2020-2021学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学(文科)试题及答案解析

洛阳市2020-2021学年第二学期期中考试

高一数学试卷（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin11π的值为（ ）． 33 2

B．A．3 2

C．1 2 D．

1 22．关于平面向量a，b，c，下列结论正确的是（ ）． A．babc，则ac

B．ab0，则a与b中至少有一个为0 C．abcbca D．abab，则a//b

BC4ab，CD5a3b，3．在四边形ABCD中，ABa2b，则四边形ABCD的形状是（ ）．

A．矩形

2B．平行四边形

2 C．梯形 D．无法判断

4．点P为圆xy4与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P，当转过的弧长为点P的坐标为（ ）．

2π时，313A．,2 2

13B．,22



31C．2,2



21D．2,2

5．已知△ABC是边长为2的正三角形，则向量AB在BC上的投影是（ ）． A．1

B．1

C．3

D．3

6．为了得到ysin2x，xR的图象，只需把ysin2xπ． ，xR图像上所有的点（ ）

2π个单位长度 4πC．向左平移个单位长度

2A．向左平移

π个单位长度 4πD．向右平移个单位长度

2B．向右平移

7．函数fxAsinx0,A,R的部分图象如图所示，那么fπ． （ ）

4

A．624 B．

12 C．

232 D．2 8．在△ABC中，若tanAtanB1，则△ABC的形状是（ ）． A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

9．AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，AEEO，则ECED（ A．14

B．34

C．54

D．1516 10．已知函数fxsinxcosx，下列结论正确的是（ ）． A．函数fx的最小正周期为π，最大值为2 B．函数fx的最小正周期为2π，最大值为2 C．函数fx的最小正周期为π，最大值为2 D．函数fx的最小正周期为

π2，最小值为2 11．函数fxsinπxlog3x的零点的个数为（ ）． A．3

B．4

C．5

D．6

12．函数fsincos2，0,π的最小值为（ ）．

A．0

B．12

C．33

D．3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

D．无法判断

． 2

）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．sin15sin75______．

14．已知向量a，b满足abab1，那么ab______． 15．若函数fx2sinx22ππmsinx是偶函数，则m______． 4416．已知点P在圆xy1上，点A的坐标为2,0，O为原点，则AOAP的最大值为______． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

（1）已知向量a1,1，b6,4．若atab，求实数t的值． （2）若向量m，n不共线，向量mn与m2n共线，求实数的值． 18．（本小题满分12分） 已知sincos15，0,π2． （1）求sin，cos的值； （2）求sin2π4的值． 19．（本小题满分12分）

如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，BG12GC．设ABa，AFb．

（1）用a，b分别表示AO及AG； （2）求AG及AD与AG夹角的余弦． 20．（本小题满分12分）

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m1,3，ncosA,sinA，且mn． （1）求角A； （2）若

cosBsinBcosBsinB3，求tanC．

3

21．（本小题满分12分）

已知fx2sinxsinxcosx．

（1）求函数fx的单调递增区间及最大值；

（2）用“五点法”画出函数yfx在区间0,π上的图象． 22．（本小题满分12分） 已知向量acos33xx2x,sin2x，bcos2,sin2，且xπ0,2． （1）求ab及ab；

（2）若fxab2ab的最小值是32，求的值．

洛阳市2020--2021学年第二学期期中考试

高一数学试卷参考答案（文）

一、选择题 1-5 ADCBA 6-10 BDBBA

11-12 CC

二、填空题 13．62

14．3

15．2

16．6

三、解答题

17．（1）tab6t,4t，

∵abta，∴abta2t100．∴t5． （2）∵mn//m2n， ∴存在实数x使mnxm2n． 即xm12xn0． ∵m//n，∴x02x0．∴112．

18．解：（1）∵sincos15， 4

两边平方得：2sincos2425． ∵0,π2，∴sincos0，

∴sincos12sincos75． ∴sin45，cos35． （2）∵sin435，cos5，

∴sin22425，cos22cos21725，

∴sin2π4sin2cosππ4cos2sin4 22sin2cos217250． 19．解：（1）AOAFFOAFABba．

AGABBGAB13BCAB13AO413a3b．

（2）∵ababcos12012，

又AG2243a13b169a2812139ab9b9，

∴AG133． 又AD2ab，AD2．

∴ADAG122ab43a3b3ab4ab234a25abb53． 5∴cosADAG3ADAG51321326． 3即AD与AG夹角的余弦为

51326． 5

20．解：（1）∵mn，∴mn3sinAcosA0， ∴tanA33． ∵A0,π，∴Aπ6． （2）∵

cosBsinBcosBsinB3，

∴1tanB1tanB3，∴tanB2． 又tanCtanπABtanABtanAtanB1tanAtanB

32363812323353．

321．解：（1）fx2sinxsinxcosx2sin2x2sinxcosx

1cos2xsin2x2sin2xπ41．

∴当π22kπ2xπ4π22kπ， 即π8kπx3π8kπ时fx单调递增，

即fx的单调递增区间为π8kπ,3π8kπ．

当且仅当2xπ42kππ2， 即xkπ3π8时，fx取得最大值，fxmax21．（以上kZ）． （2）列表：

2xπππ3π7π4 4 0 2 π 2 4 x 0 π3π5π7π8 8 8 8 π fx 0 1 21 1 12 0 6

22．解：（1）abcos3x3x2xcos2sin2xsin2cos2x． abab2a22abb222cos2x2cosx,

∵x0,π2，∴cosx0，∴ab2cosx．

（2）fxcos2x4cosx2cos2x4cosx12cosx2221，∵x0,π2，∴cosx0,1，

当0时，当且仅当cosx0时，fx取得最小值为1． 与题意不符，舍去．

当01时，当且仅当cosx时，fx取得最小值为221．

∴22132，∴12

． 当1时，当且仅当cosx1时，fx取得最小值为14，

∴1432，∴581，不合题意，舍去． 综上可知，1

2

．

7