高等代数试卷及答案--(二)

高等代数试卷及答案--(二)

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）

1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型

37x1fx1,x2x1x2116x2的矩阵为

__________________。 3．设

tA是实对称矩阵，则当实数

_________________,tEA是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

a7．在P中定义线性变换为：Xc22bXd ，写

阵

出

在基

E11,E12,E21,E22下的矩

_______________________________。 8．设V、V都是线性空间V的子空间，且VV，若

1212dimV1dimV2，则_____________________。

叙

述

维

数

公

式

9．

_________________________________________________________________________。 10．向量在基,,,（1）与基,,,（2）下

12n12n

的坐标分别为x、y，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为

A，则

x与

y的关系为

_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）

1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ）

2．设为n维线性空间V上的线性变换，则（ V10V。

）

3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的

集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设V与V分别是齐次线性方程组xx1212xn0与

V1V2Pn （ ）

25．

n2nxixii1i1n为正定二次型。（ ）

6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。

7．把复数域C看作复数域上的线性空间，

C，

8．若是正交变换，那么的不变子空间的真正

9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。

10．若为Px (n1)中的微分变换，则不可对

n三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）

1．设线性变换在基,,下的矩阵为

123122A212221，

求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？

2．t取什么值时，下列二次型是正定的？

fx,x,xxx5x2txx2xx4xx

1232122231213233．设三维线性空间V上的线性变换在基,,下

123

的矩阵为：

a11Aa21a31a12a22a32a13a23a33,求在基,kkP,且k0，123下的矩阵B。

四、证明题 （共4题，每题10分，共40分）

1．证明：

12AO1,2,,nn与

i1i2BOin相似，其中i,i,,i是

12n的一个排列。

sii12．证明：和V是直和的充要条件为：

ViIV0i2,3,,s。

jj1i13．设A是n级实对称矩阵，且A02A，证明：存在正

交矩阵T，使得：

11OT1AT10O

4．证明：同，

12AOn 与

i1i2BOin合

其中i,i,,i是1,2,,n的一个排列。

12n

答案

3一．1．零 2．996 3.充分大 4.正交

矩阵 5. E 6.有n个线性无关的特征向量 7.

a0c00acb000d0b0d 8.

V1V2 9.

dimV1V2dimV1dimV2dimV1IV210. XAY

二．1.  2.  3.  4.√ 5.  6.

 7.  8. √ 9.  10. √

1fAEA22222512三．1.解：（3分）

12

1 所以，的特征值为把111（二重）和25。

1代入方程组EAX0得：

2x12x22x202x12x22x202x2x2x0122

0n211 基础解系为

1n101

因此，属于1得两个线性无关得特征向量为： 

112,223

因而属于1的全部特征向量就是k1n31111k22 ，k、k取

122遍P中不全为零的全部数对 （6分），再用代入EAX0得：基础解系

35，因此，属于5

的全部特征向量是k，k 是P中任意不等于零的数。 （9分）

因为有三个线性无关的特征向量，所以

可能对角化。 （10分）

1t1At121252.解：f的矩阵为：

Q104t05

2，1tt11t20 ， A5t4t0 。得：

4当5t0时，f是正定的。

1aa21k2a3131111k21213．解：Q （2.5分） （2.5分）

分）

kka1ka22k2ka3233a131a23k2a333 （2.5

a111Ba21ka31ka12a22ka32a131a23ka33在基下的矩阵为

（2.5

分）

四．1.证：任意n维向量空间V，V的基,,,，

12n则

唯一

LV使

1212n12nOn

（3分）

即 i1,2,,n 

iiii1i1i1i2i2i2



,i2,,inininin

A在基i1下的矩阵为B（6分）

与B相似（1分）

sjii2．证：QV是直和 VIV0 （3分）

i1jiQViIVj1i1jViIV VIV0 （2分）

jijjij1i1令1s1s0s1j s1s1

sVsIs0V （3分）

j1s1，同理210

Vii1s是直和。 （2分）

3．证：设是A的任一特征值

02 ，使A

AA

2

QA2A2 ， 0 Q0 220

1或0

1O1TAT0QA实对称矩阵

10O正交矩阵T，使

4．证：A、B对应的二次型分别为

fx,,xxxx

1n2112222nn22gy1,,yni1y12i2y2inyin

n2i1i12inxinfx1,,xn令

y1xi1yx2i2ynxin ， gy,,yx1

所以，A与B合同。