解决平面解析几何问题的思维策略研究

成都市武侯区四川大学附属中学数学组 简洪权

摘要

本研究把解决平面解析几何问题的思维过程划分为理解问题、转化问题、解答问题、反思问题四个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨了解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略：运用恰当的语句表述问题的条件、运用正确的方法指导解题的思路、运用基本的知识和技能简化运算过程、运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律。

关键词：问题解决，平面解析几何问题，思维过程，思维策略 1．问题的提出

学数学离不开解题。解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出问题的解的活动。小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等，都叫做解题。美国数学家保罗哈尔莫斯(Paul Halmos)认为：“数学家存在的主要理由就是解问题”，“数学的真正的组成部分是问题和解” [1]。数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题则是一个再创造或再发现的过程。

美籍匈牙利数学教育家乔治波利亚(George Polya) 在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就是意味着善于解题”

[1]

。他认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数

学才能和教会他们思考的一种手段和途径。在数学教学中，“解题”是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得，还是学生能力的发展与提高，都要通过解题活动来完成。同时，“解题”也是评价学生认知水平的重要手段。

为此，研究者把解决平面解析几何问题的思维过程划分为几个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略，旨在用以指导具体解题的方法。

2．解决平面解析几何问题的思维过程

数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，乔治波利亚提出了四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾[2]。平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。坐标法是平面解析几何最基本的方法，它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念，借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，用坐标表

示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。根据平面解析几何这一学科的特点，解决平面解析几何问题，需要把平面几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为平面几何问题)，从而利用代数知识(或平面几何知识)解决问题。因此，可以把解决平面解析几何问题的思维过程划分为四个阶段：理解问题、转化问题、解答问题和反思问题。 理解问题

理解问题是解题思维活动的开始，包括认清问题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素及其关系，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立问题的条件、结论与知识和经验之间的联系。数对（坐标）与点、数式与几何量、方程与曲线、不等式与区域、两方程的公共解与两曲线的交点等这些数与形的对应关系是解决平面解析几何问题的基础。理解问题，即是根据记忆系统中已有的形与数的对应关系，将问题中的语句进行适时转换，为合理地转化问题奠定基础。比如，在解决问题1：已知实数x、y满足

yx,xy1,求2xy的最大值时，应根据形与数的对应关系将语句“实数x、y满足y1,yx,yx,xy1,”转换为“点在不等式组P(x,y)xy1,表示的区域内”，将代数式y1y1“2xy”转换为“直线l:2xyT在y轴上的截距”或“直线2xyT在x轴上的

yx,截距的两倍”，才能将问题转化为“当直线l:2xyT与不等式组xy1,表示的区

y1域有公共点时，求直线l:2xyT在y轴上的截距的最大值”，促使问题的解决。 转化问题

转化问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极尝试的过程，是有目的地进行各种组合的试验、可能地将问题化归为熟悉类型的过程，是比较各种类型问题的解题方案、选择最优解法的过程。平面解析几何问题的解题途径多种多样，合理的解题途径常要经过尝试和比较才能寻得。比如，在解答问题2：已知实数x、y满足

x2y24x14y450，求

y3的最大值时，可将问题转化为“已知点P(x,y)在圆x3C:(x2)2(y7)28上运动，求两点P(x,y)与A(3,3)连线的斜率的最大值”，也可

将问题转化为“已知x222cos,y722sin，求函数T422sin的最大

522cos值”，经过尝试和比较才能发现前一种转化途径更利于问题的解决。同样，在解决问题3：已知实数x、y满足x2y24x14y450，求2xy的最大值时，可将问题转化为“已知点P(x,y)在圆C:(x2)2(y7)28上运动，且直线l:2xyT与圆

C:(x2)2(y7)28有公共点时，求直线l:2xyT在y轴上的截距的最小值”，也

可将问题转化为“已知x222cos,y722sin，求函数

T42cos22sin3的最大值”，经过尝试和比较才能发现后一种转化途径更利

于问题的解决。 解答问题

解答问题是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。在解决平面解析几何问题的过程中，将问题进行合理转化后，基础知识和基本技能的灵活运用是成功地解答问题的

x2y21的左焦点F的直线l与椭圆C交关键。比如，在解答问题4：已知过椭圆C:62于A、B两点，且OAOB46cotAOB0，求直线l的方程时，优生的解答如下：因3直线l过F(2,0)且与x轴不重合，故设直线l的方程为myx2，从方程组

myx2,中消去x并整理得(m23)y24my20。设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则22x3y626(m21)42。因为，所以OAOB6cotAOB0S6，即|y1y2|AOB33m2326(m21)212|OF||y1y2|6，6，解得m0，或m3，故直线l的方223m33程为3yx2或x2。上述成功解答的因素有两方面，一是灵活地运用两向量的数量积、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系式等基础知识，将条件“OAOB426cotAOB0”转化为“AOB的面积为6”；二是合理地运用换33元、面积分割等基本技能，将直线l的方程表示为myx2、将AOB的面积表示为

1|OF||yAyB|。这些基础知识和基本技能的灵活运用，不仅简化了繁琐的运算，同2时省去了讨论直线l的斜率存在与否的麻烦。 反思问题

反思问题是发展数学思维的一个重要方面。通过反思问题、检验思路与结论的正确性，可以不断调整思维结构，深化思维层次，优化思维品质；通过反思问题可以为学生提供再发现、再创造的机会[3]。学生的创造性思维就存在和表现于这种探索活动之中，并在这种探索活动之中不断发展提高。缺乏具体实例支撑的方法常常让学生感到抽象而空洞，在反思问题的过程中，结合具体的解答过程，学生能更深刻地理解方法的实质。比如，通过反思问题4的解答过程，学生能深入理解“待定系数法”及处理直线与曲线相交问题的一般方法，还能从中 感悟“过点P(x0,y0)且倾斜角不为0的直线l的方程可表示为m(yy0)xx0”、“若BAC90，则ABC的面积

1S(ABAC)tanAB,AC”等新知识，为习得简化繁琐运算的技能奠定基础。

23．解决平面解析几何问题的思维策略

思维策略是指一般性的较普遍适用的思维方法，不同于解题思路，但它是指导解决问题的方法，也是运用解题方法、寻找解题方法、创造解题方法的方法[2] 。良好的思维策略可以促成问题的解决，也是提高思维水平的重要因素。对比“专家”与“新手”解决平面解析几何问题的思维过程发现，“专家”在理解问题、转化问题和解答问题阶段使用了不同的思维策略。 运用恰当的语句表述问题的条件

理解问题时，将问题中的文字、符号语言用图形语言表示出来，能对整个问题情境有清晰的、具体的了解，也能从整体上理解问题的已知、未知条件，找出问题的特点，促成问题的合理转化。平面解析几何的基础是形与数之间的对应关系，文字、符号、图形语言间的恰当转化是理解问题的关键。 比如，在解决问题5：已知F为双曲线

x2y2C:221(a0,b0)的右焦点，P为双曲线C右支上位于x轴上方的一点，M为左ab准线上一点，四边形OFPM为平行四边形（O为坐标原点），且|PF||OF|，求双曲线C的离心率e与

的关系式时，优生用图形语言（问题5 图）表示整

(问题5)

个问题情境后，找到双曲线C的左焦点F1，根据离心率

e|PF1|2ac2aae2，顺利地求出双曲线C的离心率e与的关系式为|PM|caeee。中差生虽能用图形语言表示整个问题情境，却不能找出双曲线C的离心率ex2y2与的关系式。究其原因，优生能将条件“P为双曲线C:221(a0,b0)右支上

ab2e一点，F1、F分别是双曲线C的左、右焦点，M为左准线上一点”恰当地表述为“|PF1||PF|2a，

|PF1|e”。而中差生往往只能将语句“P为双曲线|PM|xP2yP2x2y2C:221(a0,b0)右支上一点”表述为“221”，试图通过坐标的运算abab找到双曲线C的离心率e与的关系，由于运算过程繁琐，不能算出正确结果。 运用正确的方法指导解题的思路

面临一个条件繁多、结构复杂的问题，学生往往感到措手无策，灵活的语言表述也显得苍白无力。重新审视问题的目标，有助于语言的恰当表述、问题的合理转化。平面解析几何研究的主要问题，一是根据已知条件求出表示平面曲线的方程，二是通过方程研究平面曲线的性质。求平面曲线（或轨迹）的方程，归结起来有“定义法”和“待定系数法”两类，“定义法”的宗旨是设出曲线（或轨迹）上任意一点P的坐标(x,y)，然后找出横坐标x和纵坐标y之间的关系式；“待定系数法”的宗旨是设出曲线（或轨迹）的方程（含待定系数），然后求出待定系数。通过方程研究平面曲线的性质，除了研究单条曲线自身的性质，还要根据方程研究两条曲线间的关系，同时还涉及到求变量的值、最值或范围等问题。不同的问题有不同的处理方法，因此，明确问题的目标，可以指导解题方向。比如，在解答问题6：已知抛物线C:yx2的焦点为F，动点P在直线l:xy20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点，求APB的重心G的轨迹方程时，中等学生在设出

a2b2abab22G(x,y)、A(a,a)、B(b,b)，找到关系式x，y，ab2ab4032后，不知道进一步该如何处理；而优生由于能审视到自己的思维目标是找出x和y之间的关系式，进而从上述三个关系式中消去参数a、b，求出APB的重心G的轨迹方程为

412yx2x。

333运用基本的知识和技能简化运算过程

心理学关于“专家系统”的研究表明：一个领域内善于解决问题的专家必须具有5-20万个知识组块。没有这些专门知识，专家就不能解决该学科领域内的问题[2]。没有平面解析几何的基本知识和技能，也不能解决平面解析几何问题。平面解析几何的基本知识包括重要的定义以及由定义推导出的性质，基本技能有换元、消元、配凑、图形分割与添补等。在解答过程中，运用性质意味着省去了该性质的推导过程，自然能极大地简

化运算，而基本技能本身是简化运算或推理过程的手段。 比如，在解答问题7：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于

A、B两点，OAOB与a(3,1)共线，求椭圆的离心率时，优生将语句“椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上”和“OAOB与a(3,1)共线”分别转化为“椭圆的方

x2y21程为221(ab0) ”和“AB的中点M与原点O连线的斜率为”后，运用圆

ab3的“垂径定理”推广到椭圆和双曲线的“类垂径定理”——若AB是不过曲线

C:mx2ny21(mn0)中心的一条弦， M是弦AB的中点，且直线AB和OM的斜率kAB和kOM都存在，则kABkOM1b2m，得到1()2，便顺利地求得椭圆得离心率

3an6；而中差生没有“类垂径定理”这一知识基础，采用处理直线与曲线相交问题的3一般方法，联立直线和椭圆方程消元，运用一元二次方程根与系数的关系，结合问题的条件去找a与b的关系，再求椭圆的离心率，由于运算过程冗长，只有极少数学生能求出正确结果。

运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律

解决平面解析几何问题的方法是对解答过程的抽象和概括，学生只有结合具体问题的解答过程，才能理解、掌握、运用。解决平面解析几何问题的基本知识，除教材的基本概念、基本性质外，往往也蕴含在具体问题的解答过程中。因此，反思问题时，应适时运用类比、归纳、猜想等恰当的方法，提炼解答过程中蕴含的一般方法和一般结论。比如，在解答问题8：已知P(x0,y0)是圆O:x2y2r2(r0)外一点，过点P作直线l1为

和l2分别与圆O相切于点M、N，求直线MN的方程后，优生能根据问题8的解答过程，运用类比的思维方法提炼出如下结论（推导过程见附录）：（1）若点P(x0,y0)在曲线C:Ax2By2DxEyF0(A2B20)上，则曲线C在点P处的切线l的方程为

xxyyAx0xBy0yD0E0F0；（2）若点P(x0,y0)不在曲线

2222C:AxByDxEyF0(A2B20)上，且过点P可作直线l1和l2分别与曲线C相

xxyy切于点M、N，则直线MN的方程为Ax0xBy0yD0E0F0，在解答问

22题9：设点P在直线xm(ym,0m1)上,过点P作双曲线x2y21的两条切线

1PA、PB,切点为A、B,定点M(,0)，求证：三点A、M、B共线时，他们能运用提炼

m的结论或推导结论的方法，顺利地解决问题；而中差生没有反思问题的习惯，缺乏上述结论及其推导方法的指导，对问题9 感到无从下手。 4．讨论

发展学生的思维能力，是素质教育的一项重要任务，思维能力主要集中表现为解决问题的能力，因此，提高学生运用知识解决问题的能力是教学的一个重要目标。对学生进行思维策略的传授和训练是提高学生解决问题的重要手段[4]。 思维策略训练面临的一个重要问题是应该向学生传授的思维策略究竟应该有哪些心理学上一般采用“专家”与“新手”对比实验的方法，首先研究解决问题的思维过程应划分为哪几个阶段，然后研究每个阶段上的思维策略。本研究通过对比优生与中差生解决平面解析几何问题的过程，将其划分为四个阶段：理解问题、转化问题、解答问题和反思问题，主要分析了前

三个阶段的思维策略：运用恰当的语句表述问题的条件、运用正确的方法指导解题的思路、运用基本的知识和技能简化运算过程、运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律。在研究中发现，优生在数学语言的转换、基本技能和方法的运用上比中差生有更强的灵活性。因此，除进行思维策略的训练，提高学生数学语言的转换能力及基本技能和基本方法的运用能力，也是提高学生思维能力的重要途径。 参考文献

1 波利亚.怎样解题．阎育苏译．北京：科学出版社，1982

2 张庆林.当代认知心理学在教学中的应用．重庆：西南师范大学出版社,1995 3 罗增儒.数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社．2001

4 郑毓信、肖柏荣、熊萍.数学思维与数学方法论．成都：四川教育出版社．2001 附录：

1. 若点P(x0,y0)在曲线C:Ax2By2DxEyF0(A2B20)上，则曲线C在点P处

xxyy的切线l的方程为Ax0xBy0yD0E0F0。

22证明：把方程Ax2By2DxEyF0两边对x求导，

2AxD得2Ax2Byy'DEy'0，y'。

2ByE（1） 若2By0E0，

2Ax0D(xx0) 则曲线C在点P(x0,y0)处的切线l的方程为yy02By0E即2By0y2By02EyEy02Ax0x2Ax02DxDx0，

xx0yy0即Ax0xBy0yDEAx02By02，

22xx0yy0即Ax0xBy0yDEFAx02By02Dx0Ey0F。

22因为点P(x0,y0)在曲线C:Ax2By2DxEyF0，

所以，Ax02By02Dx0Ey0F0。

xxyy于是，切线l的方程为Ax0xBy0yD0E0F0。

22（2） 若2By0E0，

则曲线C在点P(x0,y0)处的切线l的方程为xx0，

xxyy也即Ax0xBy0yD0E0F0。

22由（1）、（2）知，

xxyyE0F0。 曲线C在点P处的切线l的方程为Ax0xBy0yD02222222. 若点P(x0,y0)不在曲线C:AxByDxEyF0(AB0)上，且过点P可作直线l1和l2分别与曲线C相切于点M、N，则直线MN的方程为

xxyyAx0xBy0yD0E0F0。

22证明：设M(x1,y1)、N(x2,y2)，

xxyyE1F0。 则切线l1的方程为Ax1xBy1yD122因为切线l1经过点P(x0,y0)，

xxyy所以，Ax1x0By1y0D10E10F0，

22xx0yy0即点M(x1,y1)在直线l3:Axx0Byy0DEF0上。

22xx0yy0同理，点N(x2,y2)在直线l3:Axx0Byy0DEF0上。

22xxyy于是，直线MN的方程为Ax0xBy0yD0E0F0。

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