实验力学 概念总结

相似是指物理现象的所有物理量在对应地点和对应时间具有一定的相似关系。 其中最简单的就是几何相似，如三角形相似

a1b1c1CLa2b2c2在相似理论中，除了几何相似之外，还有载荷相似、质量相似、刚度相似等。

为了保证两个物理现象的相应物理量在对应地点和对应时间具有相似关系，在保证物理量之间具有比例关系的前提下，还必须使物理量的相似系数之间保持一定的组合关系。

（2）相似定理 1）相似第一定理

两个彼此相似的物理现象，其相似指标为l，相似判据为不变量，这就是相似第一定理。

设有两个现象彼此相似，可用同一方程来表示，如作用于沿直线运动的质点上的作用力及其所产生的加速度满足牛顿第二定律，即 则有

F1m1a1F2m2a2设两个现象的作用力、质量和加速度的相似系数分别为

CF、Cm和CaCFF1Cmm1Caa1CmCam1a1a2Caa1代入上面第二式得 CFF1Cmm1Caa1CmCam1a1显然，若这两个物理现象相似，则有 CFCmCaCFC令 C m C a ,则 C  1 (C 称为相似指标。)

另外

F2CFF1m2Cmm1上式表明，两个相似现象的各物理量的相似系数之间应满足相似指标为1。

F2CF1FF1m2a2CmCam1a1m1a1ma令 F ,则上式可写成如下形式 K  idem （同一数值）

K

上式称为相似判据。显然两个相似现象的各物理量之间应满足相似判据为不变量。

2）相似第二定理

表示物理现象各物理量之间的关系方程，都可以转变为无量纲方程形式，无量纲方程的各项即为相似判据，这就是相似第二定理。

由相似第一定理知，彼此相似的物理现象具有相同的相似判据，所以可根据相似第二定理推知，彼此相似现象的判据方程相同。

设等截面直杆，两端受一对偏心拉力作用，设拉力为F，偏心距为e，则杆件最大拉应力可表示为

方程两边如果除以其中一项，可以得到无量纲方程形式 Fe  F1 WAFe式中各项均无量纲 和 F 均为相似判据

AW

F2e2F2F1e1F111若此杆有两个相似的物理现象，则对第一和第二现象分别有 2W22A21W11A1设各物理量相似系数分别为 CF、Ce、CW、CA和C则有

代入上面第二式得

FeFWAF2CFF11e2Cee1W2CWW1A2CAA12C1CFCeF1e1CF1FCCW1W1CCA1A1显然，如果两个现象相似则必须有

C1

同样可得到

CFCe1CCWC2CF1CCA因此，上式可作为相似条件。和相似第一定理一样可表达为彼此相似现象的相似指标为1。

F1e1Fe221W12W2F1F21A12A2K1FeWK2FA上式即为相似判据，表示两个相似现象的各物理量之间应满足相似判据为不变量。 相似第二定理又称为π定理。

3）相似第三定理

在物理方程相同的情况下，如果两个现象的单值条件相似，即由单值条件导出的相似判据与现象本身的相似判据相同，则这两个现象一定相似。

相似第一和第二定理明确了相似现象的性质，它们是在假设现象相似为已知的基础上导出的，但是没有说明判别相似现象所需的条件。在物理方程相同的情况下，单值条件觉定所研究过程中各个物理量的大小，因此单值条件相似判据就成为相似的充分条件。在模型实验时，只有模型的单值条件与实物结构相同，且相似判据相等，模型才能与实物结构相似。因此，模型实验时，首先求出相似判据，进而设计模型，然后模拟单值条件进行实验，根据实验结果推算实物结构的结果。

所谓单值条件，是指一个现象区别于一群现象的哪些条件。属于单值条件的因素有：几何特性、时间、材料特性、边界条件、初始条件等。 ①几何相似

如果模型上所有方向的线性尺寸均按实物的相应尺寸用同一比例常数确定，则此模型与实物（原型）几何相似。

下标为P的表示实物结构，为M的表示模型的物理量。在几何相似系统中，任何相应点（i点）的坐标

L应满足  C L （ C L 称为几何相似常数 ， 是长度尺寸的物理量）

若不满足上述条件，则设计的模型为变态相似模型。 ②时间相似

在动力问题中，如果模型上的物理量与原型的物理量在对应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动的方向一致，则为时间相似。

物理量随时间变化的过程中，每一时刻都对应着一批确定的物理量。由于其总是在相同的时间基础上进

tpMxpixMiCt行的，因此必须保持不变的时间比例关系： t 称为几何相似常数 t是物理量的时间间隔）Ct （

③物理参数相似

对于弹性结构有影响的物理参数，有弹性模量、泊松比、密度等，在模拟时，应满足下列比例关系

④初始条件相似

物理现象一方面取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的初始条件，因此模拟时必须满足初始条件的相似，而且其相似比例尺应与过程中的比例尺相一致。 ⑤边界条件相似

在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，显然还要满足边界条件相似，不同的边界条件处理方法是不同的。

相似第三定理表明，当考虑一个新现象时，只要它的单值条件与曾经研究过的现象单值条件相同，并且存在相等的相似常数，就可以确定现象相似，从而可以将已研究过的现象的结果应用到新现象上。相似第三定理的发现使相似理论构成了一套完善的理论，成为组织试验和进行模拟的科学方法。在模型实验中，为了使模型与原型相似，必须 按相似理论推导出相似判据方程，模型设计应在保证相似判据方程成立的基础上确定出适当的相似常数。

EpEMCEpCMpCM2）量纲分析法 方程分析法建立在物理方程已知的基础上，但是很多问题无法建立物理方程或在模型实验前不知道其物理方程，此时需要采用量纲分析法。采用量纲分析法推导相似判据，只要求确定哪些物理量存在于所研究的现象中，以及知道这些物理量的量纲就可以了。量纲分析法又称为定理分析法。 （1）单位和量纲的概念

在实验中，需要测量各种物理量，为了定量描述这些物理量，需要用一定的标准去衡量和表示，标准不同，测量的结果就不同，把测量物理量所取的标准称为单位。如物理的长度，可选米、厘米、毫米等单位。国际单位制（SI）中将单位分为3类：基本单位、导出单位、辅助单位。

国际单位制中有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度、物质的量。对于一个力学系

统，一般只需对长度、质量、时间等3种基本物理量定出单位就可以了，其他多数物理量的单位可由基本物理量的单位导出。

基本物理量的单位称为基本单位，可以由基本单位导出的物理量的单位称为导出单位。辅助单位目前

只有两个，即平面角的国际制弧度和立体角的国际制球面度。辅助单位也可以用于构成导出单位。单位有两个含义：一是表示被测物理量的类型，二是表示测量的“尺度”。

量纲用来表示物理量的单位特征。同一种类的物理量应具有相同的量纲，如表示长度的物理量，无论

用米、厘米或其他单位表示，都具有长度的性质，都可以用长度量纲[L]表示。每种物理量对应于一种量纲，如力的量纲可表示为[F]，时间的量纲为[T]，质量的量纲为[M]等。有些物理量没有量纲，可用[1]表示。量纲分为基本量纲和导出量纲。任何一组彼此独立的并可以导出其它量纲的量纲都可作为基本量纲，所以基本量纲不是唯一的。凡是由基本量纲间接导出的量纲，都称为导出量纲。基本量纲的数目根据研究问题的性质而定。

一般来说，在非温度场中，模型实验最多选三个彼此独立的基本量纲。如果是静力学问题，量纲[T]不存在，则只有两个基本量纲。量纲具有如下性质：

①若两个物理量相等，则其数值相等，量纲相同； ②具有相同量纲的两个物理量，其比值的量纲为[1]； ③基本量纲相互独立； ④物理方程两边的量纲相同。

常见物理量的量纲

物理量 长度 时间 质量 面积 体积 速度 （2）量纲分析

量纲表示各种物理量的基本度量，反映物理量之间关系的方程式中各项的量纲必须相同，只有同类型物理量才能相互比较或相互加减，即量纲齐次原则，是量纲分析的基本依据。量纲分析就是通过分析物理现象或工程问题中各有关物理量的量纲，利用量纲齐次性条件，得出表述这些物理量间函数关系可能形式的方法。有时不能用解析法导出基本方程式，但可以借助量纲分析建立它们之间的关系。

量纲 L T M L2 L3 LT-1 物理量 加速度 力 能、功 功率 密度 频率 量纲 LT-2 MLT-2 ML2T-2 ML2T-3 ML-3 T-1 物理量 力矩 惯性矩 角速度 角加速度 弹性模量 应力、压强 量纲 ML2T-2 ML2 T-1 T-2 ML-1T-2 ML-1T-2 例如，已知物体做匀速圆周运动与物体质量M，圆半径R，线速度v及向心力F各物理量有关，试求其关系。

dimv(dimF)p(dimM)q(dimR)r1dimRLdimMM这几个物理量的量纲分别是 dimvLT 首先写出量纲表达式 固有

dimFMLT2LT1(MLT2)pMqLrMpqLprT2ppr11根据量纲齐次原则，必须使 p  q  0

1

2

112p111r  ，即 解出 p  q  2 2 2 ，从而 22dimv(dimF)(dimM)(dimR)vFRM上例中涉及到4个物理量，其中3个的量纲是独立的，如F、R、M（因为其中任意两个量的量纲结合不能导出第三个量的量纲）。这样从量纲表达式可以得到3个相互独立的方程式，因此有解。设量纲独立的量为n，全部物理量为n+1，未知量可解，若全部物理量多余n+1个，则未知量不能用上述方法解出。

（3）π定理

假设一个物理现象的参数方程为

即

f(x1,x2,,xn)0如果上式n个参数中有m个基本量纲，则可组成（n-m）个独立的无量纲参数组合，写成π的形式为

f(1,2,,nm)0上式用（n-m）个无量纲的量之间的关系表示原来的函数方程。显然，这些无量纲量即是相似判据，

(1)p(1)m(2)p(2)m(nm)p(nm)m举例说明用量纲分析法推导相似判据的过程，讨论一静力弹性体系的应力问题。

一般认为，应力与尺寸，外力，弹性模量，泊松比有关 参数方程为

f(,q,l,E,,)0q2E选用E，l作为基本量纲，则有6-2=4个基本量纲组合，即 考虑到π为无量纲量，则有 a1即 由 得 即

1Ela1b12qEa2lb23Ela3b34Ela4b41E31b10l4Ea21b20a31b31a40b40(1)p(1)mpEp(2)p(2)mqpEpqmEmmEmpEpEmmqpqmm

量纲分析过程中，没有显示物理现象的本质，而且获得的相似判据随基本量纲选择的不同会产生不同的结果。此外，量纲分析还不能控制无量纲的量，不能考虑单值条件，不能区分物理方程中量纲相同而意义不同的物理量。因此，在进行量纲分析时，必须定性地了解研究的物理现象，正确选择物理量。

三、 静态应变测量

1、测量的一般步骤

常温下的应变测量的一般步骤如下： （1）应变测量方案的制订 1）明确测试目的，选择测点位置

要使测量取得成功，必须在测量前充分地进行调查研究，要全面得了解被测构件的几何形状、工作原理、材料性质、载荷作用方式、用途、所处环境及周围介质等情况。要明确测量任务，工程实际对实验应力分析提出的测量任务是多方面的，不同的测量目的，其测点位置的选择也各不相同。 2）制定布片方案

在决定布片方案时，要考虑到测点的应力状态、构件的受载情况和温度补偿的原则，从而确定每个测点上应布置的应变片的数量及各应变片的粘贴方向。

3）制定加载方案

所谓加载方案是指对构件进行应变测量时的载荷极限、测试工况、加载程序以及测试次数。

（2）应变测量的准备工作

准备工作分为实验室准备工作和测试现场准备工作两部分。

1）实验室准备工作

①查阅有关手册或测取被测构件材料的力学性质； ②根据用途和测试要求选择应变片的种类和型式；

③选择好适应被测对象和测试现场环境条件的粘结剂、测量导线；确定应变片的防护措施；确定温度补偿的方法； ④选择和配置所有的测试仪器，并作好对这些仪器的性能检查和调整；

⑤对于某些特殊要求的测试，需采用相应措施者，应事先做好必要的试验准备工作； ⑥要准备好所有在测试中需使用的辅助仪表、器材和工具。

2）现场准备工作

①要选择好适宜的测试地点和时间；

②测试仪器的放置处应能保证仪器的清洁、无振动、距被测构件较近，此外还要注意远离电磁干扰源； ③测试仪器应有专门的稳压电源供电； ④根据布片方案对被测构件各测点进行预处理； ⑤对测试人员要做好明确分工。

（3）加载测试

在一切准备工作确认无误后，在可能情况下应进行预加载三次，而且最好在超载5~10%的情况下进行，然后正式加载并

记录测量读数。

（4）分析测量数据及改进试验

在多次重复加载的情况下，测试数据应有较好的重复性，数据与载荷大小之间的关系也应该有明显的规律性。在重复性

或规律性有疑问时，应检查和改进试验的某些环节。

2、平面应变状态测量

确定一点的平面应变状态，需要三个应变分量：ε1、ε2和γ12 或两个主应变： ε1、ε2和主应变的方向。因此，测量一点的平面应变状态宜采用应变花。 （1）主方向已知

如果单元体各侧面上的剪应力全部为零，这样的单元体称为主单元体，主单元体上的正应力称为主应力，主应力的指向

称为主方向。

对处于平面应力状态的单元体．如果它的两个主应力方向已知(例如薄壁圆筒受内压作用或圆轴扭转等)，只要在测点处沿主方向贴上两片应变片(即采用双片应变花，使应变花中的一个应变片方向与测点主应变方向重合，将应变花贴在测点上)，测量出ε1、ε2 ，即为该点的两个主应变。

111-2根据虎克定律有  E ，将上面两式联立求解，便得出两个主应力的表达式 1- 221EE11-21+2E+2211-2

式中弹性模量E和泊桑比μ须事先测出。

（2）主方向未知

在承受复杂载荷的工程结构上，各点的主应力大小和主方向都是待求的未知量。如果将问题简比为平面应力状态，那末只要在测点同时测量出三个方向的线应变，再由测出的三个方向线应变可以求得测点的应变状态。因此宜采用45°直角应变花或120°等角应变花。

下面试导出应变和主应力之间的关系式。如图所示一主单元体，其上作用着主应力σ1和σ2 ，efgh为在该点处所取的任意单元体，此单元体ef和fg面上的外法线与主应力σ1的方向的夹角为α和β＝ α+90°。由材料力学公式

σα = (σx +σy)/2 + (σx -σy)cos2α/2 - τxysin2α

将σ1 ＝ σx ， σ2 ＝ σy ，代入上式，得到ef和fg面上的正应力σα和σβ公式   1   2  1 - 2 设沿σα方向的应变为εα，记为 cos222 εα= (σα - μσβ)/E 121-2cos2（90。）将正应力σα和σβ公式代入上式整理可得 222 121-21-1-21cos21cos22E2E22

σ1σ21-μL2E引入符号  则(1)式变： εα= L + Hcos2α---- (3)

Hσ1-σ21μ  E 因此，只要测量三个指定方向的应变，便可以求出主应力大小和主方向。  2

假定结构表面一点o的主方向为op，在oa、ob、oc三个方向上分别各贴一应变片，三个方向与op的夹角分别为α1、α2、α3 ，参见下图。且令α2 = α1 + Δα21， α3 = α1 + Δα31，根据测出的三个应变εa 、εb 、εc，可以列式如下

εa= L + Hcos2α1

εb= L + Hcos2(α1 + Δα21) εc= L + Hcos2(α1 + Δα31)

在上式中可以联立求解三个未知量：L、H、 α1，并由α1定出主方向，

于是主应力σ1、σ2可由下式求出 1L1-HE111-  应变片方向图

1L-1-HE2 11-在实际测量中，为简化计算公式， α1、α2、α3 常选取特殊角。一般选取0°、 45°、 90°的三片直角应变花(即45°直角应变花)或者0°、 60°、120°的三片等角应变花(即60°三角形应变花)。下面导出这两种应变花的计算公式。 1）三片直角应变花

如图所示为三片直角应变花，这里Δα21 ＝45°， Δα31=90°。将角度值代入(4)式，得到

εa= L + Hcos2α1

εb= L + Hcos2(α1 + 45°) = L - Hsin2α1 εc= L + Hcos2(α1 + 90°) = L - Hcos2α1

(a)

三片直角应变花

(b) (c)

由上式可解

注意到(c)式在推导时，从op逆时针旋转为正角。当利用(c)式计算时，由选定的方向oa顺时针旋转到主方向op，按照习惯则变为负角，所以在(c)式前面加上负号

tg2α1= [2εb-( εa+ εc)]/( εa- εc)

当tg2α1 ＞0时，则由oa逆时针转到σ1的方向；若tg2α1 ＜0时，则由oa顺时针转到σ1的方向。

acL222accaHb22c2btg21aac2）三片等角应变花

三个应变片依次相隔60°，又称为60° 应变花，常见的组合形式为等边三角形。这里Δα21 ＝60°， Δα31=120°。将角度值代入(4)式，得到

εaLHcos2α11εbLH2cos2α11εLHcos2α1c23sin2α123sin2α12由上式可解得

1abcL3  2 三片等角应变花

cb2 HaL3 

cbtg21

3aL

同理，在计算tg2α1时引入负号，即为

tg21bc31aabc3当tg2α1 ＞0时，则由oa逆时针转到σ1的方向；若tg2α1 ＜0时，转向则相反。 3）主应力大小和主方向

采用上述两种应变花测量时，主应力大小和方向统一由下式计算 式中A、B、C见列表。

  1  E E 2 2 应变花类型与系数

ABC2111Carctg12B应变花类型 A B C 45° (εa+ εc)/2 (εa-εc)/2 [2εb-(εa+ εc)]/2 60° (εa+ εb+εc)/3 εa - (εa+ εb+εc)/3 (εb - εc)/ 3上述两种应变花测量时，45°直角应变花的计算公式比较简单，但是误差计算表明：因应变片粘贴的位置角度不准确而引起的计算主应力值的误差比60°三角形应变花大。所以，从减少实验结果误差的方面考虑，采用60°三角形应变花较为有利。