2017届高三第一轮复习专题训练之极值点偏移问题

什么是极值点偏移 我们知道二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)=c的两根的中点为

x1x2xx2，则刚好有1=x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移；而函数22xxxg(x)x的极值点x0=1刚好在两根的中点12的左边，我们称之为极值点左偏.

e2

例1. 已知函数f(x)exx，其中e2.71828f(x1)f(x2)时，x1x20.

为自然对数的底数.证明：当x1x2，且

解：f(x)exx的定义域为(,)，f'(x)ex1，由f'(x)ex10，解得x0.

当x变化时，f'(x)，f(x)变化情况如下表： x (,0) 0 0 极小值 (0,) + 单调递增 f'(x) f(x)  单调递减 ∵x1x2，且f(x1)f(x2)，则x10x2（不妨设x1x2）.设函数

F(x)f(x)f(x)exx(exx)ex0ex1，∴ex11'x.∴2x,x0F(x)e2.∵当x0时，xxee12.∴当x0时，F'(x)0.∴函数F(x)在(,0)上单调递增. xe∴F(x)F(0)0，即当x0时，f(x)f(x).∵x10，∴f(x1)f(x1).又f(x1)f(x2)，

∴f(x2)f(x1).∵f(x)在(0,)上单调递增，0x2，且0x1，又f(x2)f(x1)， ∴x2x1.∴x1x20

反思：本题中极值点a0，x1x20即x1x22a.有如下判断极值点偏移的定理：

例2．

解：

运用判定定理判定极值点偏移的方法为：

口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单

调紧跟随。

例3． 已知函数f(x)xex(xR).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1x2，

且f(x1)=f(x2),证明：x1+x2>2.

例4．已知函数f(x)lnx， 若x1x2，且f(x1)=f(x2),证明：x1+x2>4.

证明：

2x

例5．已知函数fxx2eax1x2有两个零点.设x1,x2是fx的两个零点，证

明：x1x22.

解:不妨设x1x2由题意知fx1fx20.要证不等式成立，只需证当x11x2时，原不

等式成立即可.令Fxf1xf1x，则F'xxe1xe1x，当x0时，F'x0.

FxF00.即f1xf1x.令x1x1，

则 fx2fx1f11x1f11x1f2x1,即fx2f2x1.而

x2,2x11,，且fx在1，+上递增，故x22x1，即x1x22.