必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和。 （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 注意：

1、kZ 2、是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与

8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角为 。

若θ角的终边与8π/5的终边相同

则有：θ=2kπ+8π/5 (k为整数)

所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5 当：0≤kπ/2+2π/5≤2π

有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角 k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角

（2）若和是终边相同的角。那么在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210； （2）148437．

1260． 例3、求，使与900角的终边相同，且180，2、终边在坐标轴上的点：

终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ 终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ 3、终边共线且反向的角：

终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ 终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ 4、终边互相对称的角：

若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k 若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90

0，m360(k,mZ)则角与角的中变得位置关例1、若k36系是（ ）。

A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称 例2、将下列各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式 （1）

19 （2）315 3例3、设集合Ax|k36060xk360300,kZ,

Bx|k360210xk360,kZ,求AB,AB.

二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

B C l=2r 2rad 如图：AOB=1rad ，AOC=2rad ， 周角=2rad

1rad r r

注意：

o A o A

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2、角的弧度数的绝对值 l（l为弧长，r为半径） r3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。 2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad

∴ 1=

180rad0.01745rad

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把6730'化成弧度 ∴

3例2、 把rad化成度

5例3、将下列各角从弧度化成角度

（1）

3 rad （2）2.1 rad? （3） rad 365例4、用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合 2终边在y轴上的角的

集合

三、弧长公式和扇形面积公式

lr ； S11lRr2 22例1、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .

例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为1，求这连个角的大小分别为 。

例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴

4 ⑵ 165 3例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度是多少度扇 形的面积是多少

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大 .

例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大最大面积是多少

（七）任意角的三角函数（定义）

1． 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离r2．比值

xy22x2y20

yxy叫做的正弦 记作： sin；比值叫做的余弦 记作：

rrrxcos

r比值

xyy叫做的正切 记作： tan；比值叫做的余切 记作：

yxxcotx yrrr比值叫做的正割 记作： sec；比值叫做的余割 记作：

yxxcscr y注意突出几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④r0，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确

定

⑤定义域：

4. 是第二象限角，P（x，

1045三角函数在各象限的符号：

2x,则4）为其终边上一点，且cos=sin=

.

sinsincoscos 2 .

. 已知角的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则

例8、 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 例9、 求下列各角的六个三角函数值

3 ⑴ 0 ⑵  ⑶ ⑷

22例10、 ⑴ 已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值

⑵已知角的终边经过P(4a,3a),(a0)求2sin+