高等数学 微积分A2002(2)期末试卷A卷答案(北京理工大学)

参

一、1．

zyyyzyy1f()(xy)f()(2)，f()(xy)f()， xxxyxxxxx2．交换积分次序

zzyy(xy)f()z xyxI10dxx201x3dy10x21x3dx2(221). 93． 定义域 D(x,y)x0,yR,

lnx1cos(1x)sin令 fxy0,fyy0,

解得驻点 (e(1)k1,k),(k0,1,2,),

Afxx1siny;Cfyy(1x)cosy; ;Bfxyx当k为偶数，即在（1，k（)k为偶数）点，均有：A10,ACB20,

故f(x,y)在点(1,k)(k为偶数）均取得极小值；当k为奇数，即在（e2，k)(k为奇数）点，均有：Ae20,ACB20, 故f(x,y)在点(1,k)(k为偶数）均不取得极值; 所以f(x,y)有无穷多个极小值点但没有极大值点.

4．

uuxuy1; 2;;222zxxyyxy2u2uy2x22ux2y22; 2; 20; 2222zxxyyxyuuuuuudiv(gradu)div(ijk)()()()

xyzxxyyzz2u2u2uy2x2x2y22222200. 22xyzxyxy

5．un0,(n1,2,),该级数为正项级数，

un(n1n)sin级数n1nsinnn1n11n1nn2n32,

2n32, 原级数收敛 收敛， 由比值判别法二、1．由对称性I8(x12y2)dS(1为球面在第一卦限部分)

8(x2y2)DxyRRxy22dxdy

(Dxy:x2y2R2,x0,y0)

082d20RRR22dR4.

832.

X(3x34xyp)4pxyp1; yy

Y(kxqy24y4)kqxq1y2; xx曲线积分与路径无关，p1XY, yx即4pxykqxq1y2, 解得 q2;p3;k6.

(1)nn 3．令tx1, 原级数化为t, nlnnn1limnan1anlnnnlnnnnlimlim1,

n(n1)ln(nln(n1)n1)n11n11所以收敛半径R1, 由1x11，解得0x2,

所以原级数的收敛区间为（0，2），

11nlnnlimn 当x0时，级数发散(lim1)；nn1nlnnn1nlnnn(1)n当x2时，级数收敛(莱布尼兹型级数). n1nlnnnx2x3n1x1x)x(1), 4．ln(23nn(2x)2(2x)3n1(2x)f(x)xln(12x)x[2x(1)] 23n22n85n122x2xx(1)xn2, 3n348f(5)(0)8a5,f(5)(0)5!320.

35!3

三、解 曲面法向量n2x,2y,1P2x0,2y0,1,

0直线的方向向量s1,3,21,1,28,4,2, 由题意n||s,

2x02y01, 解得x02;y01;z022(1)25; 842故该点的法向量n4,2,1, P0点的坐标为（2，1，5），切

4(x2)2(y1)(z5)0,

即 4x2yz50.

四、解 设实心 体的密度为，体积Vdvdd2dz002112;

由对称性 x0;y0;

1zMzdv12dd2zdz0021122; 33质

2 (0,0,).

31五、解 b2(xx2)sin2xdx1xsin2xdx1x2sin2xdx

20xsin2xdx010xd(cos2x)

1[xcos2x1sin2x]1; 2由Fourier级数的收敛定理（狄里克莱条件），得

a0(ansinnxbncosnx)f(x), x(,],将x代入, 2n1a0(1)nanf()2. 2n1x2y21六、解 补一个面1: 则 ,取1的下侧，z0I1,

1

由高斯公式

1(yzx)dydz(zxy)dzdx(xyz)dxd y2(111)dxdydz3dxdydz32.

3而(yzx)dydz(zxy)dzdx(xyz)dxdy1

xydxdyxydxdy0,

1DxyI2.

七、证 由格林公式，得

Ccosycosxxedyyedxcosycosx(ee)dxdy (D为所围成的区域） Dcosxcosy(ee)dxdy D1cosxcosxcosycosy(ee)(ee)dxdy 2D1(22)dxdy2dxdy2. 2DD