高考数学第二轮复习-统计与概率教学案

2019-2020年高考数学第二轮复习 统计与概率教学案

考纲指要：

“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展， 本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布， 并会用样本的特征来估计总体的分布。热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。统计案例主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用。 对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主， 了解随机数的意义， 能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率， 初步体会几何概型的意义。

考点扫描：

1．三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样。 2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差。 3．频率分布直方图、折线图与茎叶图。 4．线性回归：回归直线方程。

5．统计案例：相关系数、卡方检验，

6．随机变量：随机变量的概念， 离散性随机变量的分布列， 相互独立事件、独立重复试验公式， 随机变量的均值和方差， 几种特殊的分布列：（1）两点分布；（2）超几何分布；

（3）二项分布；正态分布。

7随机事件的概念、概率；事件间的关系：（1）互斥事件；（2）对立事件；（3）包含； 事件间的运算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（积事件）

8古典概型：古典概型的两大特点；古典概型的概率计算公式。

9几何概型：几何概型的概念；几何概型的概率公式；几种常见的几何概型。

考题先知：

例1．为了科学地比较考试的成绩， 有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分， 转化关系式为：（其中x是某位学生的考试分数， 是该次考试的平均分， s是该次

考试的标准差， Z称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值， 因此， 又常常再将Z分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T分数， 线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85， 这次考试的平均分是70， 标准差是25， 则该考生的T分数为 . 分析：正确理解题意， 计算所求分数。 解：T408570256084。 点评：本题如改编为：已知在这次考试中某位考生的考试分数是85， 这次考试的平均分是70， 标准差是25， 而该考生的T分数为84， 求T分数的线性变换公式。

例2．随机抛掷一个骰子， 求所得点数的数学期望。 解：抛骰子所得点数的概率分布为

1 2 3 4 5 6 P ∴E1162166116(126)63.5 变式1 设n把外形完全相同的钥匙， 其中只有1把能打开大门， 用它们去试开门上

的锁， 若抽取钥匙是相对独立且等可能， 每把钥匙开后都不放回， 试求开锁次数的数学期望与方差。

分析： 求时， 由题意知前次没有打开， 恰好第次打开， 取发现规律后， 再推广到一般。的可能取值为

P(1)1nP(2)(1111n)n1nP(3)(11111n)(1n1)n2n P(k)(11n)(11111n1)(1nk2)nk1n∴的分布列为

1 2 … k … n … … P

∴E11n21nn11n1n(12n)n2 由公式可算得方差

变式2 有一幢楼房共19层， 现若选择其中某一层作为会议室， 开会时每层去1 人， 则会议室设在第几层时， 可使每人所走过的路程最短（每层楼高度相同）？

分析： 大部分的读者拿到该题首先想到利用等差数列的前项和公式建立路程与之间的关系， 然后求最值， 这是一种常规的思路。如果我们换一个角度思考：会议室设在哪一层是随机的， 而设在任一层楼的概率都为， 这样， 与上面两个问题完全相同， 所以我们“希望”会议室所在的楼层即为随机变量的数学期望。由题意得会议室所在的楼层的分布列如下：

1 2 … 19

… P

∴E11192111191919(1219)1910

于是， 会议室设在第10层为所求。

为什么就是我们所求解问题的最小值呢？请看命题： 对于任何实数c， 若S21[(x2n1x)2(x2x)2(xnx)], S21cn[(x1c)2(x2c)2(xnc)2],则。

（是样本方差， 为样本平均数， 即）

证明：

S212cn[(x1c)(x2c)2(xnc)2]1[(x1xxc)2(x2xxc)2(xnxxc)2n]1[(x2n1x)(x2x)2(xnx)22(x1x)(xc)2(x2x)(xc) 2(xnx)(xc)n(xc)2]S22(xc)[x1x2xnnx](xc)2nS2(xc)2S2∴当时取得最小值。

而数学期望就是概率意义上的平均数， 所以， 利用离散随机变量的分布列的数学期望可解决上述问题的最值问题。

若把19改为， 则可进一步引申出更为一般的结论：当为奇数时， 会议室应设在层；当为偶数时， 会议可设在或层中的任何一层均满足题设要求。

变式3 数轴上有个定点， 其中对应的坐标分别为为数轴上动点， 坐标为， 求函数

f(x)|x1||x2||xn|的最小值。

分析： 该题的常用解决法是利用数形结合分类讨论。但我们也这样思考：动点P在x轴上运动时， 落在哪个位置是随机的， 尽管问题是个连续型随机变量， 但所求函数的最值仍可用上述方法求得。

P点停在处， 的概率分布为

1 2 … n

… P

∴E11n21nn11n1n(12n)n2 ∴当为奇数， 在点时， 的值最小；当为偶数， 中任一点时， 的值最小。

复习智略：

例3．甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子， 乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子， 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色， 规定同色时

为甲胜， 异色时为乙胜．这个游戏规则公平吗？请说明理由。 解析: 由题意， 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有＝36(种)不同情形， 每种情形都是等可能的， 记甲获胜为事件A， 则P(A)C1111113C3C2C2C1C1C16C1

6， 所以甲获胜的概率小于乙甲获胜的概率， 这个游戏规则不公平；

变化一:如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干个同色球， 仍规定同色时为甲胜， 异色时为乙胜， 则他胜的概率能达到吗？

解析:不妨设甲在自己的箱子中又放了x个红球， 则他取胜的概率为

PC111111(A)3C3xC2C2C1C1C1， 同理甲在自己的箱子中又放了x个白球或黄球时，

6C16x也不能达到， 所以他获胜的概率仍不能达到， 这个游戏规则不公平；

变化二: 如果甲方偷偷的在自己的箱子里再放了若干个任意球， 仍规定同色时为甲胜， 异色时为乙胜， 则他胜的概率能达到吗？

解析:不妨设甲在自己的箱子中又放了x个红球， 、y个白球、z个黄球， 则他取胜C111111的概率为P(A)3C3xC2C2yC1C1zC1C1，

66xyz因为

123x2yz146x6y6z36y2z42(3x3y3z18)0， 所以他获胜的概率仍不能达到， 这个游戏规则不公平；

变化三: 甲有一个放有a个红球、b个白球、c个黄球的箱子， 乙也有一个放有a个红球、b个白球、c个黄球的箱子， 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色， 规定同色时为甲胜， 异色时为乙胜．这个游戏规则公平吗？

解析: 由题意， 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有

＝(a+b+c)2

(种)不同情形， 每种情形都是等可能的， 记甲获胜为事件A， 则

C1P(A)C11C111aaCbbCcCcC1abcC1，

abc不妨设

（１）当时， 则P(A)1a2b2c22ab2bc2ca22(abc)2 a2(bc)22a(bc)2(abc)2 所以甲获胜的概率不能达到， 这个游戏规则不公平；

（2）当时， 设， 则P(A)a2(an)22bc(2an)2， ，

若， 则， 所以甲获胜的概率恰为， 这个游戏规则是公平的； 若， 则， 这个游戏规则也不公平； 若， 则， 这个游戏规则也不公平； 变化四: 甲有一个放有a个红球、b个白球、c个黄球的箱子， 乙有一个放有x个红球、y个白球、z个黄球的箱子， 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色， 规定同色时为甲胜， 异色时为乙胜．这个游戏规则公平吗？

解析:由题意， 两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色分别有和 (种)不同情形， 每C1种情形都是等可能的， 记甲获胜为事件A， 则P(A)C11C111axCbyCcCzC11，

abcCxyzP(A)1a(xyz)b(yzx)c(zxy)22(abc)(xyz) 当a(xyz)b(yzx)c(zxy)0时, 这个游戏规则是公平的,否则,是不公平的.

变化五:在原问题中,如果甲可调整自己箱子中的球的颜色， 但必须确保总球数仍为6个， 由由甲能否达到游戏规则公平的目的?

解析：设甲将自己箱子中的球调整为x个红球、y个白球、z个黄球,且x+y+z=6， 则

C1P(A)C11C1113xC2yC1Czy C116C63x2yz62xy3636， 令， 则x、y满足约束条件， 作出如图可行域， 由可知当x=6、

O C(6,0) x

y=0时， u有最大值12， 此时P（A）有最大值,所以甲能达 到游戏规则公平的目的。

检测评估：

1．对满足A B的非空集合A、B有下列四个命题 ①若任取， 则是必然事件；②若， 则是不可能事件； ③若任取， 则是随机事件；④若， 则是必然事件． 其中正确命题的个数

（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2． 在网络游戏《变形》中， 主人公每过一关都以的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”

或从“老鼠”变为“大象”）， 若将主人公过n关不变形的概率计为Pn， 则 A．P5>P4 B．P8P16

3. 已知随机变量， 若， 则分别是

A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6

4.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点。公司为 了调查产品销售的情况， 需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本， 记这项调查

为

①；在丙地区中有20个特大型销售点， 要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况， 记 这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ ）

A．分层抽样法， 系统抽样法 B．分层抽样法， 简单随机抽样法

C．系统抽样法， 分层抽样法

D．简单随机抽样法， 分层抽样法

5.xx年春季， 我国部分地区SARS流行， 党和政府采取果断措施， 防治结合， 很快使病情得到控制， 下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈者数据， 及根据这些数据绘制出的散点图:

日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 人数 100 109 115 118 121 134 日期 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 141 152 168 175 186 203 下列说法：

①根据此散点图， 可以判断日期与人数具有线性相关关系；

②若日期与人数具有线性相关关系， 则相关系数r与临界值r0.05应满足|r|> r0.05；

③根据此散点图， 可以判断日期与人数具有一次函数关系， 其中正确的个数为 ( )

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

3x5y156．已知约束条件5x2y10 的可行域为D, 将一枚骰子连投两次， 设第一次得到的点数

x0y0为x， 第二次得到的点数为y， 则点(x, y)落在可行域D内的概率为______________.

7.已知A箱内有1个红球和5个白球， B箱内有3个白球， 现随意从A箱中取出3个球放入B箱， 充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱， 共有_________种不同的取法， 又红球由A箱移人到B箱， 再返回到A箱的概率等于___________.

8．两个相互独立事件和都不发生的概率为， 发生不发生的概率与发生不发生的概率相同， 则事件发生的概率是 9．设一部机器在一天内发生故障的概率为0 2， 机器发生故障时全天停止工作 若一周5个工作日里均无故障， 可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元， 只发生两次故障可获利润0万元， 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。则一周内期望利润是 。

10.若随机事件A在1次试验中发生的概率为P（）， 用随机变量表示A在1次试验中发生的次数， 则方差的最大值是 ， 的最大值是 。

11.有一种密码， 明文是由三个字符组成， 密码是由明文对应的五个数字组成， 编码规则

如下表：明文由表中每一排取一个字符组成， 且第一排取的字符放在第一位， 第二排

取的字符放在第二位， 第三排取的字符放在第三位， 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成. 第一排 明文字符 A B C D 密码字符 11 12 13 14 第二排 明文字符 E F G H 密码字符 21 22 23 24 第三排 明文字符 M N P Q 密码字符 1 2 3 4 设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数. （Ⅰ）求P（ξ=2）

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.

12．有一个翻硬币游戏， 开始时硬币正面朝上， 然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时， 不翻动硬币；② 出现2， 3， 4， 5点时， 翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时， 如果硬币正面朝上， 则不翻动硬币；否则， 翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则， 在骰子掷了n次后， 硬币仍然正面朝上的概率记为Pn. （Ⅰ）求证：， 点（Pn ， Pn+1）恒在过定点（， ）， 斜率为的直线上； （Ⅱ）求数列{Pn}的通项公式Pn；

（Ⅲ）用记号表示数列{}从第n项到第m项之和， 那么对于任意给定的正整数k， 求数

列， ， …， ， … 的前n项和Tn.

点拨与全解：

1.解：因有空集与非空集两种情形， 所以， 命题①错误， 故选B。 2.解:由题（，

即（， 以n＋1代n， 得， 所以（．

而， 所以（）．

所以所以偶数项比它相邻项大， 所以答案为C． 3．根据正态分布知：选B 4.选B。

5．因说法①②正确， 所以选C。

6．在可行域D中坐标为正整数的点有（1， 1）， （1， 2）， 所以所求概率为。

7.从A箱中取出3个球有=20种取法， 再从B箱中取出3个球有=20种取法， 故共有20×20=400种不同的取法.

红球由A箱中取出的概率为， 再从B箱中取回红球的概率为.则红球由A箱移入到B箱， 再返回到A箱的概率等于P(A·B)=P(A)·p(B)==0.25.

8．解：由条件得(1P(A))(1P(B))1， 解之得： 。 16P(A)(1P(B))P(B)(1P(A))

9 解 以X表示一周5天内机器发生故障的天数， 则X－B(5， 0.2)， 于是X有概率分

布P(X=k)=C0.2k0.85－k,k=0,1,2,3,4,5 以Y表示一周内所获利润， 则

10 若X0Y=g(X)=5 若X1

0 若X22 若X3Y的概率分布为

P(Y=10)=P(X=0)=0.85=0.328

P(Y=5)=P(X=1)=C0.2·0.84=0.410 P(Y=0)=P(X=2)=C·0.22·0.83=0.205

P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057

故一周内的期望利润为

EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元) 10.解：D(0p)2(1p)(1p)2p(p1)2124， 的最大值是； 2D1E2(p2p)1p2(2p1p)222， 的最大值是。 12．解：（Ⅰ）设把骰子掷了n+1次， 硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1， 此时有两种情况：① 第n次硬币正面朝上， 其概率为Pn， 且第n+1次骰子出现1点或6点， 硬币不动， 其概率为；因此， 此种情况下产生硬币正面朝上的概率为.

② 第n次硬币反面朝上， 其概率为1-Pn， 且第n+1次骰子出现2， 3， 4， 5点或6点， 其概率为； 因此， 此种情况下产生硬币正面朝上的概率为. ∴， 变形得 .

∴点（Pn ， Pn+1）恒在过定点（， ）， 斜率为的直线上.

P5n1（Ⅱ）， ， 又由（Ⅰ）知：

91， P52n9∴{}是首项为， 公比为的等比数列， ∴， 故所求通项公式为.

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{}是首项为， 公比为的等比数列， 又 nk∵

Snk1(n1)ka1q(1qqk1S)(n1)k1nka(n1)k(1qqk1)qk（）是常数， 1q∴， ， …， ， …， 也成等比数列，

2[1(1)k]且S1k924[1(111272)k]

241k1kn从而 TS[1()][1()]1k(1qkn)n272241kn1qk1(1[1()].

k2722)解法二：++…+

21[1()nk]412 9[1()nk].

12721211．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字， 注意到密码的第 1， 2列分别总是1， 2， 即只能取表格第1， 2列中的数字作为密码. （Ⅱ）由题意可知， ξ的取值为2， 3， 4三种情形.

若ξ= 3， 注意表格的第一排总含有数字1， 第二排总含有数字2则密码中只可能取

数字1， 2， 3或1， 2， 4.

P(3)2(22A132C231)431932. 若4,则P(4)A12223A2A3A243932 .

的分布列为： ξ 2 3 4 p E21199833241013232.

（或用求得）