工程数学作业2答案

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

x12x24x31x1为（C ）．

x2x30的解x ⒈用消元法得2x32x3 A. [1,0,2] B. [7,2,2] C. [11,2,2] D. [11,2,2]

x12x23x32 ⒉线性方程组x1x36（B ）．

3x3x423 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

10013 ⒊向量组0,1,0,2,0的秩为（ A）．

00114 A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

10111001 ⒋设向量组为1,2,3,4，则（B ）是极大无关组．

01110101 A. 1,2 B. 1,2,3 C. 1,2,4 D. 1

⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）．A A. 秩(A)秩(A) B. 秩(A)秩(A) C. 秩(A)秩(A) D. 秩(A)秩(A)1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组1,2,,s线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（D）成立． Ａ．是AB的特征值 Ｂ．是A+B的特征值

Ｃ．是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．ABBA Ｂ．(AB)AB Ｃ．PAP1B Ｄ．PAPB （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当 １ 时，齐次线性方程组 ⒊向量组1,2,3,1,2,0,1,0,0,0,0,0的秩是 ３ ．

⒉向量组10,0,0,21,1,1线性 相关 ．

1

x1x20有非零解．

xx021 ⒋设齐次线性方程组1x12x23x30的系数行列式12解，且系数列向量1,2,3是线性 相关 的．

30，则这个方程组有 无穷多 ⒌向量组11,0,20,1,30,0的极大线性无关组是1,2． ⒍向量组1,2,,s的秩与矩阵

1,2,,s的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX0中有5个未知量，且秩(A)3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组AXb有解，X0是它的一个特解，且AX0的基础解系为X1,X2，则AXb的通解为X0k1X1k2X2．

9．若是Ａ的特征值，则是方程IA0的根． 10．若矩阵Ａ满足A1A ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)

x13x22x3x46 1．用消元法解线性方程组3x18x2x35x402x1x24x3x412 x14x2x33x42解：

132163rr132163rr10192348A3815021221rr1rr30178185rr2rr3017818214112140581014027399014132013480001012263r4r310192348019234819r12r4017818178187r3r13r2100421240101546003312113r30001145r3r4001100561300561340001133100421240002111r401015461001x120114r1542rrr14r2144r00300101 方程组解为x21

000130003x311x4311x1２．设有线性方程组11为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

11yz2111112Ar1r321111r1rr2111r301121解：

11211011213］

112r2r3011(1)00(2)(1)(1)(1)2 当1且2时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解

当1时，R(A)R(A)1，方程组有无穷多解

３．判断向量能否由向量组1,2,3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

2

82353756,1,2,3 710310321 解：向量能否由向量组1,2,3线性表出，当且仅当方程组1x12x23x3有解

23581037这里 A7563013411,2,3,10370010117 32110000571R(A)R(A)

 方程组无解

 不能由向量1,2,3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

13111739123,289,303,46

341336131113111739112,解：1,2,34280600001839330000 413360000该向量组线性相关

x13x2x32x40 ５．求齐次线性方程组5x1x22x33x40的一个基础解系．

x111x22x35x403x15x24x40解：

13125rr13123r52r11A512317r21r3r3r4014314r102r314r2r42711125170143 035040143014310000000310511114105142052r3r11r14r23r41211114001323r3013212r3r20130 000143001410000141000000000000 3

x15x3145 方程组的一般解为x3314 214x3 令x31，得基础解系 14x4001

x15x22x33x411 ６．求下列线性方程组的全部解．3x1x24x32x45x19x24x17

45x13x26x3x41解：

15231133119rrr152A314251215rr30142728514r2r1101r47119041701422rr2r32r401422172872800005361102841456000000109111714r2120112x7119x32x410072000 方程组一般解为

x12000007x312x42令x3k1，x4k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

x711k1k2171921x192112x7k1212k22k17k2 3xk200114k2010

７．试证：任一４维向量a1,a2,a3,a4都可由向量组

111101111，2，3，401线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．00010110000100证明：1 21 3200 431

00001任一４维向量可唯一表示为

a11000a2a0a10012a3a4a11a2(21)a3(32)a4a(43) 3a001040001(a1a2)1(a2a3)2(a3a4)3a44

4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解． 证明：设AXB为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)R(A)n

从而AXB有唯一解当且仅当R(A)n

而相应齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是R(A)n

 AXB有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX0只有零解

9．设是可逆矩阵Ａ的特征值，且0，试证：1是矩阵A1的特征值． 证明：是可逆矩阵Ａ的特征值

 存在向量，使A



I(A1A)A1(A)A1()A1

A11

即

1是矩阵A1的特征值

10．用配方法将二次型fx222x21x2x342x1x22x2x42x2x32x3x4化为标准型． 解：

f(x2x2x221x2)2x342x2x42x2x32x3x4(x12)2x32x3(x2x4)x42x2x4 (xxx2212)2(x3x24)x2  令y1x1x2，y2x3x2x4，y3x2，x4y4

x1y1y3即x2y3x3y2y

3y4x4y4则将二次型化为标准型 fy2221y2y3 5