几何中线段地最值问题

几何中线段的最值问题

一、 一条线段的最值问题一 （1）借助旋转求最值 2013通州一模

24．已知：AD2，BD4，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；

（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB的大小.

C

D A

B

2011丰台一模

25.已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

C DC

ABC AB

BAD

D

图1 图2 图3

（2）借助直角三角形性质求最值

（1） 勾股定理

（2） 直角三角形斜边中线等于斜边一半

（3） 直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角

形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得．

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实用标准

【例1】 如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C

随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是

【例2】 如图，△ABC 是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A在

x轴上。

② 求出AC边上的高线BD的长度；

③ 当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值； ④ 已知点P是△ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。

2011海淀一模

25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CFkEF，则k = ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．

求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线

段CF长度的最大值．

AAA

D EE D

F

F

CCCBBB

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12图1图2备图实用标准

2010海淀一模

25.已知：△AOB中，ABOB2，△COD中，CDOC3,∠ABO∠DCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

BMPOABMOPANDNCD C

图1 图2

(1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO60，则△PMN的形状是________________，此时

AD________； BCADBC(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO2，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含的式子表示）；

(3) 在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，

作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立

给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，

连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

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实用标准

（3）与圆相关

2014燕山

24.如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90,点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接 AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转(0360)， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若BCDE4，当AE取最大值时，求AF的值．

2013昌平一模

24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．

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实用标准

C1AAA1BA1图1CB图2CC1A1AEB图3P1C1PC

2015房山一模

28．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.

(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；

(2) 若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△C'DE'，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.

①如图2，当α=30°时，连接BC'．证明：EF=BC'；

②如图3，点M为DC中点，点P为线段CE上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？

'' A

E'E'AAEFDαPEFC'DMCDBCBC'CB图1 图2 图3

3. 如图25-1，已知△ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点

A、C分别在DG和DE上，连接AE,BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360°），如图25-2，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BCDE2，在25-2的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

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F

G F

G A A E

B D C

E

B

D

C

实用标准

11．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FM=_______；

EM②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（060），其 他条件不变，判断FM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

EM（2）如图3，若BO=33，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋

转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

CFDEAOBAMEOMBCFD

（4）其他

图1 图2

2011海淀一模

24．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线yax2(a1)x与直线ykx的一个公共点为A(4,8). （1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.

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yyO1xO1x实用标准

朝阳

25．如图，二次函数y=ax+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点． ①直接写出点P所经过的路线长．

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．

y③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．

2

AOBxC二、多线段的最值问题

2013一模

海淀25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2mxmm的顶点为C. (1) 求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

(2) 直线yx2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.

② 若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；

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22实用标准

②抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B'. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得QB'

2012朝阳二模

25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yaxbx4经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请

说明理由.

2012东城一模

25. 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数y顶点为C.

(1) 求此二次函数解析式；

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22QB的值最小，则这个最小值为 . 2y54321-5-4-3-2-1O-1-2-3-412345x32xbxc的图象与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点, 2实用标准 (2) 点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：y3x3交BD于点E，过点B作直线BK∥AD33交直线l于K点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求

DNNMMK和的最小值.

2012海淀二模

24. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22x2x与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴m交于点C.（1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；

（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，

Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐

备用图

2010海淀二模

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A C O x A C O x B y B y 实用标准

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，ODB30，OE为△

BOD的中线，过B、E两点的抛物线yax2（1）求抛物线的解析式；

3xc与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）. 6（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

（3）点P为△ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时，线段AP的长.

（备用图）

2012丰台一模

25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，3）为圆心的圆与y轴相切于 点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的

1．如果 2存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再

到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.

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实用标准

25. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yaxbx4经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请

2说明理由.

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