高中数学 3.3一元二次不等式(组)与简单线性规划问题教学案 新人教版必修5

【教学目标】

1． 了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2． 理解二元一次不等式的几何意义

3． 会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合 【教学重难点】

教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；

2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法

教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法

【教学过程】

一、 设置情境，引入新课

一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？

问题1.那么信贷部如何分配资金呢？ 问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？ 二、合作探究，得出概念 （1）设用于企业资金贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金y元，由于资金总数为25000000元，得到

xy25000000①

由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以

12%x10%y30000即12x10y3000000。 ②

最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是x0,y0③

xy2500000012x10y300000将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：

x0y0二元一次不等式组：

二元一次不等式（组）的解集的意义：

（2）二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式xy6 表示的图形

- 1 - / 15

word

①边界的概念

②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求 ③判定方法（1）特殊点法（2）公式法

三、 典型例题

例题1画出不等式2x+y－6＜0表示的平面区域。 解：先画直线2x+y－6＝0（画成虚线）。 取原点（0，0），代入2x+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，

∴原点在2x+y－6＜0表示的平面区域内，不等式2x+y－6＜0表示的区域如图：

xy50例题2 用平面区域表示不等式组xy0的解集

x3解：

不等式x－y+5≥0表示直线x－y+5＝0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：

例题3：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每X钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

- 2 - / 15

word

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少X可得所需三种规格成品，且使所用钢板X数量少？

答案:：设需截第一种钢板xX，第二种钢板yX，则

且x，y都是整数．

例题4

某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表： 产品品种 劳动力（个） 3 10 煤（吨） 9 4 电（千瓦） 4 5

A产品 B产品 已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域。

答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则

平面区域如图（阴影部分）

四、反馈测评

1． 不等式x2y60表示的区域在直线x2y60的（ ）

A 右上方 B 右下方 C 左上方 D 左下方

2．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）

xy1≥0xy1≤0Ａ．Ｂ．

x2y2≥0x2y2≤0Ｃ．yxy1≥0xy1≤0Ｄ．

x2y2≤0x2y2≥0- 3 - / 15 21O1xword

2x3y122x3y63 画出二元一次不等式组所表示的平面区域

x0y04 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道

工序。桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆。如果一个工人每天和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中划出相应的平面区域。 答案：1.(1)D；(2) Ａ； 五 课堂小结

1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生实际背景

2理解二元一次不等式（组）的意义，掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法 六 作业

课本P93 习题3.3 A组 1、2题

3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域

课前预习学案

一、预习目标

1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2理解二元一次不等式的几何意义

3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合

二、预习内容

1.阅读课本引例，回答下列问题

①设用于企业资金贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金y元，如何用这两个变量表示引例中的三个数字条件 ②x,y有条件吗？

③二元一次不等式，二元一次不等式组

④二元一次不等式（组）的解集及几何意义

2．思考：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？

xy6 表示的图形，你能得到什么结论？

- 4 - / 15

word 三、总结结论和提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还那些收获和疑惑，请把它填在下面的表格中 收获 课内探究学案 一、 学习目标

1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2理解二元一次不等式的几何意义

3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合

二、学习重难点

学习重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；

2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法

学习难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法

三、学习过程

（一）自主学习

大家预习课本P82页，并回答以下几个问题： 问题1.那么信贷部如何分配资金呢？

问题2 .用什么不等式模型来刻画它们呢？

(二) 合作探究，得出概念

二元一次不等式（组）的几何意义 研究：二元一次不等式xy6 表示的图形

通过探究上述问题，你能回答下面的问题吗？

① 边界的概念

② 二元一次不等式（组）的几何意义，画法的要求？

③ 判定方法（1）特殊点法：一般选择哪一个点 （2）公式法

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疑惑 word

三、典型例题

例1、画出下列不等式表示的区域 (1) (xy)(xy1)0；

解析：原不等式可化为xy0xy0 或xy10xy10

例2某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 /班 教师年薪/万元 2/人 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的条件。

分析：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应在20-30之间，根据题意可列出：

变式训练. 画出下列不等式表示的区域 (1) (xy)(xy1)0；

（2）（1）yx1； （2）．xy； （3）．xy 答案：

反馈测评（1）画出不等式表示的平面区域

①xy；②xy

x4y33x5y25 x1③四、课堂小结

1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2理解二元一次不等式的几何意义

3会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合

- 6 - / 15

word

课后练习与提高 （1）不等式

表示的区域在直线

的 .

（2）画出不等式组表示的平面区域.

（3）用平面区域表示不等式组的解集

（4）某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.

（5）某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.

3．3．2简单的线性规划问题

【教学目标】

4． 了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基

本概念。

5． 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 【教学重难点】

教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题

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word

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 一 复习提问

1、二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

二 设置情境，引入新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

x2y84x164y12………………………………………………x0y0……………….（1）

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：

当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？

把z=2x+3y变形为y2z2zx，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z3333变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给

28zx），这说明，截距可以由平3332z面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线yx与不等式组（1）的区域的交点

33z满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线

32zyx与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经

33定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（y- 8 - / 15

word

过点P时截距

z最大。 32zx金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）33（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现y时，截距

z14的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品233件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 3、 变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有

应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

三、典型分析

例题1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，1kg食物A含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费28元；而1kg食物B含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

分析:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.

解：设每天食用xkg食物A,ykg食物B，总成本为z，那么

0.105x0.105y0.0750.07x0.14y0.06（1），目标函数为z28x21y 0.14x0.07y0.06x0,y0- 9 - / 15

word

7x7y57x14y6二元一次不等式组（1）等价于（2）

14x7y6x0,y0

做出二元一次不等式组（2）所表示的平面区域，即可行域 考虑考虑z=28x+21y,将它变形为y线. 是直线在y轴上的截距，当

4z4x ,这是斜率为 、随z变化的一族平行直3213z取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在21满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值. 由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距

z最小，即z最小. 21解方程组 7x7y51414

得点M( , )，因此，当x , y 时，z=28x+21y取最

777714x7y6小值，最小值为16.

由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.

例题2：在上一节例题3中，各截这两种钢板多少X可得所需A 、B、C三种规格成品，

且使所用钢板X数最少？

解：设需截第一种钢板xX，第二种钢板yX，则

且x，y都是整数．

做出不等式组表示的平面区域，即可行域，由图可知，当直线yxz经过可行域上的点M时，即z最小。解方程组x3y27

2xy15- 10 - / 15

word 得M的坐标为x18391839。由于x都不是整数，此问题中最优解x,y,y,y55551839,不是最优解。经过可行域内整点且使截距z最小55中横纵坐标都必须是整数，所以点的直线是yx12，经过的整点是B3,9和C4,8它们是最优解。所以Zmin =12 答：略 五、反馈测评

yx求z2xy的最大值，使x,y满足约束条件xy1

y1

5x3y152．求z3x5y的最大值和最小值，使x,y满足约束条件yx1

x5y3五 课堂小结

1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 六 作业

课本P93 习题3.3 A组 3、4题

3．3．2二元一次不等式（组）与平面区域

课前预习学案

一、预习目标

1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 二、预习内容

1.阅读课本引例，回答下列问题 线性规划的有关概念：

①线性约束条件 ②线性目标函数： ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

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word 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解

2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？

课内探究学案

一、 学习目标

1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 二、学习重难点

学习重点：教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点：准确求得线性规划问题的最优解 三、学习过程 （一）自主学习

大家预习课本P87页，并回答以下几个问题： 问题1. ①线性约束条件 ②线性目标函数： ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

(二) 合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤

（三）典型例题

yx,例1、①求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件xy1,

y1.解析：注意可行域的准确画出

y321Ox-y=011B(,)22x12-2-1A(2,-1)C(-1,-1)-1x+y-1=02x+y=0- 12 - / 15

word ②求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约

y5x3y15,束条件yx1,

x5y3.解析：注意可行域的准确性

不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（

x-y+1=09173x+5y=0(,)A88x-5y-3=01C-1Ox3-1B5x+3y-15=05917,）的直线所对应的t最大. 88所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.

zmax=3×

917+5×=14 88例2. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运

输效果见表．

效果 种类 粮食 石油 方式 轮船运输量／t 飞机运输量／t 300 250 150 100

现在要在一天内运输至少2 000t粮食和1 500t石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？

答案：解：设需安排x艘轮船和y架飞机，则

300x150y≥2 000，6x3y≥40，250x100y≥1 500，5x2y≥30， 即 x≥0，x≥0，y≥0．y≥0．目标函数为zxy．

作出可行域，如图所示．

作出在一组平行直线xyt（t为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线

y 5x2y300 x 200，直线方程6x3y400和y0的交点A，3为：xy20． 3由于

20200不是不是整数，而最优解(x，y)中x，y必须都是整数，所以，可行域内点，33- 13 - / 15

word 最优解．

经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是

(7，0)，

即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．

xy2变式训练. 1、求zxy的最大值、最小值，使x、y满足条件x0

y0x4y32、设z2xy，式中变量x、y满足3x5y25

x1反馈测评 给出下面的线性规划问题：求z3x5y的最大值和最小值，使x，y满足约束

5x3y≤15，条件y≤x1，要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个

x5y≤3．不等式，那么新的约束条件是．

xy3≤0，答案：y≤x1，

x5y≤3．

五、课堂小结

1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。 2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 四 课后练习与提高

某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务．该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？

解：设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据．

车辆数 运物吨数 费用 A型车 x 24x 320x B型车 y 30y 504y 限量 10 180 z 由表可知x，y满足的线性条件： - 14 - / 15

word

xy≤1024x30y≥180，且z320x504y． 0≤x≤80≤y≤4作出线性区域，如图所示，可知当直线z320x504y过A(7.5，0)时，z最小，但A(7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z320x504y可知，(5，2)是最优解．这时

zmin320550422 608（元），即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．

若只用A型车，成本费为83202560（元），只用B型车，成本费为

180（元）． 504302430

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