1.3 第2课时检测

知识点及角度 难易度及题号 基础 1 中档 6 8 稍难 10、11 球的体积与表面积 球的截面问题 与球有关的组合体问题 2、3 4、5、7 9、12、13

1．在数值上，若球的体积与其表面积相等，则球的半径是( ) A．1 C．2

4

解析：由已知，得4πR2＝πR3，∴R＝3.

3答案：B

2．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

B．3 1D. 2

9

A.π＋12 2C．9π＋42

9

B.π＋18 2

D．36π＋18

解析：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面4339

是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋π＝π＋18.

322

答案：B

3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A．9π C．11π

B．10π D．12π

解析：由三视图可知，该几何体上面是球，下面为圆柱，球的半径为1，圆柱的底半径为1，高为3，则该几何体的表面积为S＝4π×12＋2π(1＋3)＝12π.

答案：D

4．一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的三个侧面和两个底32

面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的体积是( )

3

A．963 C．243

解析：设正三棱柱底面边长为a， 则球的半径R＝正三棱柱的高为

313×a＝a， 2363a. 3

B．163 D．483 43433332

又V球＝πR＝π×3a＝π.

3363∴a＝43.∴V柱＝答案：D

5．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．

解析：以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体，则正方体内接于球，正方体棱长为1，则对角线长等于球的直径，即2R＝3，所以S球＝4πR2＝3π.

答案：3π

6．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这5

个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.

3

33

×(43)2××43＝483. 43

45

解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5.

33∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π cm2. 答案：100π

7.如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为______．

解析：作经过球心的截面(如图)，

O1A＝3，O2B＝4， OA＝OB＝5，

则OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7， π259

V＝(32＋32×42＋42)×7＝π.

33259答案：π

3

8．球的两个平行截面的面积分别为5π，8π，两截面间距离为1，求球的表面积． 解：如图，设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R，则由πr21＝5π，得r1

＝5；由πr22＝8π，得r2＝22.

2222(1)当两个截面位于球心的同侧时，有R2－r21－R－r2＝1，则R－5＝1＋R－8，

两边平方得R＝3，故球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.

22(2)当两个截面位于球心的异侧时，有R2－r21＋R－r2＝1，此方程无解．

综合(1)(2)得，球的表面积为36π.

9．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．

(1)求该几何体的全面积； (2)求该几何体的外接球的体积．

解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是

2×4×4＋4×4×2＝64 cm2， 即该几何体的全面积是64 cm2.

(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d，44球的半径是r，d＝16＋16＋4＝36＝6，所以球的半径为r＝3.因此球的体积V＝πr3＝

33×27π＝36π cm3.

所以该几何体的外接球的体积是36π cm3.

10．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( )

A．6∶5 C．4∶3

B．5∶4 D．3∶2

aa

解析：设圆柱的高为a，则其底面半径为，球的半径为，所以圆柱的表面积为S圆柱＝

22a2a3π2

2π·＋2π··a＝a， 222

a22

球的表面积为S球＝4π2＝πa， 则S圆柱∶S球＝3∶2. 答案：D

11．如图，正四棱锥P -ABCD的底面ABCD在球O的大圆上，点P在球面上，如果VP -ABCD＝

16

，那么球O的表面积是________． 3

1

解析：设球半径为R，则正四棱锥的高为R，底面边长为2R，∴VP-R(2R)2ABCD＝·316

＝.∴R＝2. 3

∴S球＝4πR2＝16π. 答案：16π

12．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒的高为2 cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?

(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？

解：(1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm， 44

所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π cm3.

33又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π cm3.

所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6 cm3.

(2)根据题意，上、下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π cm2，又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π cm2，

36π＋12π48

所以1个“浮球”的表面积为S＝＝4π m2. 4

1010

48

因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×4π＝12π m2.

10因为每平方米需要涂胶100克，

所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π克．

13．已知：球的半径为R，要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？

解：设球内接圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S. h222

所以＋r＝R. 2所以h＝2R2－r2. 则S＝2πr·2R2－r2.

令y＝S2，x＝r2，所以y＝－16π2x2＋16π2R2x.

R22

所以当x＝时，即r＝x＝R时，S取最大值，这时圆柱的高h＝2222R.

所以圆柱的底面半径为2

R，高为2R时，圆柱的侧面积最大． 2

1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．

2．球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题转化为圆的问题的关键，因此在解决球的有关问题时，必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．

3．有关球的组合体，要注意区分是内切还是外接，是与面相切，还是与棱相切．

R2－

22

＝

2R