概率论习题解答(第1章)

三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)又因为P(B)(1) 当P(B)(2)

P(A)P(B)P(AB)，

P(AB)即P(B)P(AB)0. 所以

P(AB)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)P(A)=0.6.

P(AB)1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.

3．已知事件A，B满足P(AB) 解：因为P(AB)即P(AB)所以

P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)．

P(AB)，

P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)，

P(B)1P(A)1p.

4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．

解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)1P(AB)0.6.

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n4C10种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 112C5C42(C2)+C52

法一：分两种情况考虑：k1212 其中：C5C4(C2)为恰有1双配对的方法数

11C8C62法二：分两种情况考虑：kC+C5

2!1511C8C6 其中：C2!15为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：k 其中：C5(C81211C5(C82C4)+C52

1C4)为恰有1双配对的方法数

12C5C8-C52

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k法五：考虑对立事件：k 其中：C544414C10-C5(C2)

14(C2)为没有一双配对的方法数

1111C10C8C6C4法六：考虑对立事件：kC4!4101111C10C8C6C4 其中：

4!k13. 所求概率为p4C1021

为没有一双配对的方法数

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

12C3A5C5211 解：(1) 法一：p3，法二：p 3C101212A10122C3A4C411 (2) 法二：p3，法二：p 3A1020C1020 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

231C32A4A4C4391P(M1)3, P(M2)P(M), 34316844316

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则

112C32C3C2C2P(M2)20.3,P(M1)0.6,P(M1)20.1 2C5C5C5MM1M2且M1M2.

22C5C313所以P(M)P(M1M2)P(M1)P(M2)22.

C8C828 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间因此

= {(x，y)：0

： x + y

x，y 6/5}

2 1}

事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y)

141A的面积17． 25P(A)的面积125图？

11．随机地向半圆0y2axx2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求

原点和该点的连线与x轴的夹角小于

的概率． 4表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，

面上建立xOy直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

={(x，y)：0x2a,0y2axx2}

事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0因此

” 4x2a,0y2axx2,04}

1212aaA的面积2114P(A)．

12的面积2a2111,P(BA),P(AB)，求P(AB)． 432P(AB)111111, 解：P(AB)P(A)P(BA),P(B)P(A|B)12264312 12．已知P(A)

P(AB)P(A)P(B)P(AB)1111. 46123 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

22C6C422P(A)1P(A)12，P(B)2，

C103C1015P(B|A)P(AB)P(B)221/

P(A)P(A)1535 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

1C232P(A)1,P(A)，由全概率公式得

5C55113C52C423P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)11,

5C95C945由贝叶斯公式得

1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)1/.

P(B)5C94523 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知

P(N|M)0.02,P(N|M)0.01,P(M)所以

2. 31P(N|M)0.98,P(N|M)0.99,P(M),

3由贝叶斯公式得

P(M|N)P(M)P(N|M)2211960.98(0.980.01).

P(M)P(N|M)P(M)P(N|M)333197

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为多少？

解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)111,,，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是534111423,P(A2),P(A3),所以P(A1),P(A2),P(A3), 53453442331P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A2)1.

5345至少有一人能将此密码译出的概率为

17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(B 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且

A).

P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)

将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以

P(BA)1P(BA)1P(AB)P(A)P(B)11P(B)10.50.5.

P(A)P(A)或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以

P(BA)P(B)1P(B)10.50.5.

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)0.6,P(MB)0.5,所以

P(M)P(ABABAB)P(AB)P(AB)P(AB).

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

P(M)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.60.50.40.50.60.50.8.

P(A|M)P(AM)P(A)P(M|A)10.60.75

P(M)P(M)0.8 19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2. （1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.70.80.90.504,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.70.80.56,

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.70.70.49.

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ，P(A)P(B)P(C)91，,且已知P(ABC)2求P(A)．

解：因为ABC =

，所以P(ABC) =0,

因为A，B，C两两相互独立，P(A)P(B)P(C),所以

P(AB)P(BC)P(AC)P(A)P(B)P(B)P(C)P(A)P(C)3[P(A)]2

由加法公式P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)得

3P(A)3[P(A)]2916 即 [4P(A)3][4P(A)1]0 考虑到P(A)12,得P(A)14. 2．设事件A，B，C的概率都是

12，且P(ABC)P(ABC)，证明： 2P(ABC)P(AB)P(AC)P(BC)12．

证明：因为P(ABC)P(ABC)，所以

P(ABC)1P(ABC)1[P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)]P(A)P(B)P(C)12代入上式得到 P(ABC)1[32P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)]

整理得

2P(ABC)P(AB)P(BC)P(AC)12.

3．设0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +P(A|B)1，试证A与B独立．

证明：因为P(A|B) +P(A|B)1，所以

P(AB)P(B)P(AB)P(AB)1P(AB)P(B)P(B)1P(B)1,

将P(AB)P(A)P(B)P(AB)代入上式得

P(AB)1P(A)P(B)P(P(B)AB)1P(B)1,

两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到

P(AB)P(A)P(B),

所以A与B独立.

16将

4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(B| 证明：充分性，由于P(B|A)P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件．

A)P(B|A)，所以

P(AB)P(AB),即

P(A)P(A)P(AB)P(B)P(AB),

P(A)1P(A)两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到P(AB) 必要性：由于A与B独立，即P(AB)一方面

P(A)P(B),所以A与B独立.

P(A)P(B),且P(A)0,P(A)0,所以

P(AB)P(A)P(B)P(B),

P(A)P(A)P(B|A)另一方面

P(B|A)所以P(B|P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B),

P(A)P(A)P(A)A)P(B|A).

5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为

p2.

(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P(A1)由全概率公式得

p,P(A2|A1)p,P(A2|A1)p, 2P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)p2(1p)(1) 他取得该资格的概率为

p 2P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2|A1),p3pp22pp(1p)p.222

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

P(A1|A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)pp2p.

pp1P(A2)P(A2)2p(1p)2 6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知P(A0)由全概率公式

1P(A1)P(A2),P(N|M)0.02,P(N|M)0.1,

31989P(M)P(A0)P(M|A0)P(A1)P(M|A1)P(A2)P(M|A2)(1),

3101010P(M)1P(M)191,又P(N|M)1P(N|M)10.020.98, 1010910.980.10.892. 1010由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

P(N)P(M)P(N|M)P(M)P(N|M) 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率． 解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生. 又知P(Bi|A)0.8,P(Bi|A)0.9,P(A)0.4,所以

P(Bi|A)0.2,P(Bi|A)0.1,P(A)0.4,P(A)0.6,

所求概率为P(A|B1B2B3)P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A),

P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3|A)由于三次检验是独立进行的，所以

P(A|B1B2B3)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.40.80.80.20.905.0.40.80.80.20.60.10.10.9

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？

解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知P(A1)P(A3)0.3,P(A2)P(A4)0.35,所以

P(A1)P(A3)0.7,P(A2)P(A4)0.65,

(1) 火炮被击毁的概率为

P(A1A2A1A2A3A4)P(A1A2)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.70.350.70.650.70.350.356475 坦克被击毁的概率为

P(A1A1A2A3)P(A1)P(A1A2A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A3)0.30.70.650.30.4365 (2) 都不被击毁的概率为

P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.70.650.70.650.207025.

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是

1，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 2 解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….， 已知P(Ai)P(Bi)P(Ci)1,i1,2,...，由于各局比赛具有独立性，所以 2在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为

1111P(A1C2C3A1C2B3A4C5C6A1C2B3A4C5B6A7C8C9...)...,7同样，在甲乙先2221, 7369比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为2

12125,甲、乙得冠军的概率均为(1).

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