解法

ⅰ 概念：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，可是若是将前两项和后两项别离结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

2222(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，abab =

22 这种利用分组来分解因式的方式叫分组分解法。

ⅱ 原那么：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必需使各组之间能继续分解。

ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方式并非唯一，不管如何分组，只要能将多项式正确分解即可。

二、经典例题

第一部份 整式的乘除

【例1】例题以下运算正确的选项是（ ）

A. a5+a5=a10 B. a5 ·a5 = a10 C．a4·a5=a20 D．（a4）5=a9

【思路点拨】选支A是整式的加法运算，归并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9 ；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20． 【解析】此题应选Ｂ．

【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，必然要学好，学习它时注意体会从特殊到一样、从具体到抽象，有层次的进行归纳抽象，归纳原理． 【例2】以下运算正确的选项是（ ） A.(－x)2x3 =x6 C．4x(2x)2x22

B.

(x)3(x)2x5 (2x2)38x6

2

D．

【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加(－x)2∙x3=x2·x3=x5；选支B错在符号不对，

32负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，(x)(x)=xx=x；选支C中积的乘方运算22显现漏乘项错误，4x(2x)=4x2x=4x4x0；选支D运算正确．

22222325【解析】此题应选Ｄ．

【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的依照是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同窗们要真正明白得幂的乘方式的性质，如此才不致混淆性质而运算犯错．

【例3】以下运算在正确的选项是（ ） A. xx2x B. (x)3(x)5x8 C. (2x2y)4x324x3y3 D. (x3y)(55101211x3y)x29y2 24[答案] B

[错因透视]

对整式运算法那么明白得不深切才会显现错误，

111x5x52x5，(2)38，(x3y)(x3y)(x3y)2

222【例4】计算：（-2x2y）2·(-3xy)

【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法互换律等进行运算． 【解析】原式=4x4y2·(-3xy) (据积的乘方)

=[4×(-3)](x4·x)(y2·y) (据乘法互换律、结合律) =-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)

【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，因此，幂的运算性质，乘法互换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法那么关于三个以上的单项式相乘一样适用，如：

2a2b·(- 3ab2)·5abc

=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c

【例5】（1）2xy(5xy2+3xy-1) （2）(a2-2bc)·(-2ab)2

【思路点拨】（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法互换律后的计算方式是相同的． 【解析】（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)

=10x2y3+6x2y2-2xy （2）原式=(a2-2bc)·4a2b2 =4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc) =4a4b2-8a2b3c

【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：①显现漏乘，而致使缺项；②显现符号错误；③运算顺序犯错，造成计算有错．

【例6】计算：(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x-y)(x2+xy+y2)

【思路点拨】第（1）题，先用x别离与2a、3b相乘，再用-2y别离与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x别离与三项式中的各项相乘，再用-y别离与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加． 【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b

=6ax+9bx-4ay-6by

(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)· x2+(-y)·xy+(-y)·y2 =x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3 =x3-y3

【规律总结】（1）利用多项式乘法法那么时，既不要漏乘，又要注意确信各项的符号．

（2）乘积中有同类项，要归并同类项． 【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)

【思路点拨】认真观看题目特点，凡两因式中相同项看成公式中的a，另一项(必需是互为相反数)看成公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必需通过变形才能运用平方差公式． 【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2

=4y6-9x4

【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特点，就可运用．

【例8】化简： (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2

【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2因此应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷．

【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2

=4a2+12ab+9b2

(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2 =4y2-4xy+x2

(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2

【规律总结】（1）这三题其实都能够用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只只是依照题目特点灵活采纳变形可简化计算进程，其中(-x+2y) 2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个经常使用技术．

（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”．

【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3

【思路点拨】先观看题目，确信运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．

【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3

(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2

【规律总结】像（2）这种题目，必然要计算到最后一步．

【例10】计算：(1)xn+2÷xn-2 (2) (x4)3·x4÷x16 （3）用小数或分数表示：×10-3 【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数假设是多项式，指数相减必然要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，取得最后结果．

【解析】(1)xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4

(2) (x4)3·x4÷x16 =x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=1

(3)×10-3=×

1=×= 310【规律总结】那个地址要专门注意“am÷an=am-n (a≠0， m， n均为正整数，而且m>n)”括号内的条件．

【例11】计算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

【思路点拨】（1）中被除式的系数是1，可依照单项式相除法那么计算;（2） 是混合运算，先弄清运算顺序，再依照相应的法那么进行计算．此题先进行乘方，再自左至右进行乘除法． 【解析】解：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)

=(1÷2)·(a2n+2÷an)·(b3÷b2)·c

=

1n+2abc 2(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

=(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3) =(18x3y5)÷(6x3y3) =3y2

【规律总结】单项式相除，第一分清两工的系数、相同字母、被除式特有的字母，再进行运算，结合演算重述法那么，使法那么熟悉，并会用它们熟练进行计算． 【例12】计算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)

【思路点拨】关于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的． 【解析】(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)

=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3) =3x2yz-2xz+1 这一项易漏！ (2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy) =［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy) =［4xy］÷（xy） =4

【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，在那个转化进程中，要注意符号问题．

第二部份：因式分解 【例1】将以下各式分解因式： （1）2a6a36a_______； （2）a1_______； （3）abab_______； （4）4ab2b1_______。 [答案]

（1）2a(a6)(a3) （2）(a1)(a1)(a1)

22222334（3）(ab)(ab1) （4）(2ab1)(2ab1)

[错因透视]

因式分解是中考中的热点内容，有关因式分解的问题应避免显现一下常见错误：①公因式没有全数提出，如2a6a36aa(2a26a36)a(a6)(2a6)；②因式分解不完全，如a41(a21)(a21)；③丢项，如abab(ab)(ab)；④分组不合理，致使分解错误，如4ab2b1(4a21)(b22b)(2a1)(2a1)b(b2)，无法再分解下去。 【例2】连连续：

a2－1 (a＋1)(a－1) a2＋6a＋9 a2－4a＋4 9a2－1 a2－ab

(3a＋1)(3a－1)

222233 a(a－b)

(a＋3)2 (a－2)2

【思路点拨】由于因式分解是整式乘法的逆运算，咱们能够先运用整式乘法法那么计算出第二列中各整式相乘的结果，看跟第一列中的哪个多项式相等，然后用线连接起来.

【解析】(a＋1)(a－1)＝a2－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－1，a(a－b)＝a2－ab，(a＋3)2＝a2＋6a＋9，(a－2)2＝a2－4a＋4.

【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，依照题目的需要，有时多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要通过整式乘法化成多项式的形式.

2【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z （2）3a9ab （3）2a(xy)4b(yx)

2【思路点拨】观看上面的各个多项式，咱们能够发觉每一个多项式的各项都含有公因式，咱们能够运用提公因式的方式来做这道题目. 第（3）小题分解因式的关键是寻觅公因式，此题的公因式能够看做2a(xy)，也能够看做2a(yx) 【解析】（1）原式＝5（x－y＋z） （2）原式＝3a(a3b)

2 （3）方式一：原式＝2a(xy)4b(xy)＝2a(xy)[a(xy)2b]

=2a(xy)(axay2b)

方式二：原式＝2a(yx)24b(yx)＝2a(yx)[a(yx)2b]

＝2a(yx)(ayax2b)

【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是关键，提公因式后的各项中不能再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解．其一样原那么：（1）首项一样不化成含负号的形式；（2）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一样将偶次项的底数化成它的相反数的形式，如此可使各项符号不变．

【例4】把以下各式因式分解：

（1）4m25n （2）169(ab)2121(ab)2

【思路点拨】此题中两项都能够表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解 【解析】（1）4m25n

=（[2m)2(5n)2]

2222（2m5n)(2m5n) =（2）169(ab)121(ab)

=[13（ab)][11(ab)]

2222（ab)11(ab)][13（ab)11(ab)] =[13 =（24a + 2b）(2a + 24b)

=4(12a + b)(a + 12b)

【规律总结】第（2）小题中的（24a + 2b）(2a + 24b)，将括号内提取公因式“2”后，应把两个2相乘，而不要当做提公因式，误写成2(12a + b)(a + 12b)． 【例5】把以下各式分解因式：

（1）4a12ab9b （2）16（2mn)28n(2mn)n2

【思路点拨】此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式，应考虑用完全平方公式． 【解析】（1）4a12ab9b

2222（2a）22a3b（3b） =

（2a3b） =

（2）16（2mn)28n(2mn)n2 = [（42mn)]22n4(2mn)n2 = [（42mn)]n]2

= （8m + 3n）2

【规律总结】第（2）小题中的2m＋n应看做一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，不然分解比较困难，多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用完全平方公式． 【例6】因式分解：（1）(x24y2)216x2y2 （2）(a1)4(a1)4 【思路点拨】只要（1）把x24y2和4xy，（2）(a21)把看做整体就不难套用平方差公式和完全平方公式来分解那个多项式的第一步，但此题中的两小题都能继续因式分解，因此要专门注意分解要完全．

【解析】（1）(x24y2)216x2y2 =(x4y)(4xy) =(x4y)(4xy)

=(x4y4xy)(x4y4xy) =(x2y)(x2y) （2）(a1)4(a1)4 =(a12) =(a1) ==(a1)(a1)

【规律总结】因式分解是不是分解终止的标志是看分解后的各因式时候还含有可继续因式分解的多项式。

温习题

222222222222222222222222222221.计算(ab)6(ab)2的最终结果为( ).

A．ab B．ab C．ab D．ab 2.已知(x2)01，那么( ).

A．x3 B．x1 C．x为任意数 D．x≠2 3.若35，34，那么3A．

mn2mn33443443等于( ).

25 B．6 C．21 D．20 44．计算a6b32a3b2的结果是 ( ). A.2ab B.

31211ab C.a3b D.a3 2225.(72x3y436x2y39xy2)(9xy2)等于 ( ).

A．8x2y24xy1 B．8x2y24xy1C．8x2y24xy1 D．8x2y24xy 6．以下算式中，正确的选项是（ ） Ａ．aa3221a2 a62

Ｂ．2a3aa Ｄ．a623

Ｃ．(ab)ab

32a6

7．以下各式中计算结果等于2x的是（ ） A．xx

33B．(2x)

32C．2xx

32D．2xx

78．以下运算正确的选项是（ ） Ａ．3x2x1 Ｂ．2x21236 Ｃ．(a)·aa 22xＤ．(a)a

2369．以下计算正确的选项是（ ） Ａ．aaa

2Ｂ．(2a)6a

33Ｃ．(a1)a1

22Ｄ．aaa

3210．以下运算正确的选项是（ ） A．2a3b5ab 11．当a222B．aaa C．(ab)ab D．a·aa

623325332时，代数式28a28a7a7a的值是 ( ). 4A.6.25 C.－ D.－4

12.以下各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）

A．n(xy)nxny B．x23x4x(x3)4 C．7ab(2a2c)14a3bc D．a22a1(a1)2

3213.观看以下各式：①abxadx；②2x2y6xy2；③8m4m2m1；④

a3a2bab2b3；⑤

(pq)x2y5x2(pq)6(pq)2；⑥

a2(xy)(xy)4b(yx).其中能够用提公因式法分解因式的有（ ）

A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥

14.多项式6mn3mn12mn分解因式时应提取的公因式为（ ） A．3mn B．3mn C．3mn D．3mn 15.以下因式分解中，正确的有

①4a－a3b2＝a（4－a2b2）；②x2y－2xy＋xy＝xy（x－2）；③－a＋ab－ac＝－a（a－b－c）；④9abc－6a2b＝3abc（3－2a）；⑤个

个

2222322232222xy＋xy2＝xy（x＋y） 333个

个

16.若(xy)3xy(xy)(xy)A，那么A为（ ）

A．xy B．xxyy C．x3xyy D．xxyy 17.把多项式an3n322222222an2（n为大于2的正整数）分解因式为（ ）

2n1 A．a(aa) B．a(a22an4) C．an2(an11) D．an2(a51)

18.把多项式pa1p1a分解因式的结果是（ ）

A．a1pp B．a1pp C．pa1p1 D．pa1p1

2219．已知ab2，那么ab4b的值是（ ） Ａ．2

Ｂ．3

Ｃ．4

Ｄ．6

2220．已知x+y = –5，xy = 6，那么x2y2的值是（ ） A． 1

32B． 13 C． 17 D． 25

21．计算：(10) ． 22．计算[(x)] ．

3223．计算：(3x2y)12xy . 324．分解因式：xy34xy ．

25．一个长方形的面积是(x29)平方米，其长为(x3)米，用含有x的整式表示它的宽为________米．

26．要使16x＋1成为完全平方式，应加上的式子是___________________；

27．一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm2，那么那个正方形的边长为_______．

28．计算：x1x21x1______________； 29．已知：ab3，ab＝2，那么a2b2_______． 30．3x5x6y 31．2a223ab25ab31

32．xxx11

2233. 已知实数a、b知足(ab)1，(ab)25，那么代数式abab的值

22为 ．

234.在实数范围内分解因式：4m8m4 ．

35． 计算：a2b36．假设xmn02． a4________xnx3，那么m_________；

37．假设ab无心义，那么a,b的关系是___________________；

2238．已知x40，求代数式x(x1)x(xx)x7的值．

2

39．已知ab2a4b50，求2a4b3的值。 40．解方程：3x12x1x15x224

2222241．⑴计算以下各组算式，并观看它们的一起特点：

79_____1012______,8082_____,， 88_____1111______;8181_____.⑵从以上的进程中，你发觉了什么规律？请用字母表示这一规律． 42. 计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3

43． 计算：(1)xn+2÷xn-2 (2) (x4)3·x4÷x16 （3）用小数或分数表示：×10-3 44．计算：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

45． 计算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy) 46．（1）(2a)3（2）(5b)3（3）(xy2)2（4）(2x3)4

47．李华教师给学生出了一道题：当x2009，y2008时，求

2x(2yxy2)xy(2xyx2)(x2y)的值．题目出完后，小明说：“教师给的条件，

y2008是多余的．”王辉说：“不给那个条件，就不能求出结果，因此不是多余的．”你以

为他们谁说得有道理？什么缘故？

248．给出三个多项式：xx1,12121x3x1,x2x,请你选择其中两个进行加法运算，22并把结果因式分解．

49.下面的图（1）是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图（1）剪开后，再拼成一个四边形，能够用来验证公式ab(ab)(ab)．

(1)请你通过对图（1）的剪拼，画出三种不同拼法的示用意．要求： ①拼成的图形是四边形；

②在图（1）上画剪切线（用虚线表示）； ③在拼出的图形上标出已知的边长．

(2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的进程．

a22abb

50. 已知△ABC三边长别离为a、b、c，且a、b、c知足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，

试判定△ABC的形状．

参考答案

1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．D 9．Ｄ 10．Ｄ 11．选B，提示：28a328a27a7a4a24a1

（点拨：判定是不是因式分解必需知足两点，一是等式左侧是多项式，二是等式的整式积的形式）

（点拨：看可否利用提公因式法因式分解的关键是多项式中各项是不是有公因式的存在） （点拨：公因式的系数取各系数的最大公约数，相同字母取最低指数幂，保证提取后的多项式第一项符号为正）

（点拨：①正确；②提取公因式后漏项了；③最后一项提取公因式后应该＋c；④公因式应该是3ab；⑤⑥）

（点拨：可用(xy)3xy(xy)除以(xy)） （点拨：公因式是相同字母的最低次幂，然后用an3an2除以公因式即可）

（点拨：此题的公因式为pa1，提公因式必然要提尽）

393时，原式＝4×－4×＋1＝－3＋1＝

44419．Ｃ 20． B 21．10 22．x 23．xy

24．xy(y2)(y2) 25．x3

26．－1或±8x或－16x或64x；

27．设正方形的边长为acm，那么a2a2＝32，那么4a＋4＝32，因此a＝7，即那

22466233个正方形的边长为7cm．

28．x1x21x1x1x1x21x21x21x41； 29．a2b2ab2ab32－2×3＝3．

2230．15x218xy 31．6ab10ab2a 32．xxx 33.将所给的两个等式拆开后运用等式的性质相加可得

323332(ab)2(ab)212526，因此a2b213；

再将两个等式相减可得，

(ab)2(ab)212524，因此ab6．

故abab＝13＋（－6）＝7．

34. 4m28m48(m22m1)＝8[(m22m1)2]

＝8[(m1)2(2)2]＝8(m12)(m12) 35．a2b222a4a4b2a4b2；

mn36．因为xxnx3，∴xmnnx3，那么m3．

37．ab；

38．解：x(x1)x(xx)x7

22x32x2xx3x2x7 x27．

当x4时，原式3．

2239．因为ab2a4b50，(a2a1)(b4b4)0，

22222即(a1)(b2)0，

a10且b20，a1且b2，

原式2(1)24237．

40．3x12x1x15x224，∴9x＋6x＋1－（4x－4x＋1）＝5x22222－3x－2－24，∴5x＋10x＝5x－3x－26，∴13x＝－26，∴x＝－2． 41．⑴63，64；120，121；6560，6561；⑵n21n1n1； 42. (1) y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3

(2) (-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2

43. (1) xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4 (2) (x4)3·x4÷x16 =x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=1

22(3) ×10-3=×

1=×= 10344. 解：(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)

=(1÷2)·(a2n+2÷an)·(b3÷b2)·c =

1n+2abc 2(2) (3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3) =(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3) =(18x3y5)÷(6x3y3) =3y2

45. (1) (6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)

=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3) =3x2yz-2xz+1 这一项易漏！ (2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy) =［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy) =［4xy］÷（xy） =4

46. （1）(2a)2a8a.

（2）(5b)(5)b125b.

33333333（3）(xy2)2x2(y2)2x2y4. （4）(2x3)4(2)4(x3)416x12. 47. 2x(x2yxy2)xy(2xyx2)(x2y)

2x3y2x2y22x2y2x3y(x2y) (x3y)(xy)

x显然，因为化简最后的结果不含有y，因此最后的结果与y的值无关，因此y=2020是多余的，从而小明说得有道理．

248. (xx1)(x3x1)＝x4x＝x(x4)

12122211(x2x1)(x2x)＝x21＝(x1)(x1) 2211(x23x1)(x2x)＝x22x1＝(x1)2 2249． 如图能够拼成一个两边长别离为（a＋b）和（a－b）的矩形.

aabbba-b22

原先图形的面积ab，拼成的四边形的面积为（a＋b）（a－b），依照剪拼前后的图形的面积相等，可知ab＝（a＋b）（a－b）.

50 解：因3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2展开后可变成：2（a2+b2+c2）=2（ab+bc+ac）， 即2（a2+b2+c2）－2（ab+bc+ac）=0，因此该式进一步可变成：

（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2=0，由此可得：a=b=c，因此该三角形为等边三角形．

22