初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型

等腰直角三角形中的常用模型

【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

①边、角方面的特征:两直角边相等，两锐角相等（都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形：

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点

（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

DE AAA

ED

BBBCCCE

(1)(2)(3)

1-1：如图：RtΔABC中，∠BAC=90º,AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F。 （1）求证：BE-CF=EF;

（2）若D在BC的延长线上(如图(2)），(1）中的结论还成立吗？若不成立,请写出新的结论并证明。 EAA EF

BCBDC D(2)(1)F

变式1：等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ,QE⊥AB于E，连CQ交AB于M。 （1）求证：M为BE的中点

（2）若PC=2PB，求

PC的值 MB

（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形:

F ADA

FE

D

BBC C (1)(2)E1—2:如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC,点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，交AC于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F。 （1）求证：BG=AF；

（2)若D在BC的延长线上(如图（2)），（1)中的结论还成立吗?若不成立，请写出新的结论并证明.

G EAA

G

E F

BCBDDC (2)(1) F

变式1：如图，在Rt△ABC中,∠ACB=45º，∠BAC=90º，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD

于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证:BC垂直且平分DE.

变式2:等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点,AF⊥BD于点E，交

BC于点F,连接DF，求证：∠1=∠2。

变式3:等腰Rt△ABC中,AC=AB，∠BAC＝90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G,交BC于点F连接DF,求证：∠1=∠2。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形 EAA

D

E

F

BCBCFD(2)(1)2-1:连接AD，求证：∠ADB＝45°。

变式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一点，点D为BE延长线上

一点，且∠ADC＝135°求证：BD⊥DC。

变式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD

⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于点M,

BMAM（1)求ABBC的值;（2）求BCAB的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点

（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形： E AAADE DDCBBCB C(3)(1)(2)

3—1:如图1,△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠BEF=90º,连接AF、CF,M是AF的中点,连ME，将△BEF绕点B旋转。猜想CF与EM的数量关系并证明;

B E FM

AC 图（1）

（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：

AAEA

D

ED D CBB BCC(1)(2)(3)E

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形： AAAD

FD EF DEFCC BCBB(2)(1)(3)E

如图,△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BED=90º。把DE平移到CF，使E与C重合，连接AE、AF，则△AEB与△AFC全等(关键是利用平行证明∠ABE=∠ACF)

E

3—2:如图:两个直角三角形ABC、ADE的顶点A重合,P是线段BD的中点，连PC、PE. （1）如图1，若∠BAC=∠DAE=45°，当A、C、D在同一直线上时，线段PC、PE的关系是 ；

(2)如图2、3，将⊿BAC绕A旋转α度，(1)中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。 EEE

BB BC PPPC

DADADAC 图3图2图1

【经典模型】

在△BAC中,AB=AC，且∠BAC=90°有一点D满足∠BDC=90°： （1） 当点D在边BC下面时，试探究DB、DA和DC的大小关系? （2） 当点D在边BC上面时，试探究DB、DA和DC的大小关系？ A

A

D CB

CB

D

推广：

（1） △ABC为等边三角形，D为BC下面一点且∠BDC=120°，此时呢？ （2） △ABC为等腰三角形，D为BC下面一点且∠BDC=60°，此时又如何？ AA BC

BC DD

【猜想】在运算中是否发现

1DB，

1DC,

1DA有某种数量上的对应关系?

【巩固练习】

1．如图，在RtABC中，ABAC,∠BAC90，D、E为BC上两点，∠DAE45,F为ABC外一点，且FB⊥BC，FAAE,则下列结论:①CEBF；②BDCEDE;③SADEA、①②③④ C、①③④

2221ADEF；④CE2BE22AE2，其中正确的是 4

A

B、①②④ D、②③

F

C B D E

2．已知：Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC于点M、N。 (1)若∠MON=90°（如图1），求证：①OM=ON;②BM2+CN2=MN2；

A

M

N

BCO

图1

（2）若∠MON=45°(如图2），求证：①AM+MN=CN；

A

N

M

CB O 图2

3。如图,在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4,4）。 （1）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°,连OD，求∠AOD的度数；

（2）过A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式

AMFM1是

OF否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.

4.在△ABC和△DCE中，AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠EDC=90°,点E在AB上,连AD，DF⊥AC于点F。试探索AE、AF、AC的数量关系；并求出∠DAC的度数。 AD

FE

B C(2)

5．如图：等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC=BC，DE=BD,∠ACB＝∠EDB＝90°，E为AB是一点,P为AE的中点.

⑴连接PC，PD；则PC，PD的位置关系是 ;数量关系是 ；并证明你的结论。

⑵当E在线段AB上变化时，其它条件不变，作EF⊥BC于F,连接PF，试判断△PCF的形状;在点E运动过程中，△PCF是否可为等边三角形？若可以,试求△ACB与△EDB的两直角边之比。

6.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； (2）如图1，若CB=a，CE=2a,求BM，ME的长; （3）如图2,当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

7.如图，在平面直角坐标系中，A (4，0),B (0，4）。点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。 （1）求证：BN平分∠OBA； （2）求

OMMN的值；

BN

（3）若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

8.已知：PA=2，PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线AB的两侧.

（1）如图,当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小。

D

A P

B