第二章 导数与微分部分考研真题及解答

01.1)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为 （ B ）

11f(1cosh)存在 （B）limf(1eh)存在 h0hh0h11（C）limf(hsinh)存在 （D）lim[f(2h)f(h)]存在

h0hh0hf(x)03.3) 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在，则函数g(x)

x（A）lim(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 03.4) 设函数f(x)x31(x)，其中(x)在x=1处连续，则(1)0是f(x)在x=1处可导的 [ A ]

(A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件.

(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数f(x)limn1xn3n，则f(x)在(,)内 [ C ]

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A) 若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. (B) 若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. (C) 若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (取f(x)=

1，f(x)x反例排除) x06.34) 设函数fx在x=0处连续,且limn0fh2h'21,则 （ C ）

(A)f00且f0存在(B)f01且f0存在

'(C)f00且f0存在 (D)f01且f0存在

''07.1234) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：f(x)x）

f(x)f(x)f(x)存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.

x0x0xxf(x)f(x)f(x)(C) 若lim存在，则f(0)存在. (D) 若lim存在，则f(0)存在

x0x0xx(A) 若lim精品

204.2) 设函数f(x)在（,）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)x(x4), 若对任意

的x都满足f(x)kf(x2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x0处可导. 【详解】(Ⅰ)当2x0,即0x22时,

2 f(x)kf(x2)k(x2)[(x2)4]kx(x2)(x4).

(Ⅱ)由题设知 f(0)0.

f(x)f(0)x(x24)(0)limlim4 fx0x0x0xf(x)f(0)kx(x2)(x4)lim8k.

x0x0x0x11令f(0)f(0), 得k. 即当k时, f(x)在x0处可导.

22(0)lim f

2.2导数的运算法则

06.2)设函数g(x)可微,h(x)e（A）ln31 （C）ln21

31g(x),h(1)1,g(1)2,则g(1)等于[C]

（B）ln31 （D）ln21

2

26203.3) 已知曲线yx3axb与x轴相切，则b可以通过a表示为b 4a .

1xcos,若x0,03.3) 设f(x) 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是2. x若x0,0,04.1) 曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为 yx1.

dye2x04.4) 设yarctaneln，则2xx1dxe1xe1e21.

05.2) 设y(1sinx)，则dyxx=dx .

209农）设f(x)ln(4xcos2x)，则f()=

84 110.2)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l12cm，

w5cm时，它的对角线增加速率为3cm/s

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2.3高阶导数

06.34) 设函数f(x)在x2的某领域内可导,且fxe（复合求高阶导） 07.234)设函数yfx,f21,则f22e3

112,则y(n)(0)=(1)nn!()n. 2x333(n)10.2)函数yln(12x)在x0处的n阶导数y

2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数 01.2)设函数yf(x)由方程e的法线方程为x2y20

2xy(0)2n(n1)!

cos(xy)e1所确定，则曲线yf(x)在点(0,1)处

03.2) 设函数y=f(x)由方程xy2lnxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是

4x-y=0 .

08.1)曲线sinxyln(yx)x在点(0,1)处的切线方程是yx1

02.1)已知函数yy(x)由方程e6xyx10确定，则y(0) -2

y2dy209.2) 设yy(x)是方程xyex1确定的隐函数，则2|x0= -3

dxy

06.2) 设函数yy(x)由方程y1xe确定，则

ydydxx0e

02.2)已知曲线的极坐标方程是r1cos，求曲线上对应于坐标方程.

6处的切线与法线的直角

xcostcos2t,07.2) 曲线上对应于t的点处的法线斜率为12. 4y1sintx12t2,d2yu12lnte(t1)所确定，求203.2) 设函数y=y(x)由参数方程ydudx1ux9.

dye12lnt22etdx4t， 【详解】由，dt12lntt12lntdt精品

dy2etdydt12lnte, 得

dxdx4t2(12lnt)dtd2yddy1e121 ()所以 =22dx2(12lnt)t4tdxdtdxdt =e.

4t2(12lnt)22当x=9时，由x12t及t>1得t=2, 故

d2y

dx2x9e4t2(12lnt)2t2e. 216(12ln2)y107.2) 已知函数f(u)具有二阶导数，且f(0)1，函数y=y(x)由方程yxe1所确定，设

dzzf(lnysinx)，求

dx【详解】

d2zx0,dx2x0.

dzyf(lnysinx)(cosx)， dxyd2zyyyy22f(cosx)f(sinx)

dx2yy2在yxey11中, 令x= 0 得y=1 . 而由yxey11两边对x求导得

yey1xey1y0

再对x求导得 yey1yey1yxey1y2xey1y0

将x=0, y=1代入上面两式得 y(0)1,y(0)2. 故

dzdxx0f(0)(00)0,

d2zdx2x0f(0)(21)1.

x2tt210.2)设函数yf(x)由参数方程，(t1)所确定，其中(t)具有2阶导数，

y(t)精品

d2y35且(1),(1)6,已知2，求函数(t).

dx4(1t)2

2.5微分及其应用

02.2)设函数f(u)可导，yf(x)当自变量x在x1处取增量x0.1时，相应的函

2数增量y的线性主部为0.1，则f(1) （ D ） （A）-1. （B）0.1. （C）1. （D）0.5.

06.1234) 设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则 [ A ] (A)0dyy. (C) ydy0. 弹性

07.34)设某商品的需求函数为Q1602P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 （ D ） (A) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40.

01.34)设生产函数为QALK,其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而



（B）0ydy. （D）dyy0.

A,,均为大于零的参数，则当Q1时K关于L的弹性为 09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P的弹性=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000 元

10.3)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1p，其中p为价格，且R(1)1，则

3R(p)pep313

2p20.QQ(p),其需求弹性02.4)设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数：2192p（1）设R为总收益函数，证明

dRQ(1).（2）求p6时，总收益对价格的弹性，并dp说明其经济意义.

04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量.

(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)；

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(II) 推导

dRQ(1Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，dP降低价格反而使收益增加. 【详解】(I) EdPdQP. QdP20PdRdQPdQQPQ(1)Q(1Ed). dPdPQdP (II) 由R = PQ，得

又由EdPdR1，得P = 10. 当10 < P < 20时，Ed> 1，于是0，

20PdP故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.

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