球的体积与表面积教案设计(参考)

一、教材分析

本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用．

二、教学目标? 知识与技能

（1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识．

（2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法

4通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式V=R33和面积公式S=4R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想．

情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心．

三、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算．

四、学法和教学用具?

学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤．

教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识．

创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道，

只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到

水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌

鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了

小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们

五、教学设计

知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考．

【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何 用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式．

探究新知 1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积 之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形 状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．

步骤：

第一步：分割

首先，把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割

成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为Rn，底

面是“小圆片”的底面，如下图

? ?

所以，第i层“小圆片”下底面的半径和体积：

ri=R2-[R(i-1)]2,i=1,2,n

n.?

V2RR3i-1i ≈rin=n[1-(n)2],i=1,2,n

【设计意图】利用分割原理，通过对小圆片体积的计算，推导出球的体积公式，使学生知道知识的来龙去脉，提升学生的学习兴趣与信心，以及对新知识的探索发现能力．

【注意】

由于学生的学习水平不一致，所以在实际教学中，需根据学生的具体学习能力而确定是否适合公式推到过程的学习

第二步：求和 ?V半球=V1+V2++Vn 3122(n-1)2? R ≈{1+[1-2]+[1-2]++[1-]}nnnn2 R312+22++(n-1)2 =[n-]212(n1)nn 222 = R3n[n-1(n-1)n(2n-1)]n26(n1)n(2n1)6 【设计意图】透过教师的讲解，让学生初步感受“分割”、“近似替代”、“取极限”等思想，渗透微积分思想． =R3[1-1(n-1)(2n-1)]n26 =R3[1-1(1-1)(2-1)]V半球6nn 第三步：化为准确的和? 1→0时， ? 当n→∞时，即n? 2V半球=R33 4得到定理：半径是Ｒ的球的体积 V球=R33 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径(钢的密度是7.9g/cm3) ． 2．球的表面积： 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半 径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。简单讲述中国魏晋时代的刘徽与“割圆术”．（不再具体证明） 半径为R的球的表面积为?S=4R2?? 【思考】：球的表面积推导过程是以什么量作为等量变换的？

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是??????????． （答案50元）

运用新知

典例分析:课本P27例4

巩固深化、反馈矫正

（1）方形的内切球和外接球的体积的比为?????????? ，表面积比为??????????．

（2）球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．? （答案：2500πcm2）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径．

六、课堂小结：

1．了解球的体积、表面积推导的基本思路；? 2．了解球的体积公式和表面积公式(不要求记忆公式)；

【设计意图】本题较易，主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算．解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征．学生来完成，有利于培养学生问题解决的能力．在题目讲解过程中，可利用几何画板等多媒体工具将立体几何图形直观表示出来，给学生以直观感受，为加强学生的立体几何思维和空间想象能力提供基础．

【设计意图】让学生完成

3．计算组合体的体积表面积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积表面积．

作业： P29B（1）、P37B（2）

知识小结，可以逐步提高学生自我获取知识的能力．最后教师完善，使知识更系统化．