2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷

，求p． ，过A作抛物线，求p． ，过A作抛物线

2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值． 二、填空题 4．已知f（x）＝asin（2πx）+bcos（2πx）+csin（4πx）+dcos（4πx），若

，则在a，b，c，d中能确定的参数是　

5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝　 6．展开式7．

[

+

+…+

中，常数项为　 ]＝　 　． 　． 　． 　． 8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 　

　． 　． 9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是　 10．设，若，则cos（x+2y）＝　 　． 11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是　 12．在△ABC中，为　 三、选择题 13．已知直线m：y＝xcosα和n：3x+y＝c，则（　　） A．m和n可能重合 B．m和n不可能垂直 第1页（共27页） 　． ，若O为内心，且满足

，则x+y的最大值

　． C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 四、填空题 14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为　 15．已知点P在直线点P的坐标是　

　． 　． 上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则

16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为　 17．arcsin

+arcsin＝　 　． 　． 18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为　

　． 　． 19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为　 20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为　 21．定义fM（x）＝

　． ，M⊗N＝{x|fM（x）fN（x）＝﹣1}，已知A＝

　． ，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A⊗B＝　

22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为　 　． 23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝　 　． 24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的　 　条件． 25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为　 　． 26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是　

　． 27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为　

　． 第2页（共27页） 28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为　 五、选择题 29．下列不等式恒成立的是（　　） A．x2+

≥x+ B．D．

　． C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z| 六、填空题 30．向量数列

满足

，且满足，令

，则当Sn取最大时，n的值为　

　． 31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有　

　种． 32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是　

　． （1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个； （3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个． 第3页（共27页） 2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷 参与试题解析 一、解答题 1．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若【考点】抛物线的性质． ，过A作抛物线

，求p． 【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，可得∠A′AF＝600，即可得A（利用

，

）， 可得2p＝3m，利用梯形面积公式即可得p． 【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m， cos∠A′AF＝A（

，

，∴∠A′AF＝600． ）， ，解得2p＝3m，或2p＝﹣9m（舍）， 由A在抛物线y2＝2px上，∴|AF|＝|AA′|＝3m＝2p， ∵∴p＝

． ，∴（2p+）

p＝12

， 第4页（共27页） 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题． 2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若【考点】抛物线的性质． ，过A作抛物线，求p． 【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，可得∠A′AF＝600，即可得A（利用

，

）， 可得2p＝3m，利用梯形面积公式即可得p． 【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m， cos∠A′AF＝A（

，

，∴∠A′AF＝600． ）， ，解得2p＝3m，或2p＝﹣9m（舍）， 由A在抛物线y2＝2px上，∴|AF|＝|AA′|＝3m＝2p， ∵∴p＝2

． ，∴

， 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题． 3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值． 第5页（共27页） 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】先把y用x表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可． 【解答】解：因为x2+2xy＝1（x≠0），故所

， 以

， 当且仅当

等号成立， ． 所以x2+y2最小值为

【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 二、填空题 4．已知f（x）＝asin（2πx）+bcos（2πx）+csin（4πx）+dcos（4πx），若

，则在a，b，c，d中能确定的参数是　a＝b＝c＝d＝0　． 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】先令x＝0和x＝可得b＝d＝0，再由【解答】解：令令

， ， ， 得到a＝c＝0． ， 所以sin4πx（2c﹣a﹣2ccos4πx）＝0恒成立， 所以2c﹣a＝2c＝0⇒a＝c＝0，综上所述a＝b＝c＝d＝0． 故答案为：a＝b＝c＝d＝0． 【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题． 5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝　　． 【考点】实系数多项式虚根成对定理． 第6页（共27页） 【分析】设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值． 【解答】解：设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0）， 可得﹣b3i﹣ab2+4bi+5＝0， 即（5﹣ab2）+（4b﹣b3）i＝0， 可得5﹣ab2＝0，且4b﹣b3＝0， 解得b＝±2，a＝． 故答案为：． 【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题． 6．展开式

【考点】二项式定理． 中，常数项为　12600　． 【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：

，且k+2k+m+3m＝10，由此求出k，m的值即可． 【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足： ，且k+2k+m+3m＝10，k，m∈N． 即3k+4m＝10，m，k∈N． 解得

，故常数项为：

． 【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用．属于基础题． 7．

[

+

+…+

]＝　　． 【考点】数列的极限． 【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可． 【解答】解：

+

+…+

﹣＝

＝﹣

）． 第7页（共27页） ＝（1++﹣

[＝故答案为：

． +

+…+＝

． ]＝

（1++﹣

﹣

﹣

） 【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题． 8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 　

　． 【考点】旋转变换． 【分析】不妨设 A（1，1），B（4，5），则 ，在在复平面对应的复数求所对应的复数z2，进

出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出而求出

的坐标，再求C点坐标，即为答案． ， 【解答】解：不妨设 A（1，1），B（4，5），则 在复平面对应的复数为 则顺时针旋转 60°，则

， ， 因此 从而可得点

， ． ， ， 【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题． 9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是　两条射线　． 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】直接利用转换关系，消去ρ，整理成三角函数关系式，进一步求出结果． 【解答】解：根据方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ， 整理得5cosθ＝4+3（2cos2θ﹣1）， 即6cos2θ﹣5cosθ+1＝0， 第8页（共27页） 解得cos

或cos

． 所以该曲线为两条射线． 故答案为：两条射线． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．设，若，则cos（x+2y）＝　

1　． 【考点】函数与方程的综合运用． 【分析】设f（x）＝x3+sinx，把已知条件转化为 f（x）+f（2y）＝0，又因为函数f（x） 在R上是单调递增的奇函数， 故x+2y＝0，进而求出cos（x+2y）＝1． 【解答】解：原式可得变形为 设f（x）＝x3+sinx， 因为f（﹣x）＝（﹣x）3+sin（﹣x）＝﹣（x3+sinx）＝﹣f（x）， 所以 f（x） 为奇函数， 当 x＞0 时，f（x）′＝3x2+cosx ①当0＜x＜②当x＞

时，cosx＞0，所以f（x）′＞0； 时，3x2＞3，cosx＜1，所以f（x）′＞0． ， 所以f（x） 在（0，+∞）上是单调递增函数， 又因为奇函数关于原点对称，所以函数f（x） 在R上是单调递增函数， 因此 f（x）+f（2y）＝0，则 x+2y＝0，则 cos（x+2y）＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题目，属于中档题． 11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是　

　． 第9页（共27页） 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】根据x，y满足的表达式可设x＝cosθ，y＝sinθ，进而求出x+2y的范围，再由条件可知x+2y﹣a≥0，且a+6﹣x﹣2y≥0，则可求出a的取值范围． 【解答】解：因为实数x，y满足x2+y2＝1，设x＝cosθ，y＝sinθ， 则x+2y＝cosθ+2sinθ＝所以﹣

≤x+2y≤

， ，其中α＝arctan2， 因为|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关， 所以|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|＝x+2y﹣a+a+6﹣x﹣2y＝6， 即此时则

≤a≤﹣

， ，所以x+2y﹣6≤a≤x+2y， 故答案为：

【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题． 12．在△ABC中，

　． 【考点】平面向量的基本定理． ，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为　

【分析】设＝λ，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答． 【解答】解：延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则OE≤OD， 设

＝λ

， 因为B、C、D三点共线， 所以λx+λy＝1，即x+y＝

＝

＝

＝

＝

＝

， 因为cosA＝1﹣2sin2＝，所以sin＝所以x+y≤

＝

． ， 故答案是：． 第10页（共27页） 【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题． 三、选择题 13．已知直线m：y＝xcosα和n：3x+y＝c，则（　　） A．m和n可能重合 B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 【考点】确定直线位置的几何要素；直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】求出直线m与直线n的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合； 由斜率之积为﹣1，得出两直线垂直； 由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线m以交点P为中心旋转后与n重合． 【解答】解：直线m：y＝xcosα，斜率为k1＝cosα； 直线n：3x+y＝c，斜率为k2＝﹣3； k1≠k2，所以m和n不可能重合，A错误； cosα＝时，k1•k2＝﹣1，m和n垂直，所以B错误； 由k1≠k2知m和n不平行，设m、n相交于点P， 则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确． 故选：C． 【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题． 四、填空题 第11页（共27页） 14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为　　． 【考点】直线与抛物线的综合． 【分析】设A的坐标求导可得A的切线的斜率，设切线的倾斜角为α，求出准线AF的斜率，由题意可得kAF＝tan（30°+α），可得A的横坐标． 【解答】解：抛物线3y2＝x可得y2＝，所以焦点F坐标（设y0＞0 y＝

，y'＝

，所以在A处的切线的斜率为：k＝

， ，0），设A（x0，y0），

设在A处的倾斜角为α，则k＝tanα＝， kAF＝

＝＝， tan（30°+α）＝＝＝， 由题意可得kAF＝tan（30°+α）， 所以

＝

，整理可得：（1﹣2

）（12x0+1）＝0，解得：x0＝

， 所以A的横坐标为：， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题． 15．已知点P在直线

上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则

点P的坐标是　（1，2）　． 第12页（共27页） 【考点】行列式． 【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标． 【解答】解：∵点P在直线∴点P在直线4x+y﹣6＝0， 设P（a，﹣4a+6）， ∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等， ∴

解得a＝1， ∴点P的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为　　． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 上， ， 【分析】先由题设条件求出数对（x，y）总的个数，然后利用∠AOB＝2arctan求出满足题意的数对（x，y）的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果． 【解答】解：∵x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，∴数对（x，y）共有9×8＝72个． ∵∠AOB＝2arctan，∴tan∠AOB＝＝，cos∠AOB＝， 又连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，得则cos∠AOB＝

＝

＝（x，y），＝（y，x）， ＝，即（2x﹣y）（x﹣2y）＝0，即y＝2x，或y＝

x， 第13页（共27页） ∴满足∠AOB＝2arctan的数对有：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），（2，1），（4，2），（6，3）， （8，4），共8个， ∴∠AOB＝2arctan的概率P＝故答案为：． 【点评】本题主要以集合为背景考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属于中档题． 17．arcsin

+arcsin＝　＝． 　． 【考点】反三角函数． 【分析】由题意判断出求出sin（arcsin即可得出arcsin【解答】解：由arcsin所以

＜arcsin

＜arcsin

+arcsin＜π， +arcsin）的值， +arcsin的值． ＜arcsin＜

， ＜arcsin1， 又arcsin所以所以

＜arcsin＜arcsin1， ， +arcsin＜π， +arcsin） ）cos（arcsin）+cos（arcsin

）sin（arcsin） ＜arcsin＜＜arcsin

所以sin（arcsin＝sin（arcsin

＝×+× ＝＝

×+

+

× 第14页（共27页） ＝

， +arcsin＝． ． 所以arcsin故答案为：

【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为　7 或

　． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】先根据题意证明平面ABC⊥平面PCD，进而得到P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离，再利用三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，求出sin∠PDC，利用同角的三角函数关系求出cos∠PDC，在△PDC中运用余弦定理即可求出PC的长度． 【解答】解：取 AB 中点 D，因为AB⊥CD，AB⊥PD， 又因为PD∩CD＝D且PD，CD⊂平面PCD， 则 AB⊥面 PDC，又因为AB⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面PCD， 那么P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离， 依题意可得 所以那么

， ， ， 由余弦定理可得故答案为：7 或

． 或 ． 第15页（共27页） 【点评】本题考查线面垂直及面面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题． 19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为　2【考点】三角形中的几何计算． 　． 【分析】利用余弦定理求出cos∠BAC的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度． 【解答】解：△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，如图所示； 由余弦定理得cos∠BAC＝设AD是BC边上的中线， 则所以解得|

＝（

+

）， +2

•

+

）＝×（81+2×9×7×

+49）＝56， ＝

； ＝×（|＝2

， 所以BC边上的中线长度为2故答案为：2

． ． 【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题． 第16页（共27页） 20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为　【考点】函数的图象与图象的变换． 　． 【分析】求出f（f（x））的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出x＞0时的单调性，由对称性即可作出大致图象． 【解答】解：f（f（x））＝（x2﹣1）2﹣1＝x4﹣2x2， 令g（x）＝x4﹣2x2，g（x）＝0，可得x＝±由g（﹣x）＝g（x），可得g（x）为偶函数， 当x≥0时，g′（x）＝4x3﹣4x＝4x（x+1）（x﹣1）， x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 由偶函数关于y轴对称，可得f（f（x））的图象大致为 或0， 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题． 第17页（共27页） 21．定义fM（x）＝，M⊗N＝{x|fM（x）fN（x）＝﹣1}，已知A＝

，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A⊗B＝　（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪

（3，+∞）．　． 【考点】子集与交集、并集运算的转换． 【分析】求出集合A，B，利用新定义求出A⊗B即可． 【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}＝（﹣3，0）∪（3，+∞）； ∁RA＝[1，+∞），∁RB＝（﹣∞，﹣3]∪[0，3]． 因为fA（x）•fB（x）＝﹣1， 所以当fA（x）＝﹣1，fB（x）＝1，A⊗B＝B∩∁RA＝{x|x＞3}， 当fA（x）＝1，fB（x）＝﹣1，A⊗B＝A∩∁RB＝{x|x≤﹣3或0≤x＜1}， 故A⊗B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）． 【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题． 22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为　14365　． 【考点】计数原理的应用． 【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的3×4＝12进行分析入手即可． 【解答】解：因为3x+4y+12z＝2020， 所以

， 因为x，y，z均为整数， 所以

也是整数， 所以设x＝4k， 则3k+y+3z＝505， 所以3（k+z）+y＝505， 易知505÷3＝168…1， 则k+z可取的值为0～168， 当k+z＝0时，k＝z＝0， 当k+z＝1时，

或

， 第18页（共27页） 当k+z＝n时，k的取值集合为{0，1，2，…，n}，对应z＝n﹣k， 故当k+z取遍0～168时，z的所有可能取值数为故所有的非负整数解为14365种， 故答案为14365． 【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐藏条件的判断，属于中档题． 23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝　7　． 【考点】进行简单的合情推理． 种， 【分析】通过研究2n+3n+1除以12的余数的规律得到结果． 【解答】解：归纳：21+32＝12×0+11， 22+33＝12×2+7， 23+34＝12×7+5， 24+35＝12×21+7， 25+36＝12×63+5， 26+37＝12×187+7， 27+38＝12×557+5， … 由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环； 易知2n中n为奇数对应余数为5，n为偶数对应余数为7； 2020为偶数，故余数为7． 故答案为7． 【点评】本题考查归纳推理，属于中档题． 24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的　充要　条件． 【考点】充分条件、必要条件、充要条件． 【分析】根据四点共圆的性质，对∠BAC＝∠BDC，∠DAC＝∠DBC进行逻辑判断即可． 【解答】解：在凸四边形ABCD中，若∠BAC＝∠BDC，则ABCD四点共圆，则必有∠DAC＝∠DBC； 在凸四边形ABCD中，若∠DAC＝∠DBC，则ABCD四点共圆，则必有∠BAC＝∠BDC； 所以：∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的充要条件． 第19页（共27页） 故答案为：充要． 【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题． 25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为　2　． 【考点】函数的最值及其几何意义；反函数． 【分析】由﹣3≤x≤5，可得﹣4≤x﹣1≤4，令﹣4≤f（x）≤4，结合函数f（x）的单调性可得此时

，再由反函数的性质即可得解． 【解答】解：由﹣3≤x≤5，可得﹣4≤x﹣1≤4， 令﹣4≤f（x）≤4，由f（x））＝3x﹣3﹣x单调递增可得，∴

， ， ∴g（x）在[﹣3，5]上的最大值与最小值之和为

， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是　（

，+∞）　． 【考点】两条直线的交点坐标；三角形的面积公式． 【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形， 求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值 【解答】解：如图所示：

第20页（共27页） 直线L：kx﹣2y﹣2k+8＝0 即k（x﹣2）﹣2y+8＝0，过定点B（2，4）， 与y 轴的交点D（0，4﹣k），与x 轴的交点A（2﹣，0）， 直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4＝0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4＝0， 过定点B（2，4 ），与x 轴的交点E（2k2+2，0）， 与y 轴的交点C（0，4+

）， 由题意，四边形OABC的面积等于△OCE面积﹣△ABE面积， ∴所求四边形的面积为S＝×（4++8＝4∵k＞4， ∴0＜则8＞S＞

﹣8， ）（2k2+2）﹣×4×（2k2+2﹣2+）＝

﹣

故k＞4时，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是（

，8）． 【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题． 27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为　

　． 【考点】余弦定理． 【分析】连接AC，BD，由圆内接四边形的性质可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，在△ABD和△BCD中运用余弦定理，结合诱导公式求得cos∠PAB，sin∠PAB，同理可

第21页（共27页） 得cos∠PBA，sin∠PBA，再由两角和的正弦公式求得sinP，在△PAB中运用余弦定理可得所求；另解：由四点共圆的性质和三角形的相似的性质，解方程可得所求值． 【解答】解：连接AC，BD，由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC， 由BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD， BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD， 且∠BAD+∠BCD＝180°，可得cos∠BAD＝﹣cos∠BCD， 则1+16﹣2×1×4cos∠BAD＝25+4﹣2×5×2×cos∠BCD， 化为17+8cos∠BCD＝29﹣20cos∠BCD， 解得cos∠BCD＝，即cos∠PAB＝， 则sin∠PAB＝

＝

， 又AC2＝BA2+BC2﹣2BA•BC•cos∠ABC， AC2＝DA2+DC2﹣2DA•DC•cos∠ADC， 且∠ABC+∠ADC＝180°，可得cos∠ABC＝﹣cos∠ADC， 则1+25﹣2×1×5cos∠ABC＝16+4﹣2×4×2×cos∠ADC， 化为26+10cos∠ADC＝20﹣16cos∠ADC， 解得cos∠ADC＝﹣则sin∠PBA＝

，即cos∠PBA＝﹣＝

， ， 则sinP＝sin（∠PAB+∠PBA）＝sin∠PABcos∠PBA+cos∠PABsin∠PBA ＝

×（﹣

）+×＝， ＝， ， 在△PAB中，由可得

＝

解得PA＝． 另解：由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC， 则△PAB∽△PCD，即有

＝

＝

， 第22页（共27页） 设PA＝x，PB＝y，可得

＝

＝， 即有2x＝5+y，即y＝2x﹣5， 2y＝4+x，即有2（2x﹣5）＝4+x， 解得x＝故答案为：

，即PA＝． ． 【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化简运算能力，属于中档题． 28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为　　． 【考点】函数奇偶性的性质与判断；古典概型及其概率计算公式． 【分析】基本事件总数n＝＝

＝10，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数m

＝6，由此能求出其中既有奇函数、又有偶函数的概率． 【解答】解：给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数， 则在这5个函数中任意取3个， 基本事件总数n＝

＝10， ＝6， 其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数m＝∴其中既有奇函数、又有偶函数的概率为P＝＝

＝． 第23页（共27页） 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法，考查概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 五、选择题 29．下列不等式恒成立的是（　　） A．x2+

≥x+ B．D．

C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z| 【考点】不等关系与不等式；基本不等式及其应用． 【分析】A．x＜0时，x2+

≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+

≥x+

化为：t2﹣2≥t，化简即可判断出正误． B．取特殊值，令x﹣y＝﹣1，即可判断出正误； C．由绝对值不等式的性质即可判断出正误； D.

﹣

＝

﹣

，即可判断出真假． ≥

【解答】解：A．x＜0时，x2+≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+

x+化为：t2﹣2≥t，化为（t﹣2）（t+1）≥0，即t≥2，恒成立．因此不等式恒成立． B．取x﹣y＝﹣1，则|x﹣y|+

＝1﹣1＝0＜2，因此不恒成立； C．由绝对值不等式的性质可得：|x﹣z|+|y﹣z|≥|（x﹣z）﹣（y﹣z）|＝|x﹣y|，因此不恒成立． D．∵

﹣≤0，∴

故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 六、填空题 30．向量数列

满足

，且满足

，令

＞

，∴

≤

﹣，错误． ＝

﹣

第24页（共27页） ，则当Sn取最大时，n的值为　6或7　． 【考点】数列的求和；平面向量数量积的性质及其运算． 【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前n项和公式的应用求出结果为二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求出结果． 【解答】解：数列所以

，

满足

，…

， ， ，

， 所有的式子相加得到：所以由于

， ， 由于＝＝＝

＝＝＝， 由于二次函数的对称轴方程为n＝所以n＝6或7时，Sn取最大值． 故答案为：6或7 （n为整数）， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，向量的运算，数列的前n项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有　1128　种． 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，乙没有，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答

第25页（共27页） 案． 【解答】解：根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论： ①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种安排方式， 此时有2×120＝240种安排方式， ②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种安排方式， 此时有1×120＝120种安排方式， ③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式， 此时有4×24＝96种安排方式， ④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式， 此时有3×2×4×24＝576种安排方式， ⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式， 此时有4×24＝96种安排方式； 故有240+120+96+576+96＝1128种安排方式； 故答案为：1128 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题． 32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是　（1）（2）（3）　． （1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个； （3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个． 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由题意点到直线l1，l2的距离分别为p，q，由点M的距离坐标的定义逐一判断

第26页（共27页） 即可． 【解答】解：（1）p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O．故（1）正确； （2）若pq＝0，且p+q≠0，则p，q中有且仅有一个为0， 当p＝0，q≠0时，距离坐标点在l1上，分别为关于O点对称的两点， 当q＝0，p≠0时，在l2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在， ∴若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个，故（2）正确； （3）若pq≠0，则距离坐标为 （ p，q） 的点有且只有4个， 而四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点． 故答案为：（1）（2）（3）． 【点评】本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力，属于中档题． 第27页（共27页）