第2章水静力学

第二章 水静力学

目的要求：掌握静水压强的有关概念；作用在平面、曲面上静水总压力的计算方法。 难点：压力体的绘制 全部内容均为重点

水静力学研究液体平衡时的规律及其实际应用，静止时0，只有p存在。 §2-1 静水压强及其特性 一、定义

P—面积上的静水压力 （N）

P平均静水压强p

a点的静水压强plim0

二、静水压强的特性

PdpdN/m2(Pa)

1、第一特性：静水压强的方向垂直指向被作用面。

2、第二特性：作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。

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《水力学》教案 证：取图示微分四面体， 四个面上的平均静水压强分别为px,py,pz,pn，则 1px2yz1pxzy表面力  21pzxy2pxpns⊿yzCnpnpyx⊿z0x⊿A质量力 1XxyzB6y1 Yxyz61Z6xyzpz沿x方向力的平衡方程： 11pxyzpnscos(n,x)Xxyz0 26111pxyzpnyzXxyz0 2261pxpnXx0 取微分四面体无限缩至o 点的极限 3pxpn 同理pypnpzpnpxpypzpn 故任意点压强仅是空间坐标的函数而与受压面方位无关。 pp(x,y,z) §2-2 重力作用下静水压强的分布规律 一、水静力学的基本方程 质量力只有重力：X0,Y0,Zg dpgdzdzpzCzpC 或 z1本方程。 p1z2p2——重力作用下水静力学的基 对于液面点与液体内任意点 - 8 - 《水力学》教案

zhp0zppp0h——水静力学基本方程的常用表达式

说明：（1）当 p1p2z1z2 ，位置较低点压强恒大于位置较高点压强。

（2）任一点压强由两部分组成 （3） p随h作线性增大。 （4）常用ppah,（5）p2p1h

二、等压面

液面压强p0

由h产生的压强

相互独立

pa为大气压强， 取pa=1个工程大气压=98kN/m。

2

1、定义：在同一种连续的静止液体中压强相等的点组成的面 2、等压面方程：dp0 XdxYdyZdz0

3、特性：（1）平衡液体中等压面即是等势面。dpdW0WC （2）等压面与质量力正交

证明：作用在等压面上的单位质量力fXiYjZk沿微小位移

dsdxidyjdzk移动所做功fdsXdxYdyZdz0，即f与ds垂直。

只有重力作用的静止液体，就局部范围而言，等压面必是水平面。 4、举例

水1234油113322

三、绝对压强、相对压强、真空值

1、绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强p。 2、相对压强：以当地大气压强作为零点计量的压强p（可 正可负）。

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《水力学》教案

二者关系：相差一个当地大气压pa，p =p+pa或p =p-pa 如图：若p0为相对压强，pAp0rh1/p0h1若p0为绝对压强，pA/pAp0rh1pa

P0h1ApAp0h1pa

若开口（不封闭）pAh1以后无特殊说明，指相对压强。

/pApah1

3、真空值：当液体中某一点的绝对压强小于当地大气压强时，则称该点存在真空。真空值

pvpapp

（该点绝对压强小于当地大气压强的数值） 四、静水压强分布图

根据静水压强的两个特性绘制压强随水深变化的几何图形， 称为静水压强分布图。一般要求绘制相对压强分布图。 1、公式 pp0hph

hA2、原则：（1）按比例用线段长度表示某点静水压强的大小。 （2）用箭头表示静水压强的方向（垂直指向被作用面） （3）直线方程，两点可连线。

3、举例：

γhB 五、测压管高度、测压管水头、真空度 hA=P/Aγ1、测压管高度 P0BAzAzBhB=P/BγpAhA hApA——测压管高度

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zApApA——测压管水头（zA为位置高度）

pBzAzB=常数

压强表示方法：1个工程大气压=98kN/m2=10m水柱=736mm水银柱 2、真空度：真空值的液柱高表示

hvpvpap

当p0时称完全真空，此时hv10m，为理论上的最大真空度，实际不存在。 思考题： 图示1和2两种液体（2>1），试问处于同一水平线上的1、2、3、4、5点哪点压强最大？哪点最小？哪些点相等？（P3=P4>P1=P2>P5） h1 12 γ2 P0γ1345h2γ3§2-3 测量压强的仪器 在工程实践中，常根据水静力学基本原理设计和制造液体测压计。液体测压计具有构造简单、直观、使用方便和精度较高等优点。下面介绍几种简单的液体测压计。 一、测压管 利用测压管量测某点压强是一种最简单的液柱式测压计，如图2-3-1所示。当欲测容器中A点的压强时，可在与A点相同高度的器壁上开一小孔，并安装一根上端开口的玻璃管。根据管内液面上升的高度h，就可测出A点的绝对压强或相对压强。由静水压强基本方程可得

pAabsp0h 或 pAh

测得A点压强后，再通过基本方程就可求得容器中任一点的静水压强。为保证量测精度，测压管内径d不宜太小，一般取d>10mm，这样可消除毛细现象影响。测压管的缺

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《水力学》教案

点是不能量测较大压强。当压强超过0.2at(工程大气压)时，则需要长度2m以上的测压管，使用很不方便。所以量测较大压强时，一般采用U形水银测压计。 二、水银测压计

水银测压计的构造也很简单，是将装有水银的U形管安装在需要量测压强的器壁上，管子一端与大气相通，如图2-3-2所示。根据等压面条件，n—n为等压面，则1、2两点压强相等，即p1p2。从图中还可看出，1、2两点的相对压强分别为 所以

或

在测压计上量得hm和z值，即可求得A点压强，并可推算其他各点压强。 三、水银差压计

用水银差压计可测出液体中两点的压强差。图2-3-3所示水银差压计，U形管内装有水银，使用时将U形管两端分别与欲测点相接，待水银柱面稳定后即可施测。其关系推导如下。

由图知

根据等压面原理，p1p2。于是得A、B两点压差为

若预测两点位于同一高程上，则zAzB，式(2-3-2)有如下形式，即

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《水力学》教案

四、真空测压计

水流在通过建筑物的某些部位时，有可能会产生真空。量测真空压强的设备称为真空测压计，如图2-3-4所示，容器中液面压强小于大气压强，即p0pa。从容器外接一玻璃管插入水箱水面以下，在大气压强作用下，管内液面上升一高度hv，如图2-3-4(a)所示，则A点绝对压强为

所以容器内液面压强(绝对压强)为

p0pahv

由上式得液面的真空值

则真空度为

pvhv （2－3－5）

由图2-3-4可以看出，真空度即为测压管液面在自由液面以上的上升高度。

如果需要量测较大真空值，可采用U形水银真空计，如图2-3-4(b)所示。若容器内

B点压强小于大气压强，按上述分析方法，可得B点的真空值

总之，液柱式测压计具有构造简单，量测精度较高等优点，是实验室中的常备仪器。其缺点是量测范围小，携带不方便等。此外，还有金属测压计以及电测仪器等，本书不再作介绍。

§2-4 作用在平面上的静水总压力 一、图解法（适用于矩形平面）

1、大小

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《水力学》教案

小长条面积dbdhdPpdhbdh

ph（∵dh无限小）

H1PdPbhdhH2bb

02结论：P=压强分布图的面积×平面宽

2、方向：由平行力系合成原理，合力与各分力方向一致，垂直指向被作用面。 3、作用点（压力中心）：通过压强分布图的形心作用在受压面的纵对称轴上。利用图解法求作用点位置常采用合力矩定理。

合力矩定理：合力对某一轴（点）之矩等于各分力对该轴（点）之矩的代数和。

图示： P1h1lbe1 21P2(h2h1)be2

231PP1P2(h1h2)b

2PxP1e1P2e2

2h1h2x3h1h2 注意：三心区别（受压面形心，压强分布图形心。压力中心） 思考题：绘出下列第一图三心的位置；求第二图AB平面上的静水总压力。

A

A

B - 14 -

《水力学》教案 二、解析法（适用于任意形状的平面） 首先复习材力知识 静矩=ydy c惯性矩Jxy2dJcyc2 1、大小 dPhd （d很小，近似认为各点压强相等） ysind PdPysindsinydsinyc hcpcp=形心点的压强受压面的面积。 2、方向：垂直指向被作用面。 3、作用点：用合力矩定理 PyDydPy2sindsiny2dsinJxsin(Jcy2) yDyCJC yC说明各项意义，一般情况下D在C下方 实际工程中的受压面多是轴对称面，总压力P的作用点必位于对称轴上，这就完全确定了D的位置。 例题：如图所示，闸门宽1.2m，铰在A点，压力表G的读数为-14700N/m，在右侧箱中装有油，3其容重08.33kN/m，问在B点加多大的水平力才能使闸门AB平衡？ 2解：一、图解法 左侧：pA左1470098003.519600N/m2pB左1470098005.539200N/m2G 1.5m水P=0A油B2.0mP11960021.247.04kN，l11m（距A） 5.5m41P1(3920019600)21.223.52kN，l2m 232右侧：pB右2833016660N/m（压强分布图） P21920021.247.04kN l34m 3 - 15 - 《水力学》教案 MA0解得P=25.87KN 47.04123.524/319.9924P2 3AP1P1P2P二、解析法：首先找出p=0的面 -14700 + y = 0 y=1.5m P1AB2左侧：pc1470098004.529400N/m P1pc294001.2270.56kN P2BP11.223JyDycc3123.11myc31.222右侧：pc833018330N/m l13.1121.11m P283301.2219.992KN 11.223JyDycc1121.33myc11.22MA0l21.33m 解得P=25.87kN 70.561.1119.9921.33P2 可用图解，也可用解析 思考题：一底边水平的等边三角形位于铅直面内，一侧挡水，今将该三角形分成静水总压力相等的两部分，求水平划分线的位置。 21121hbhhbh3223211h2bh2bh3bh3b22hh32bh bh1h3h32 §2-5 作用在曲面上的静水总压力 一、原则

PxdpxPZdpZ PPx2Pz2

二、静水总压力的水平分力

dPxdPcoshdcoshdxPxdPxhdxhcxx

借用前面积分形式（解释各项意义）

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《水力学》教案 作用在曲面上的静水总压力的水平分力Px等于该曲面在铅垂投影面投影上的静水总压力，Px的作用线通过x的压力中心。 三、静水总压力的垂直分力 1、公式：dPZdPsinhdsinhdz PzdPzhdzhdz zzhdz为EF面所托液体体积 zhdz——曲面AB所托的液体的体积， 称为压力体，其体积用V表示 PzrV 作用在曲面上静水总压力的垂直分力Pz等于其压力体的重量。 2、压力体的绘制和Pz的方向 其上为大气压 （1）压力体是由曲面本身、过曲面边缘的铅直面、自由液面（或自由液面的延长面）包围而成的体积。 （2）压力体不一定由实际水体构成，故分为实压力体和虚压力体。 实压力体APz曲面A 实压力体： 压力体和液 体处于曲面 的同一侧 延展面周界面 曲面 虚压力体 Pz 周界面 虚压力体： 压力体和液 体处于曲面 的两侧 - 17 - 《水力学》教案 （3）Pz的作用线通过压力体的体积形心 3、举例 抵消部分AV2γCP0<02AV1Bγ1ABP=0B复杂柱面将曲 面分成几部分 绘制，再叠加

不同容重部分的 压力体应单独计算 存在真空的情况 （1）首先确定自由液面 pz1v12v2 （2）再按原则绘制

四、静水总压力

大小：PPx2Pz2 方向tgPz Px

作用点：通过Px、Pz的交点K，过K点沿P的方向延长交曲面得D点，对于圆弧面，P的延长线通过圆心。

例题：如图所示，在容器上部有一半球曲面（见图）试求该曲面上所受的液体总压力的垂直分力Pz的大小，容器中充满重度为 0.8×9800N/m的油。

3

解：pA0.1m20.10.2m0.1

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《水力学》教案 p0pA0.15油0.2m0.10.15油油H H3.125m 2Pz(r2Hr3)油7531(N)3思考：Px=？ 课堂练习： 习 题 课 一、回答下列问题 1、什么是绝对压强？什么是相对压强？二者关系如何？ 2、什么是真空，当存在真空时，真空值与相对压强存在何种关系？ 3、已知相对压强，如何计算静止液体中某点的测压管水头？在静止液体中各点的测压管水头存在何种关系？ 4、静水压强的重要特性是什么？ 5、绘图 A A BB 找AB平面形心、压力中心 绘静压分布图 绘压力体 压强分布图形心 - 19 - 《水力学》教案 二、复习第二章主要内容 1、静水压强的特性 （1）方向垂直指向被作用面 （2）任一点沿各方向的静水压强大小相等。 2、重力作用下静水压强的基本公式：（1）zpc （2）pp0h 3、等压面：会找出等压面。 4、绝对压强，相对压强、真空及真空值的概念。 5、压强单位的三种表示方法：应力单位、工程大气压、液柱高。 6、静水压强分布图和压力体的绘制。 7、作用于平面上的静水总压力（图解法：大小、方向、作用点 。解析法：大小、方向、作用点） 8、作用于曲面上的静水总压力： 方向、作用点 三、例题 标出图示容器内A、B、C 三点的位置高度、测压管高度和测 压管水头，C点的相对压强为负值。 p0 C PC/γ PB/γPA/γ1、 如图所示，已测得A球压 BA力表读数为0.25个工程大气压，测 ZBZC压计内汞面之间充满酒精。 ZA已知：h1=20cm h2=25cm h=70cm 00 汞13.6水求：pB? 解：p1pAhp2汞h1 hA酒精0.8水 A气酒精2h1113水银2Bh23p2酒h1pB汞h2 所以pAhpB汞h2酒h1汞h1 pBpAh汞(h1h2)酒h0.25980000.7980013.698000.450.898000.227048NpBV27048Nm2m2 - 20 - 《水力学》教案 3、一重量为G=19600N的闸门，用无摩擦的铰O联接在岸墩上，闸门宽b=8m ，H=1m， =30，为保持闸门的平衡，试计算闸门的长度L=？ 。 LHLeGθo GP0气1HH解：P= H bH2b ep2sin3sinLG=19600N eGcos M00 2HLp19600cos 3sin22PH解得：L6.16m 3sincosG 4、 如图所示一封闭水箱，下端有一1/4圆弧的钢板AB， 宽b=1m，半径R=1m ，h1=2m， h2=3m。 求 Px h2h1 BAR=1mPz R)R124.5KN 211PzV(Rh21R21)9800(3)980021.7KN 44解：Pxhcx9800(h2 四、课堂练习 一直径为D的球（球重可忽略不计）处于平衡状态，导出D与1、2、h1、h2之间的关系式 12D12D2D2h221D2h11 432432解得D 33h1h2Dγγ232h21h1 121 - 21 -