湖南师大附中2014届高三月考试卷(七)理科数学

数学(理科)

总分:150分 时量:120分钟

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.

3i1.已知i为虚数单位,则( )

1i A. 12i B. 1i C. 1i D. 12i 2.在ABC中,若a2bcosC,则ABC是( )

A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为视图可以是( )

1 1 正视图

1 侧视图

1 1,则该几何体的俯2A B C D

yx,4.已知x,y满足xy2,目标函数z2xy的最大值为M,最小值为N,且M4N,则

xaa的值是( ) 1111 A. B. C. D.

45635.若不等式[(1a)na]lga0对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是( )

111 A. a1 B. 0a C. 0a或a1 D. 0a或a1

2236.右图是某同学为求1007个偶数:2,4,6,…,2014的平均数而设计的

程序框图的部分内容,则在该程序框图中的空白判断框和处理框 中应填入的内容依次是( )

xx A. i1007?x B. i1007?x

10071007xx C. i1007?x D. i1007?x

10071007227.已知f(x)|x1|xkx,若关于x的方程f(x)0在(0,2)上有 两个不相等的实根,则k的取值范围是( )

777 A. (1,0) B. (,) C. (,)(1,) D. (,1)

222 岳阳县一中·yzhgsb@126.com编辑·(理科数学)－1

8.已知在等差数列{an}中,d0,a2013,a2014是方程x23x50的两个根,那么使得前n项和Sn为负值的最大的n的值是( )

A. 2013 B. 2014 C. 4025 D. 4026

9.设P,Q是双曲线x2y242上关于原点O对称的两点,将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l折成直二面角,则折叠后线段PQ长的最小值为( ) A. 22 B. 32 C. 42 D. 4

10.已知满足条件x2y21的点(x,y)构成的平面区域的面积为S1,满足条件[x]2[y]21点(x,y)构成的平面区域的面积为S2(其中[x]、[y]分别表示不大于x,y的最大整数),则点

(S1,S2)一定在( )

A. 直线xy0上 B. 直线2xy10右下方的区域内 C. 直线xy80左下方的区域内 D. 直线xy20左上方的区域内

二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对

应题号后的横线上. （一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)

xt,11.(极坐标与参数方程)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以

y1ktO为原点,Ox轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为: sin24cos,若直线l和曲线C相切,则实数k的值为 . B 12.(几何证明选讲:2012•佛山一模)如图,P为圆O外一点,由P

引圆O的切线PA与圆O切于A点,引圆O的割线PB与圆O 交于C点.已知ABAC,PA2,PC1,则圆O的面积为 . 13.(不等式选讲)若不等式|a1|x2y2z,对满足x2y2z21 C P 的一切实数x,y,z恒成立,则实数a的取值范围是 . （二）必做题(14 ～16题)

14.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线yx2和 曲线yx围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内 随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的), 则所投的点落在叶形图内部的概率是 .

(0,1)A O A y=x2 C y=x B(1,0) x y 15.在ABC中有如下结论:“若点M为ABC的重心,则MAMBMC0”,设a,b,c分别

3为ABC的内角A,B,C的对边,点M为ABC的重心.如果aMAbMBcMC0,

3则内角A的大小为 ;若a3,则ABC的面积为 .

3 16.(03 年全国卷)设数列{an}是集合{2s2t|0st,且s,tZ}

5 6 中所有的数从小到大排列成的数列,即a13,a25,a36, 9 10 12 … … … … a49,a510,a612,,将数列{an}各项按照“上小下大,左

… … … … … 小右大”的原则写成如右的三角形数表:

(1)这个三角形数表的第四行各数从左到右依次为 ; (2)a100 . 岳阳县一中·yzhgsb@126.com编辑·(理科数学)－2

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知向量a(2cosx,cosx),b(3sinx,2cosx),函数f(x)ab3.

(Ⅰ)当x(0,)时,求函数f(x)的值域;

2285(Ⅱ)若f(x),且x(,),求cos(2x)的值.

561212

18.(本小题满分12分)

某高中社团进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“ 微博”的调查,若开通“微博”的称为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查分别得到如图1所示统计表,如图2所示各年龄段人数频率分布直方图. 组数 分组 时尚族的人数 占本组的频率 频率120 0.6 第一组 [25,30) 组距p 0.08195 第二组 [30,35) 0.07100 0.5 第三组 [35,40) 0.060.05a 0.4 第四组 [40,45) 0.040.0330 0.3 第五组 [45,50) 0.020.0115 0.3 第六组 [50,55] O 253030455055年龄(岁) 请完成下列问题: 图1 图2 (Ⅰ)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值; (Ⅱ)从[40,45)和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达赛,其中选取3人作为邻队,若选取的3名领队年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和期望E(X).

P 19.(本小题满分12分)

(2013·盐城三模)如图,三棱锥PABC中,已知PA平面ABC,

E

ABC是边长为2的正三角形,D,E分别为PB,PC中点. D (Ⅰ)若PA2,求直线AE与PB所成角的余弦值; (Ⅱ)若平面ADE平面PBC,求PA的长. A

C

B

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20.(本小题满分13分)

由于澳大利亚只有一些袋类低级动物,兔子在这里称王称霸,无地繁殖,并与牛羊争草吃,使得全澳牧业损失掺重.澳大利亚为维持生态平衡,需从宏观上考察兔子的再生能力及捕杀强度对免子总量的影响,用xn表示兔子在第n(nN*)年年初的总量,且x10,不考虑其它因素,设在第n年内兔子的繁殖量及被捕杀量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c. (Ⅰ)求xn1与xn的关系式;

(Ⅱ)若a2,c1,为保证对任意x1(0,2),都有xn0,nN*,则捕杀强度b的最大允许值是多少?证明你的结论. y 21.(本小题满分13分) I K H 如图,HIJK是边长为2的正方形纸片,沿某动直线l为折痕 将正方形在其下方的部分向上翻折后点I都落在边HK上,记为

E J I,折痕l与HI交于点E,点M满足关系式EMEIEI.若以 I为原点,IJ所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图).

x I O J (Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ)若将轨迹C的方程中的x的范围扩充为全体实数R,得到曲线L的方程,再将曲线L的图象先向下平移一个单位,然后沿直线yx轴翻折,最后每个点的横坐标伸长为原来的两倍(纵坐标不变)得到曲线D的图象,设Q为曲线D上的一个动点,点B、C在y轴上,若QBC为圆(x1)2y21的外切三角形,求QBC面积的最小值.

22.(本小题满分13分)

已知函数f(x)exex,g(x)2xax3,a为实常数. (Ⅰ)求f(x)在区间[1,ln2]上的最大值;

(Ⅱ)当a1时,证明:x0R,使得yf(x)和yg(x)的图象在xx0处的切线互相平行; (Ⅲ)若对任意xR不等式f(x)g'(x)恒成立,求a的取值范围.

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参

一、选择题D B C B C ;A D C D B 二、填空题11. 1. 12.三、解答题

17.【解】(Ⅰ)由已知f(x)3sin2x2cos2x33sin2xcos2x4 2sin(2x9391. 13.a4或a2. 14.. 15.、. 16.(1)17,18,20,24;(2)160. 436)4…………………………………………………3分

71 当x(0,)时,2x(,),故sin(2x)(,1].

266662 故函数f(x)的值域为(3,6]………………………………………………………………6分

28284,得2sin(2x)4,即sin(2x). 5656553 因为x(,),则2x(,),所以cos(2x)…………………………8分

6126265222 故cos(2x)cos[(2x)]cos(2x)………12分 sin(2x)12626210频率18.【解】(Ⅰ)依题分布直方图知第二组的频率为 组距 f21(0.0 0.0840.040.030.020.01)50.30.07f2 所以第二组的高为h20.06,频率分布直方 0.060.0550.040.03 图如右所示:

0.021200.01 又结合表(1)知第一组的人数为200,

0.6O 253030455055年龄(岁) 200图2 又f10.0450.2,所以样本容量为n分 1000;…………………………………3f1195 又第二组的人数有n21000f2300,故p0.65……………………………4分

300 同理第四组人数有n41000(0.035)150人,故a1500.460………………5分 (Ⅱ)因为[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”的人数比值为60:302:1，

所以采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人,…………6分 故随机变量X服从超几何分布.X的所有可能值为0,1,2,3.

01C12C63C12C62155,P(X1), 且P(X0)33C18204C1868(Ⅱ)由f(x)30C122C1633CC12655,P(X3), P(X2)331 2 3 X 0 C1868C182045153355 所以随机变量X的分布列为 P 2042046868 所以数学期望

5153355 E(X)0分 123…………………………………………122204686820519.【解】(Ⅰ)如图,取AC中点F,连接BF,则BFAC,

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以A为坐标原点,过A且与FB平行的直线为x轴,AC为y轴, AP为z轴,建立空间直角坐标系.………………………………2分 则A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),从而有 ,2A),E(0,1,1)AE与PB所成的角为 PB(3,1,设直线|PBAE|1,即直线AE与PB所成角的余 ,则cos|PB||AE|4z P E F D A C y x B 1 弦值为.……………………………………………………6分

4(Ⅱ)设PAa0,则P(0,0,a),从而PB(3,1,a), nPB0,nPC0,即有 ,a,设平面) PC(0,2的法向量为,则n(x,y,z)PBC111333xyaz0, 令z2时,则xa,ya.所以n1(a,a,2)………………8分

332yaz0 又因为D,E分别是PB,PC的中点,所以D(31aa,,),E(0,1,), 222231aa则AD(,,),AE(0,1,).设平面ADE的法向量为n2(x,y,z),

222231axyz0,3222则n2AD0,n2AE0,有,令z2时,有xa,ya,

3yaz0,23a,a,2)……………………………………………………………………10分 3又因为平面ADE平面PBC,

33所以n1n2n1n20a(a)a(a)220

33解得a3,即PA3.………………………………………………………………12分

220.【解】(Ⅰ)从第n年初到第n1年初,兔子的繁殖量为axn,被捕杀量为bxn,死亡量为cxn,

故n2(2,nN*,即xn1xn(a1bcxn),nN*,……………4分 因此xn1xnaxnbxncxn(Ⅱ)当a2,c1时,则xn1xn(3bxn),nN*,

若b的值使得xn0,则只需3bxn0对nN*恒成立,即0xn3b,

于是令n1时,必有0x13b也成立.而x1(0,2),于是23b,即b(0,1].

由此猜想b的最大允许值是1.……………………………………………………………8分 下面用数学归纳法证明,当x1(0,2),b1时,都有xn(0,2) ①当n1时,结论显然成立;

②假设当nk(kN*,k1)时,结论成立,即有xk(0,2),则当nk1时,

x2xk2 由xn1xn(3bxn),nN*得,xk1xk(2xk)(k)1(当xk1时取到“=”)

2 所以xk1(0,1](0,2),即当nk1时,结论也成立.

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综上①②可知对一切nN*,都有xn(0,2).

故捕杀强度b的最大允许值为1.………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)设M(x,y),由题可知I(0,0),设E(0,t),t(0,2),I(s,2)，

y sI K 连结IIEJA,则IIEJ,A(,1),又II(s,2), H 2ss2 EA(,1所以22t0,即s24t4………3分 t,)E J A 22xs,x2 又EMEIEI得,代入上式得y1, x I O J y2t4x2 又因为点I都落在边HK上,故xs0,2],即y1,0x2…………………5分

42(Ⅱ)依题意曲线D的方程是y2x(x0)………………………………………………6分

22x2x2沿直线yxyy=x向下平移横坐标伸长为原来(参考:y1yxy22x)

1个单位44轴翻折4的2倍,纵坐标不变242 设Q(x0,y0),x00,y02x0,显然直线QB,QC的斜率都存在,记B(0,b),C(0,c),bc,

y Q yb|kb| 又设直线QB:ykxb,k0,于是由相切知, 1x0k21C yb即b22kb10,也所以b22b0, 10-1 O x x0可化为(x02)b22y0bx00. 显然同理可得(x02)c22y0cx00,

B 24(x02)x04x020恒成立. 所以b,c是(x02)x22y0xx00两根,且4y0故bc所以SQBC2y0x02|x0|,所以|bc|(bc)24bc, ,bcx02x02|x02|x02x1|BC||x0|,又注意到B,C在原点两侧,故bc00, 2|x02|x02x021|BC||x0|,令m(x02),则m0, 2x02即x020,于是SQBC(m2)24于是SQBCm4(当m2,即x04时取到等号).

mm所以QBC面积的最小值为8.…………………………………………………………13分 e2x1(ex1)(ex1)22.【解】(Ⅰ)f'(x)ee, exex 显然当x(0,)时,f'(x)0,f(x)递增;当x(,0)时,f'(x)0,f(x)递减; y 2 所以f(x)在区间[1,ln2]上的最大值为f(1),f(ln2)中的较大者, B 213 因为f(1)ef(1)f(ln2),

x0 2x ex31 所以f(x)在区间[1,ln2]上的最大值为f(1)e.

exx'0A 岳阳县一中·yzhgsb@126.com编辑·(理科数学)－7 (Ⅱ)当a1时,f'(x)exex,g'(x)23x2, 依题意x0R,使得f'(x0)g'(x0),且f(x0)g(x0), 令h(x)f'(x)g'(x)exex3x22 (结合函数yexex,y3x22草图如右)

1 由h(0)20,h(1)e10,所以x0(0,1),使得h(x0)0f'(x0)g'(x0).

e 又当x(0,1)时,f(x)exex2exx2,

266 而g(x)x32x,x(0,1),由g'(x)23x23(x2)3(x)(x)可知,

33366 当x(0,)时,g'(x)0,当x(,1)时,g'(x)0,

33662 所以当x时,g(x)有极大值,也是最大值,此时g(x)g(2)(2)2

333 所以当x(0,1)时,g(x)f(x)恒成立,即f(x0)g(x0).

所以当a1时,x0R,使得yf(x)和yg(x)的图象在xx0处的切线互相平行. (Ⅲ)令F(x)f(x)g'(x)exex23ax2,

显然F(x)为R上偶函数,故f(x)g'(x)恒成立F(x)0对x[0,)恒成立. 又因为F(0)0,可知此时函数F(x)min0.则

又F'(x)(exex)6ax,x0,注意到exexe0e00,所以 ①当a0时,F'(x)0,则F(x)在[0,)上递增,符合题意; ②当a0时,F\"(x)exex6a,注意到exex2,所以

1时,则F\"(x)0,F'(x)在[0,)上递增,于是F'(x)F'(0)0, 3也所以F(x)在[0,)上递增,符合题意;……………………………………………11分

1 2)当a时,令F\"(x)0的零点为xt0,易知函数F\"(x)为增函数(其导函数在

3[0,)上恒大于0),故可知当x[0,t)时,F\"(x)0,也所以F'(x)在[0,t)上递减,故有 F'(x)F'(0),从而0F(x)在[0,t)上递减,于是出现F(x)F(0)0,这与F(x)min0矛盾!舍去;

1综上可知a的取值范围为(,]为所求.………………………………………………13分

3 1)当0a 岳阳县一中·yzhgsb@126.com编辑·(理科数学)－8