《概率论与数理统计》复习答案

一、单项选择题

率论复习

1. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人取到黄球的概率是( B ).

A.

15 B.

25 C.

35 D.

452. 设A,B为随机事件,且P(A)0.5,P(B)0.6,P(BA)0.8.则P(AUB)( C ).

A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8

3. 设随机变量X的分布函数为FX(x),则Y5X3的分布函数FY(y)为( C ). A.FX(5y3) B.5FX(y)3

C.FX1y3 D.FX(y)3

554. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为

则P{XY}( A ).

A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8

5. 设随机变量X与Y相互,且D(X)2,D(Y)1,则D(X2Y3)( D ).

A.0 B.1 C.4 D. 6 6. 设X~N(,2),,2未知,取样本X1,X2,,Xn,记X,Sn2分别为样本均值和样本方差.检验:H0:2,H1:2,应取检验统计量2( C ).

(n1)S2(n1)S2(n1)S2(n1)S2A. B. C. D.

82467. 在10个乒乓球中,有8个白球,2个黄球,从中任意抽取3个的必然事件是( B ). A. 三个都是白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个黄球 D. 三个都是黄球

8. 设A,B为随机事件,且BA,则下列式子正确的是( A ).

A.P(AUB)P(A) B.P(AB)P(A) C.P(BA)P(B) D.P(BA)P(B)P(A) 9. 设随机变量X~N(1, 4),已知标准正态分布函数值(1)0.8413,为使P{Xa}0.8413,则常数a( C ).

A.0 B.1 C.2 D.3 10. 设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),则F(x,)( B ).

A.0 B.FX(x) 11. 二维随机变量(X,Y)的分布律为

C.FY(y) D.1

设PijP{Xi,Yj}(i,j0,1),则下列各式中错误的是( D ). ．．

A.P00P01 B.P10P11 C.P00P11 D.P10P01 12. 设X~P(5),Y~B(16,0.5),则E(2XY2)( A ).

A.0 B.0.1 C.0.2 D. 1 13. 在假设检验问题中，犯第一类错误的概率的意义是( C ).

A.在H0不成立的条件下,经检验H0被拒绝的概率 B.在H0不成立的条件下,经检验H0被接受的概率

C.在H0成立的条件下,经检验H0被拒绝的概率 D.在H0成立的条件下,经检验H0被接受的概率

14. 设X和Y是方差存在的随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y),则( B ) A、D(XY)=D(X) D(Y) B、 D(X+Y)=D(X) + D(Y) C、 X和Y 相互 D、 X和Y相互不 15. 若X～t(n)那么

1～（ B ） X2A、F(1,n)； B、F(n,1)； C、2(n)； D、t(n)

16. 设总体X服从正态分布N,2,X1,X2,L,Xn是来自X的样本，2的无偏估计量是（ B ）

221n1n1n2XiX； C、Xi； D、X2 A、XiX； B、ni1n1i1ni121)1(x2e17、设随机变量X的概率密度为f(x)，则 （ B ） 2A、X服从指数分布 B、EX1 C、DX0 D、P(X0)0.5 18、设X服从N0，2，则服从自由度为n1的t分布的随机变量是（ B ） A、

nXnXnXnX B、 C、2 D、2 SSSS19、设总体X~N,2，其中已知，2未知，X1,X2,X3取自总体X的一个样本，则

下

列

选

项

中

不

是

统

计

量

的

是

（ B ）

A、（X1X2X3） B、

13122(X12X2X32)

C、X12 D、max{X1,X2,X3}

20、设随机变量~N0,1分布，则P(0)等于 （ C ） A、0 B、0.8413 C、0.5 D、无法判断 21、已知随机变量~Bn,p，且E3,D2，则n,p的值分别为 （ D ） A、n12,p B、n12,p C、n9,p D、n9,p

22. 设X1,X2,X3是来自总体X的样本，EX=μ，则（ D ）是参数μ的最有效估计。

111122ˆ2X1X2X3 X1X2X3 （B）632555111111ˆ3X1X2X3 （D）ˆ4X1X2X3 （C）442333ˆ1（A）1434231323. 已知随机变量服从二项分布，且2.4，D1.44， 则二项分布的参数n，p的值为（ B ）

A、n4，p0.6 B、n6，p0.4 C、n8，p0.3 D、n24，p0.1

二．填空

3451.设P{X0,Y0},P{X0}P{Y0}，则P{max{X,Y}0}

7772.已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AUB)0.6,则P(AB)＝ 0.3 ；3.X~(),且P(X1)P(X2),则P(X0) e2 ；

4.设X表示10次重复射击命中目标的次数,每次射中的概率为0.4,则EX2

18.4 ；

5.设随机变量X和Y的方差分别为25和36，若相关系数为0.4，

则D(X－Y)＝ 37 ；

6.若X和Y相互,且X~N(1,4),Y~N(0,3),则2X3Y~_ N(2,43)__；

7. 用（X,Y）的联合分布函数F(x,y)表示

P{aXb,Yc} F(b,c)F(a,c)P{aXb,Yc}P{Xa,Yc} ；

8. 已知随机变量X的均值12，标准差3，试用切比雪夫不等式估计：P6X18

3 ； 421n9.设X~N(,)，X1,X2,L,Xn是样本，的矩估计量是 (XiX)2 ；

ni12

10. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，令Y(X1X2)2(X3X4)2, 则当

1C 时CY～2(2)

811、“A、B、C三个事件中至少发生了两个”，可以表示为 ABBCAC 。 12、随机变量的分布函数F(x)是事件 {x} 的概率。

13、某校一次英语测验，及格率80%，则一个班（50人）中，不及格的人数X～ B(50,0.2) 分布，EX=10 DX= 8 。

1n14、设X1，X2，L，Xn为总体X的一个样本，若XXi且EX，则EX DX2，

ni1____，DX ___

2n___。

15、设随机变量X的数学期望为EXu、方差DX2，则由切比雪夫不等式有

PXu2__1__。 416、“A、B、C三个事件中恰好有一个发生”，可以表示为 ABCABCABC 。 17、设X服从参数为的泊松分布，且PX1PX2，则=___2__。

18.设X的期望和方差分别为和2，则由切比雪夫不等式可估计P(X2)

3 。 421nS(XiX)2为样本方19.设x1,x2,,xn是取自总体X~N(,)的一个样本，n1i12差，则

(n1)S22~ 2(n1) 20. 已知PA=0.4,PB=0.3，则当A、B互不相容时，PAB= 0.7,，PAB=

0 。当A、B相互时，PAB= 0.58 ，PAB= 0.12 。

三、计算题

1.设P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8,求P(AUB)与P(BA).

解：P(AUB)P(A)P(B)P(AB)

1.1P(A)P(B|A)1.10.40.7, P(BA)P(B)P(AB)0.60.40.2.

2.有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份, 求先抽到的一份是女生表的概率p.

解：记Hi={报名表是第i个地区考生}(i1,2,3),Aj={第j次抽到的报名表是男生}(j1,2),由题意知

P(Hi)13(i1,2,3),P(A1H1), 31075, P(A1H2),P(A1H3)1525由全概率公式,知

137129pP(A1)P(Hi)P(A1Hi).

31015590i13x1,0,0.4,1x1,3.设随机变量X的分布函数为F(x)试求:(1)X的分布律;

0.8,1x3,x3,1,(2)P{X2|X1}.

解：(1)X的所有可能取值为1, 1, 3,

P{X1}F(1)F(10)0.400.4, P{X1}F(1)F(10)0.80.40.4, P{X3}F(3)F(30)10.80.2,

从而X的分布律为

(2)P{X2|X1}1 1 3 P(X1)2.

P(X1)34.一大批种子,良种占20%,从中任选5000粒.试计算其良种率与20%之差小于1%的

概率. (1.77)0.9616.

p),其中n5000,p0.2,解：设X表示在任选5000粒种子中良种粒数,则X~B(n，则

E(X)np1000，D(X)np(1p)800,

由棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理得,良种率与20%之差小于1%的概率为

P(X100080050800)(50800)(1.77)0.9616.

2).已知它们5.假设甲、乙两厂生产同样的灯泡,且其寿命X~N(1,12),Y~N(2,2寿命的标准差分别为84小时和96小时,现从两厂生产的灯泡中各取60只,测得平均

寿命甲厂为1295小时,乙厂为1230小时,能否认为两厂生产的灯泡寿命无显着差异(0.05)?(1.96)0.975．

解：建立假设H0:12,H1:12.

在H0为真时,统计量UXY21n122~N(0, 1).

n2对于给定的显着性水平0.05,查标准正态分布表,可得u2u0.0251.96,从而拒绝域为|u|1.96.

又由x1295,y1230,184,296,n1n260,得

|u|xy21n1223.951.96,

n2故应拒绝H0,即认为此制造厂家的说法不可靠.

6.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

证明:X和Y相互.

证： 由联合分布律可求得X和Y的边缘分布律分别为

和

直接验证可知对任何i,j1,2,3,有 成立,所以X和Y相互.

-1 0 2 0.4 0.2 0.4 0 1 2 0.25 0.25 0.5 7.设随机变量X的分布律为 12 32求:(1)常数a;(2)P{X};(3)P{1X};(4)分布函数F(x).

1111,得a;

32611(2) P{X}P{X0};

2331(3) P{1X}P{X1}a;

26解：(1) 由a(4) 由于X的所有可能取值为0,1,2故应分情况讨论: 当x0时,F(x)P{Xx}0;

当0x1时,

F(x)P{Xx}P{X0}1; 31; 2当1x2时,

F(x)P{Xx}P{X0}P{X1}当x2时,

F(x)P{Xx}P{X0}P{X1}P{X2}1.

从而

0，x0，1，0x1，3F(x)

1，1x2，21，x2.8.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为X(%):3.25,3.27, 3.24,3.26,3.24，假设

镍含量的测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)? t0.005(4)4.6041

解：检验假设 H0:03.25,H1:03.25.

X0~t(n1). 当H0成立时,统计量TS/n又0.05时,查表得t0.005(4)4.6041.于是H0的拒绝域为 W(,4.6041)(4.6041,).

经计算x3.252,s20.00017,且n5.于是

x03.2523.25 t0.345W,

sn0.00017/5所以接受H0,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.

9.设有三只外形完全相同的盒子，甲盒中有14个黑球，6个白球，乙盒中有5个黑球，25个白球，丙盒中有8个黑球42个白球，现在从三个盒子中 任取一盒，再从中任取一球；问（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是从乙盒来的概率是多少？

解：设B表示黑球，Ai表示从第i个盒子取球（i=1,2,3）则 显然，A1,A2,A3构成样本空间的一个划分， 1）17P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A2)1114770.342231036325225

（2）P(A2|B)P(A2)P(B|A2)1/180.1623

P(B)77225A,1x110.设随机变量X的密度函数为f(x)1x2

0,else1求 :(1)常数A; (2) P{|X|}; (3)分布函数F(x)；（4）E(X),D(X)；

2解：（1）1f(x)dx11A1x2dx2Aarcsinx|10A

111111(2) P(X)21f(x)dx21dx

231x2220,x111(3)F(x)arcsinx,1x1

21,x1（4）EXxf(x)dx0

11.某电站供应10000户居民用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9， 若每户用电

0.2千瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证居民用电。

((1.65)0.95)

解：设表示用电的用户数，需要至少有k千瓦发电量，则~b(10000,0.9)，

E100000.99000,D100000.90.1900，

由中心极限定理得：P9000900k0.95， 0.2即P5k90000.95 900即需要供应1809.9（或1810）千瓦的电才能保证供应。

12.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

求：（1） 常数c；（2）求边缘密度函数fX(x),fY(y)；（3）X与Y是否

解：（1）1f(x,y)dxdydxcdy1x2114c 33c -------------------3分

4313dy(1x2),1x1x2, （2）fX(x)440,else（3）f(x,y)fX(x)fY(y)不

13.为了在正常条件下检验一种杂交作物的两种处理方案，在同一地块随机选择8块地段。

在各试验地段，按二种方案种植作物，这8块地段的单位面积产量是：一号方案：86,87,56,93,84,93,75,79；二号方案：80,79,58,91,77,82,74,66 假设这二种方案的产量均服从正态分布，问：（1）这二种方案的方差有无明显差异？（2）这二种方案的均值有无明显差异？（均取0.05）。

F0.025(7,7)4.99；F0.025(8,8)4.43；t0.025142.1448；t0.025162.1199

解： 在0.05下检验：

设两种产量分别为x,y，且设x~N(1,12),y~N(2,22) (1)先在0.05下检验：

2H0:122,2； H1:122s12取检验统计量为：F2，

s2则拒绝域为：CFF(n11,n21)或FF(n11,n21)

122已知n1n28,0.05，经计算得：

s12145.69x81.625,y75.875,s145.69,s102.125,F21.4266---4分

s2102.1252122F0.025(7,7)4.99,F0.975(7,7)1F0.025(7,7)0.002，

由于检验统计量的观察值1.4266没有落在拒绝域中,故接受原假设H0,即可以认为两个总体的方差没有显着差异； (1)再在0.05下检验：

2(n11)s12(n21)s2xy2取检验统计量为：t，其中sw；

nn21112swn1n2则拒绝域为：C|t|t(n1n22)；t0.025142.1448

2经计算得：sw11.1315，|t|1.03312.1448t0.025(14) 故接受H0,即认为两个总体的均值没有显着差异-

14.已知P(A)a,P(B)b，P(AB)0.7a，其中ab0且b0.3a，求：P(AB)和P(AB)。

解 P(AB)P(B)P(AB)b0.7a， P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)，

P(AB)0.3a，

15.某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量（株）之比为7:3:5，甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%，24%，18%，若从该公司收购的药材中任取一株，如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？ 解 设A1,A2,A3分别表示甲，乙，丙地药材，B表示优等品， 则根据贝叶斯公式有

a(1x2),1x116.设连续型随机变量X的概率密度函数f(x)，求：⑴ 常数；

其它0,⑵ P(X)； ⑶ X的分布函数F(x)； ⑷ 期望EX，方差DX。

12解（1）f(x)dx1(1x2)dx(xx3)（2）P(X)1(1x2)dx0311（3）F(x)(xx3)3241111313

1， 14

1213245 32x11x1 x1（4）EXxf(x)dx1x(1x2)dx0（奇函数且积分区间对称）

17.某车间有同型号的机床200部,每部机器开动的概率为0.7,假定各机床开关是相互的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产? 1.650.95

解 设X表示某一时刻机器开动的台数,则X服从B(200,0.7)，设电厂至少要供应x个单位的电能,则由题意,有

xPX0.95.

1534由棣莫弗-拉普拉斯定理,有

x1400.95. 154215140x1.65，x150.69152260.25. 42故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

1x18.设总体X的密度函数为：fx00x1，X1,X2,,Xn是来自总体X其它的样本，求参数的矩估计和最大似然估计。

＋11n解(1) EX= =X

＋2ni1i  的矩估计^11n1Xini1nn2，

(2) L()=(1)Xi

i1n ln L()= n ln(1)+lnXi

i1  的极大似然估计^11nlnXini11

19.某医院从2009年的新生儿中随机抽出20个,测得其平均体重为3160克.样本标准差为300克,而根据2008年资料 ,新生儿平均体重为3140克,问2009年与2008年新生儿体重均值有无显着差异? (设体重服从正态分布,取0.05,t0.025(19)2.09),

解 设X为2009年新生儿的体重, 则由题意可设X~N(,2), 本题是要求在显着性水平0.05下检验假设:

H0:0,H1:0 (其中03140)

x0, 拒绝域为s/n由于2 未知, 故采用t检验, 取检验统计量为tC{|t|t2(n1)}.

已知 n20,x3160,s300, 所以

|t|316031401912.09t0.025(19)， 15300/19故接受H0, 即在显着性水平0.05下认为2009年新生儿的平均体重与2008年的没有显着差异.

20.若事件A,B相互，且P(A)0.4，P(AB)0.6，求P(B),P(AB). 解 QP(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)

21.某厂有4条流水线生产同一批产品，产品分别占总量的15%，20%，30%，35%，且四条流水线中，不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从中任取一件，求取到不合格品是第一条流水线生产的概率是多少？

解 设Ai{第i条流水线生产的产品}，i1,2,3,4，B{取到不合格品}， 则由贝叶斯公式有，

kx,0x122.设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，求：⑴ 常数k； ⑵

其他0,P(x)； ⑶ X的分布函数F(x)；⑷期望、方差EX,DX。 解 （1）f(x)dx0kxdx1，k

317（2）P(X)1xdx

48421143203（3）Fxx21x00x1 x11（4）EXxf(x)dx0xxdx 23.设二维随机向量（X，Y）的概率分布为

求⑴ X，Y性； X ⑶在X=1

ξ=X+|Y|

解（1）

1 0.1 0.2 0.1 0.3 0 0.3 的概率分布。

的条件下，Y的条件分布；⑷的边缘分布，并讨论X，Y的⑵P（X>Y）；

3235Y 0 2 X P -1 1

Y P -1 0 2  X与Y不。

（2）P(XY)P(X1,Y1)P(X1,Y0)0.3 （3）P(Y1X1)P(X1,Y1)0.11

P(X1)0.44 （4）

X+|Y| -1 0 1 2 3 P 24.某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机的个数ξ在6至12个之间的概率。 Φ（2.5）=0.9938。

解～B（120，0.05） ∴np6, =0.9938-0.5 =0.4938

x125.设总体X的密度函数为：f(x,)0,,0x1,npq5.7

, 其中0为未知参数，

其他X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，求参数的矩估计和最大似然估计。

1解 (1) E(X)xf(x,)dxxdx01,

. 2Xˆ令 X,解得矩估计量为 1X1(2) 设x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本，则似然函数为 当0xi1,i1,2,,n时,L()0,并且

lnxidlnLni10, 令 d22n解得的极大似然估计量为 ˆn2lnXii1n2.

26.某种电子元件的寿命X服从正态分布N，2，其中，2均未知，现测得16只元件的寿命的样本平均值x241.5，样本均方差s98.73。问是否有理由认为元件的平均寿命大于240。（0.01，t0.01151.34） 解 由题设X服从N，2，且，2未知

H0：240，H1：240

由于未知，选择T检验法 当H0成立时，有TX240服从tn1 s/n又由0.01，t0.01151.34 而由已知，x241.5，s98.73 则 t241.52400.0611.34

98.73/16故 接受H0，拒绝H1，即 认为元件的平均寿命不大于240。

27. 对一架飞机进行三次快速实验，命中率为0.6，而飞机中一弹、中二弹、中三弹被击落的概率分别为0.2，0.6，1.0，求射击三次后飞机被击落的概率。 0.5328

29.设随机向量（X,Y）的联合分布律为：

X Y -1 1 2 -1  0.05 0.1

0 0.1 0.05 0.1 1 0.2 0.1 0.2

若X,Y相互，求（1）；（2）X,Y的边际分布律；（3）X+Y的分布律；（4）

EXY。

（1）0.1 （2） X -1 0 1 P 0.25 0.25 0.5 Y -1 1 2 P 0.4 0.2 0.4 (3) X+Y -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.1 0.25 0.15 0.2 0.2 (4) 0.15

12230.设A212，求正交矩阵P，使P1AP为对角矩阵.

2211解 EA22222(1)2(5)

121A的特征值为121,35. 对121，求解(EA)x0

故对应的特征向量为：1(1,1,0)T,2(1,0,1)T 正交化 单位化

1112(1,1,0)T,221(1,1,2)T. 126对35，求解 (5EA)x0

特征向量为3(1,1,1)T, 单位化 313(1,1,1)T, 33111263令P()11,2,311263, 210631P1AP1. 531．设三阶实对称矩阵A的秩为2，126是A的二重特征值。1(1,1,0)T,2(2,1,1)T,3(1,2,3)T都是A的属于6的特征向量

（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A。 解：（1）A0得30

设另一个特征向量为(x1,x2,xT3) 121601（2）APP11110060121111 0110000112=42242 22432．设A为三阶实对称矩阵，且满足A2A2E0 已知向量

若

0111, 20,

01是A对应特征值1的特征向量，求An，其中n为自然数。

解:(AE)(A2E)0，特征值1、1、－2，

2，特征向量(1,0,1)T，所以

.