求解函数解析式的常用方法

解题方法与技巧Ｚ　ＨＯＮＧ整ＸＵＥ　ＬＩ　ＫＥ％　　求解函数解ｉＩｉ厅式的常用方法　湖南临湘市第三中学（４１４３０２）　夏朝友　函数的常见表示方法有列表法、图象法、解析式　法等．如何求一个函数的解析式，是我们在解题中常　常碰到的问题．现在就求函数解析式的几种常见方法　归纳如下：　待定系数法　待定系数法求函数解析式是中学阶段求解析式　的常用方法．当已知函数的模型（如二次函数、一次函　数、指数函数等）时，一般可设函数解析式，然后根据　题设条件列出方程或方程组求出待定系数的值即可　得出所求函数解析式．如已知函数为二次函数时，设　厂（　）一口　＋　＋ｃ（ａ≠０），其中有口，ｂ，Ｃ三个系数要　确定，只需要列出三个方程建立方程组，从而求出ｎ，　６，Ｃ的值，达到确定该函数解析式的目的．　【例１】已知，（　）是一次函数，且满足３ｆ（ｘ＋　１）一２厂（　一１）一２ｘ＋１７，试求，（　）的解析式．　解：设，（　）＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），则有　３ｆ（ｘ＋１）一２厂（　一１）一３Ｅｋ（ｘ＋１）＋　一２Ｅｋ（　一，（｛））视为方程的两个未知数，消去，（一　）（或　，（｛））得出，（　）的表达式，即所求的，（　）的解析　式．　、【例４】已知２ｆ（ｘ）＋，（｛）一１０ｘ（ｘｖ￣：０），求　山　，（　）的解析式．　解：将原方程中　换成｛，得２ｆ（１）－［－ｆ（　）＝　ｏｌ，与原方程联立，得到方程组　一１）＋　一是　＋５是＋６．　．　．ｆ２ｆ（ｘ）＋，（｛）一１０　，　１　２，（｛）＋，（　）一　．　消去，（｛）得到，（　）一了２０　一　１０，　即所求的，（　）的解析式为，（　）＝了２０　一　．　ｋｘ＋５ｋ＋６—２ｘ＋１７．　ｒｋ一２，　．”１　５是＋６—１７．　五、配凑法　解得是一２，ｂ＝７．　．．．，（　）＝２ｘ＋７．　二、换元法　如果已知复合函数ｆＥｇ（　）］的解析式，要求　，（　）的解析式时，只须令ｇ（　）一ｔ，求出，（￡）的解析　式后，再将ｔ换成　即可得到所求，（　）的解析式．换　元法是数学中整体思想的体现．　【例２】　已知，（　＋１）一　一２，试求　）的表达武　解：令２ｘ＋１一￡，则　＝　．　．如果已知复合函数ｆＥｇ（　）］的表达式，要求　，（　）的解析式时，若ｆＥｇ（ｘ）］表达式的右边易配成　ｇ（　）的形式，则可用配凑法．将ｇ（　）的形式看成整　体，用　替换，就得到了，（　）的表达式．　【例５】　已知　一２）一ｋ一５，求，（　）的表达式．　解：’．厂（　一２）一３　一５可化成，（　一２）一３（　一　２）＋１．　．　ｆ（２ｘ＋１）一３　一２可以表示成：　，（￡）一３・Ｌ　一２一昔￡一÷．　０　７　将ｔ用　表示可得：，（　）一号　一÷，　０　７　即所求，（　）的表达式为，（　）＝昔　一÷．　三、代入法　已知ｆ（　）、ｇ（　）的解析式．要求复合函数　把　一２看成一个整体，得到，（　）一３ｘ＋１，　即所求的表达式．　六、利用函数性质　当已知函数的某些性质（如奇偶性、周期性、单调　性等）时，可利用这些性质求出函数解析式．　【例６】设函数，（　）的定义域为Ｒ，且当　∈Ｒ　时，总有，（　）＝一，（　＋２），又当ｘＥ（一１，１］时，，（　）　＝　＋２ｘ，求当ｘＥ（３，５］时，函数，（　）的解析式．　解：’．’厂（　）＝一ｆ（ｘ＋２），　’．．ｆ（ｘ＋４）＝－－ｆ（ｘ＋２）一，（　）．　即，（　）一，（　＋４），说明４是函数的一个周期．　当　∈（３，５　ｌ时，　一４∈（一１，１　ｌ，　，（　）一，（　一４）一（　一４）　＋２（　一４）一　一　．　．ｆＥｇ（　）］的解析式时，只须把，（　）中的　用ｇ（　）的　表达式代人到，（　）中就可得到ｆＥｇ（ｘ）］的解析式，　从而达到求解的目的．　【例３】已知，（　）　２ｘ＋１，ｇ（　）＝　＋３，求　６ｘ＋８，　即当ｘＥ（３，５］时，函数，（　）的解析式为，（　）一　２—６ｘ＋８．　ｆＥｇ（　）］，ｇＥｆ（ｘ）］的解析式．　解：’．’ｇ（　）＝　＋３，　’．．，（　）＝２　＋１，　ｆＥ　（　）］一ｆ（ｘ　＋３）一２（ｘｚ＋３）＋１＝２　＋　七、图象变换法　已知函数图象的变化过程，确定图象所对应的函　数解析式时，可利用图象变换知识求解．　７，　即ｇＥｆ（ｘ）］的解析式为ｆＥｇ（ｘ）］＝２ｘ２＋７．　ｇＥｆ（ｘ）￣＝ｇ（２ｘ＋１）＝（２ｘ＋１）。＋３—４ｘ。＋　４ｘ＋４，　即ｇＥｆ（ｘ）］的解析式为ｇＥｆ（ｘ）］＝４ｘ　＋４　＋４．　四、消元法　【例７】将函数　一２　的图象向左平移一个单　位得到Ｃ　，将Ｃ　向上平移一个单位得到Ｃ２，再作Ｃｚ　关于直线　—　的对称图象得到ｃｓ，求ｃｓ的解析式．　解：函数　一２　的图象向左平移１个单位得到　Ｃ１：　一２　的图象，　把Ｃ　的图象向上平移１个单位得到Ｃｚ：ｙ一　２　＋１的图象，　作Ｃ２关于直线　—　的对称图象得到Ｃｓ：ｙ一　１ｏｇ２（　一１）一１的图象．　故所求图象Ｇ的解析式为ｙ＝ｌｏ￣（　—１）一１．　当已知，（　）与，（－－ｘ）（或，（　）与，（÷））的关　系时，求，（　），只须把，（　）和，（一　）（或，（　）与