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尖子生数学辅导(十四)

来源：意榕旅游网

尖子生数学辅导（十四）

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B，D两点，且分别交AB，BC于点E，F. （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r.

⌒ 2.如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在BC上运动. 过点D作DE∥BC，交

AB的延长线于点E，连接AD，BD. （1）求证：∠ADB=∠E；（2）求证：AD2ACAE；

（3）请问：当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE？请你利用图②进行探索和证明.

尖子生数学辅导（十四）答案

1.解：(1)证明：连接OD，∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ODB＝∠DBC， ∴OD∥BC. 又∠C＝90°，∴OD⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ODAO∴， BCABr10r15∴，解得r＝. 6104

2. 解：∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠E，

⌒ ∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，

∴∠ADB=∠C，又∠ABC=∠C， ∴∠ADB=∠E；

（2）∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE， ∴△ADB∽△AED， ADAB∴，即AD2=AB·AE， AEAD∵∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∴AD2=AC·AE.

（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE，如图②. ∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，

⌒ 所对的圆周角，∠EAD是BD⌒ 所对的圆周角，且CD=BD， ∵∠DBC是CD

∴∠DBC=∠EAD， ∴∠EDB=∠EAD，又∠DEB=∠AED， ∴△DBE∽△ADE.

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